Fiche de révision : fractions et calculs avec les relatifs

Rappels de 5ᵉ (signe, distance à zéro, opposé, comparer, additionner et soustraire des relatifs, sommes algébriques), multiplier et diviser deux relatifs avec la règle des signes (justifiée par la distributivité), multiplications et divisions à trou, produit de plusieurs facteurs (nombre de facteurs négatifs), carré et cube d’un nombre négatif, enchaînements d’opérations avec les priorités, nommer un calcul et traduire un programme de calcul ; problèmes.

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benprofparticulier.frMathématiques · 4ᵉ

Relatifs : multiplier, diviser, enchaîner les opérations

Fiche méthode

(Mathématiques 4ᵉ · Nombres et calculs · Opérations sur les nombres relatifs)

La démarche devant un calcul avec des nombres relatifs

1. Je repère les opérations et les priorités. Parenthèses, carrés et cubes, puis × et ÷, enfin + et −.

2. Pour × et ÷ : le signe d’abord. Je compte les facteurs négatifs (pair → +, impair → −), puis je calcule avec les distances à zéro.

3. Pour + et − : les règles de la 5ᵉ. Je simplifie l’écriture, je compare les distances à zéro et je regroupe les positifs et les négatifs.

4. Je vérifie : une division par une multiplication, le signe par un raisonnement rapide.

Le réflexe — pour + et −, on compare les distances à zéro ; pour × et ÷, on compte les signes −.

Cas 1 · Rappels de 5ᵉ : additionner et soustraire

Réflexe — même signe : j’additionne les distances à zéro ; signes contraires : je les soustrais et je garde le signe du plus éloigné de zéro ; soustraire, c’est ajouter l’opposé.

Exemple 1. Calculer $(- 15) + 6$ et $- 7 - (- 10)$ .

Signes contraires : $15 - 6 = 9$ et le plus éloigné de zéro est $- 15$ , donc $(- 15) + 6 = - 9$ .

$- 7 - (- 10) = - 7 + 10 = 3$ .

Exemple 2. Calculer $C = 5 - 12 + (- 4) - (- 8)$ .

$C = 5 - 12 - 4 + 8$ . Positifs : $5 + 8 = 13$ ; négatifs : $- 12 - 4 = - 16$ .

$C = 13 - 16 = - 3$ .

Attention — la règle des signes ne sert pas pour additionner : $(- 4) + (- 9) = - 13$ , pas $13$ .

Cas 2 · Multiplier et diviser deux relatifs

Réflexe — même signe → positif, signes contraires → négatif ; puis je multiplie ou je divise les distances à zéro.

Exemple 1. Calculer $(- 3, 5) \times (- 4)$ et $(- 72) \div 8$ .

Même signe : positif ; $3, 5 \times 4 = 14$ , donc $(- 3, 5) \times (- 4) = 14$ .

Signes contraires : négatif ; $72 \div 8 = 9$ , donc $(- 72) \div 8 = - 9$ .

Exemple 2. Compléter $9 \times \dots = - 63$ .

Je calcule $(- 63) \div 9 = - 7$ . Vérification : $9 \times (- 7) = - 63$ .

Attention — on ne divise jamais par $0$ : $(- 5) \div 0$ n’existe pas, alors que $0 \div (- 5) = 0$ .

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Cas 3 · Plusieurs facteurs, carré et cube

Réflexe — je compte les facteurs négatifs : pair → positif, impair → négatif ; un facteur nul rend le produit nul.

Exemple 1. Calculer $(- 1) \times (- 5) \times 2 \times (- 7)$ .

Trois facteurs négatifs (impair) : le produit est négatif.

$1 \times 5 \times 2 \times 7 = 70$ , donc le produit vaut $- 70$ .

Exemple 2. Calculer $(- 0, 1)^{3}$ et $(- 1, 2)^{2}$ .

$(- 0, 1)^{3} = (- 0, 1) \times (- 0, 1) \times (- 0, 1) = - 0, 001$ (trois facteurs négatifs).

$(- 1, 2)^{2} = (- 1, 2) \times (- 1, 2) = 1, 44$ (deux facteurs négatifs).

Attention — $(- 8)^{2} = 64$ mais $- 8^{2} = - 64$ : sans parenthèses, le carré ne porte que sur $8$ .

Cas 4 · Enchaîner les opérations

Réflexe — parenthèses, carrés et cubes, puis × et ÷ (chaque résultat avec son signe), enfin + et − ; une étape par ligne.

Exemple. Calculer $E = - 4 - 6 \times (- 3) + 10 \div (- 2)$ .

Produit et quotient d’abord : $6 \times (- 3) = - 18$ et $10 \div (- 2) = - 5$ .

$E = - 4 - (- 18) + (- 5) = - 4 + 18 - 5 = 9$ .

Attention — on ne calcule pas de gauche à droite : $2 - 5 \times (- 3) = 2 + 15 = 17$ , et non $(2 - 5) \times (- 3) = 9$ .

Les pièges

Appliquer la règle des signes à une addition : $(- 4) + (- 9) = - 13$ , et non $13$ .
Calculer de gauche à droite sans respecter les priorités : $2 - 5 \times (- 3) = 17$ .
Confondre $(- 8)^{2} = 64$ et $- 8^{2} = - 64$ .
Compter les signes alors qu’un facteur est nul : $(- 7) \times 0 \times (- 2) = 0$ .
Croire qu’un quotient de deux négatifs est négatif : $(- 30) \div (- 6) = 5$ .

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À propos de cette page

Cette fiche méthode résume la démarche devant un calcul avec des relatifs : repérer les priorités, trouver le signe en comptant les facteurs négatifs, calculer avec les distances à zéro, vérifier. Un exemple corrigé par cas, de la somme algébrique au calcul à étapes, et les pièges classiques comme −8² ou la division par zéro.

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