Trigonométrie dans le triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit (90°). Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse ; c'est le côté le plus long du triangle.

Lorsqu'on choisit un angle aigu α dans ce triangle, on identifie :

• le côté adjacent à α : le côté qui, avec l'hypoténuse, forme l'angle α ;
• le côté opposé à α : le côté qui ne touche pas α ;
• l'hypoténuse : toujours le côté en face de l'angle droit.

Cette valeur ne dépend que de l'angle α, pas de la taille du triangle (propriété des triangles semblables).

On peut retrouver la longueur d'un côté à partir du cosinus :

• $côté adjacent = hypoténuse \times cos(α)$
• $hypoténuse = côté adjacent / cos(α)$

Comme le cosinus, le sinus ne dépend que de la mesure de l'angle.

On peut retrouver la longueur d'un côté :

• $côté opposé = hypoténuse \times sin(α)$
• $hypoténuse = côté opposé / sin(α)$

On utilise la tangente lorsqu'on connaît ou cherche les deux cathètes (côtés de l'angle droit) sans avoir l'hypoténuse.

On peut aussi exprimer :

• $côté opposé = côté adjacent \times tan(α)$
• $côté adjacent = côté opposé / tan(α)$

Les valeurs exactes pour les angles 30°, 45° et 60° sont à connaître :

Méthode : identifier l'angle connu, les deux côtés concernés, puis choisir la bonne formule (cos, sin ou tan).

Pour trouver l'angle α quand on connaît les longueurs, on utilise la fonction réciproque (arc cosinus, arc sinus ou arc tangente) sur la calculatrice : $cos⁻¹$, $sin⁻¹$, $tan⁻¹$.

Cette relation découle directement du théorème de Pythagore : si on note $a$ (côté adjacent), $o$ (côté opposé), $h$ (hypoténuse) :
$a^{2} + o^{2} = h^{2}$ ⟹ $(a/h)^{2} + (o/h)^{2} = 1$ ⟹ $cos^{2}(α) + sin^{2}(α) = 1$

Cette relation permet de retrouver le sinus connaissant le cosinus, et vice-versa, sans même avoir le dessin du triangle.