Fiche de révision : enchaînements d'opérations & priorités

Rappels de 6e sur les nombres entiers (vocabulaire des opérations, calcul mental avec 9, 99, 999, 11 et 101, regroupements astucieux, ordre de grandeur, opérations posées), nommer un calcul (somme, différence, produit, quotient ; termes et facteurs), calculer un enchaînement d’opérations en respectant les priorités (parenthèses, multiplications et divisions avant additions et soustractions, de gauche à droite à priorité égale, barre de fraction) et traduire un programme de calcul ou un problème en une seule expression.

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benprofparticulier.frMathématiques · 5ᵉ

Enchaînements d'opérations & priorités

Fiche méthode

(Mathématiques 5ᵉ · Nombres et calculs · Opérations)

La démarche pour tout enchaînement d’opérations

1. Je repère. Je souligne les parenthèses, puis les multiplications et divisions : ce sont les opérations prioritaires.

2. Je calcule une étape par ligne. Parenthèses, puis × et ÷, puis + et −, de gauche à droite à priorité égale.

3. Je vérifie. Le résultat est-il plausible (ordre de grandeur) ? Pour un programme, je refais le calcul étape par étape et je compare.

Le réflexe — la dernière opération effectuée donne son nom au calcul ; les parenthèses imposent ce qui passe en premier.

Cas 1 · Rappels de 6e : calculer avec des entiers

Réflexe — je cherche un raccourci (nombre proche de $10$ , $100$ ou $1 000$ ; paires $2 \times 5$ , $4 \times 25$ , $8 \times 125$ ) ; après une opération posée, je contrôle avec un ordre de grandeur.

Exemple 1. Calculer de tête $673 + 99$ , $5 210 - 999$ et $8 \times 39 \times 125$ .

$673 + 99 = 773 - 1 = 772$ (on ajoute $100$ , puis on corrige).

$5 210 - 999 = 4 210 + 1 = 4 211$ (en retirant $1 000$ , on a retiré $1$ de trop).

$8 \times 39 \times 125 = (8 \times 125) \times 39 = 1 000 \times 39 = 39 000$ .

Exemple 2. Poser $412 \times 29$ et contrôler le résultat.

Ordre de grandeur : $400 \times 30 = 12 000$ .

$412 \times 9 = 3 708$ ; $412 \times 20 = 8 240$ (ligne décalée d’un rang) ; $3 708 + 8 240 = 11 948$ .

$11 948$ est proche de $12 000$ : le résultat est cohérent.

Attention — jamais de regroupement ni d’échange dans une soustraction ; et dans une multiplication posée, la ligne des dizaines se décale d’un rang.

Cas 2 · Nommer un calcul

Réflexe — je cherche l’opération que je ferai en dernier : elle donne le nom (somme, différence, produit ou quotient).

Exemple. Nommer $40 - 3 \times 6$ et $(40 - 3) \times 6$ .

Dans $40 - 3 \times 6$ , on calcule d’abord $3 \times 6$ ; on termine par la soustraction : c’est une différence, de termes $40$ et $3 \times 6$ .

Dans $(40 - 3) \times 6$ , on termine par la multiplication : c’est un produit, de facteurs $(40 - 3)$ et $6$ .

Attention — le premier signe écrit ne donne pas le nom : $4 \times 7 + 1$ est une somme.

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Cas 3 · Calculer avec les priorités

Réflexe — parenthèses, puis $\times$ et $\div$ , puis $+$ et $-$ ; de gauche à droite à priorité égale ; une étape par ligne.

Exemple 1. Calculer $B = 30 - 2 \times (9 - 4) + 6 \div 3$ .

$B = 30 - 2 \times 5 + 6 \div 3$ (parenthèse)

$B = 30 - 10 + 2$ (produit et quotient)

$B = 22$ (de gauche à droite)

Exemple 2. Calculer $\frac{7 + 11}{2 \times 3}$ .

Numérateur en entier : $18$ ; dénominateur en entier : $6$ . Donc $\frac{18}{6} = 3$ .

Attention — un signe $-$ devant une parenthèse porte sur tout son contenu.

Cas 4 · Traduire en une seule expression

Réflexe — j’écris les opérations dans l’ordre de l’énoncé et je mets entre parenthèses toute addition ou soustraction qui doit passer avant une multiplication ou une division.

Exemple. Écrire en une seule expression : choisir $9$ ; soustraire $2$ ; multiplier par $4$ ; ajouter $10$ .

La soustraction doit passer avant la multiplication : $(9 - 2) \times 4 + 10$ .

$(9 - 2) \times 4 + 10 = 7 \times 4 + 10 = 28 + 10 = 38$ .

Attention — sans les parenthèses, $9 - 2 \times 4 + 10$ ne traduit plus le programme.

Les pièges

$347 - 99$ vaut $248$ , pas $246$ : en retirant $100$ , on a retiré $1$ de trop, on le rajoute.
$16 - 2 \times 5$ vaut $6$ , pas $70$ : le produit passe avant la soustraction.
$48 \div 4 \times 2$ vaut $24$ (de gauche à droite), pas $6$ .
$\frac{14 + 7}{7}$ vaut $3$ , pas $15$ : la barre porte sur tout le numérateur, pas seulement sur $7$ .
Une calculatrice ne devine pas les parenthèses : pour un quotient écrit avec une barre, on les tape.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode résume la démarche pour tout calcul : repérer les opérations prioritaires, calculer une étape par ligne, vérifier avec un ordre de grandeur. Un exemple corrigé par cas (calcul mental et multiplication posée de 6e, nommer un calcul, calculer avec les priorités, traduire un programme) et les pièges classiques.

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