Formulaire : limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Limites des fonctions de référence et opérations, asymptotes horizontales et verticales, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, fonction strictement monotone et fonction réciproque, encadrement d’une solution de f(x) = k par balayage et dichotomie.

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Limites, continuité et TVI

Fiche tableaux : les résultats à connaître

(Maths complémentaires Terminale)

Limites de référence

Fonction	en $+ \infty$	en $- \infty$	en $0$
$x^{n}$ ( $n ⩾ 1$ )	$+ \infty$	$+ \infty$ si $n$ pair, $- \infty$ si $n$ impair	$0$
$\frac{1}{x}$	$0$	$0$	$+ \infty$ en $0^{+}$ , $- \infty$ en $0^{-}$
$\frac{1}{x^{2}}$	$0$	$0$	$+ \infty$
$\sqrt{x}$	$+ \infty$	non définie	$0$
$e^{x}$	$+ \infty$	$0$	$1$

Exemple : $lim_{x \to + \infty} (6 - \frac{1}{x^{2}}) = 6$ .

Somme

$lim f$	$lim g$	$lim (f + g)$
$ℓ$	$ℓ'$	$ℓ + ℓ'$
$ℓ$	$+ \infty$	$+ \infty$
$ℓ$	$- \infty$	$- \infty$
$+ \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$
$- \infty$	$- \infty$	$- \infty$
$+ \infty$	$- \infty$	FI

Exemple : $lim_{x \to - \infty} (e^{x} + x) = - \infty$ (« $0 + (- \infty)$ »). Forme indéterminée en $+ \infty$ : $x^{3} - x^{2} = x^{3} (1 - \frac{1}{x}) \to + \infty$ .

Produit

$lim f$	$lim g$	$lim (f g)$
$ℓ$	$ℓ'$	$ℓ ℓ'$
$ℓ \neq 0$	$\pm \infty$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$\pm \infty$	$\pm \infty$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$0$	$\pm \infty$	FI

Exemple : $lim_{x \to + \infty} (- 3 \sqrt{x}) = - \infty$ (« $(- 3) \times (+ \infty)$ »).

Quotient

$lim f$	$lim g$	$lim \frac{f}{g}$
$ℓ$	$ℓ' \neq 0$	$\frac{ℓ}{ℓ'}$
$ℓ$	$\pm \infty$	$0$
$\pm \infty$	$ℓ' \neq 0$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$ℓ \neq 0$ ou $\pm \infty$	$0^{+}$ ou $0^{-}$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$\pm \infty$	$\pm \infty$	FI
$0$	$0$	FI

Exemple : $lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{x} = - \infty$ (« $\frac{- 1}{0^{+}}$ »). Forme indéterminée en $+ \infty$ : $\frac{4 x + 1}{x} = 4 + \frac{1}{x} \to 4$ .

Asymptotes et position

Si…	alors…
$lim_{x \to \pm \infty} f (x) = ℓ$	la droite $y = ℓ$ est asymptote horizontale
$lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty$ (d’un côté au moins)	la droite $x = a$ est asymptote verticale
$f (x) - ℓ > 0$	la courbe est au-dessus de $y = ℓ$
$f (x) - ℓ < 0$	la courbe est en dessous de $y = ℓ$

Exemple : $f (x) = 1 + \frac{3}{x - 2}$ a pour asymptotes $y = 1$ et $x = 2$ ; $f (x) - 1 = \frac{3}{x - 2}$ , donc la courbe est au-dessus de $y = 1$ pour $x > 2$ .

Continuité, TVI et réciproque

Si $f$ est…	et si…	alors…
continue sur $[a; b]$	$k$ est entre $f (a)$ et $f (b)$	$f (x) = k$ a au moins une solution dans $[a; b]$
continue et strictement monotone sur $[a; b]$	$k$ est entre $f (a)$ et $f (b)$	$f (x) = k$ a une unique solution dans $[a; b]$
continue et strictement monotone sur un intervalle $I$	—	$f$ a une fonction réciproque $f^{- 1}$ , de même sens de variation
dérivable sur $I$	—	$f$ est continue sur $I$

Dichotomie : après $n$ étapes sur $[a; b]$ , amplitude $\frac{b - a}{2^{n}}$ . Exemple : $f (x) = x^{3} + x^{2} + x$ est continue, $f' (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1 > 0$ , $f (0) = 0$ et $f (1) = 3$ : l’équation $f (x) = 1$ a une unique solution dans $[0; 1]$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision en tableaux pour les maths complémentaires : limites de référence en +∞, en −∞ et en 0, somme, produit et quotient de limites avec les formes indéterminées, asymptotes et position d’une courbe, continuité, TVI, corollaire et fonction réciproque. Chaque tableau est suivi d’un exemple ; la fiche se télécharge en PDF.

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