À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en seconde sur « Trigonométrie dans le triangle rectangle » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le triangle rectangle et ses éléments, Cosinus d'un angle aigu, Sinus d'un angle aigu, Tangente d'un angle aigu. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Le triangle rectangle et ses éléments
2 · Cosinus d'un angle aigu
3 · Sinus d'un angle aigu
4 · Tangente d'un angle aigu
5 · Tableau des valeurs remarquables
6 · Calculer une longueur inconnue
7 · Calculer un angle inconnu
8 · Relation fondamentale cos²(α) + sin²(α) = 1
1Le triangle rectangle et ses éléments
Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit (90°). Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse ; c'est le côté le plus long du triangle.
Lorsqu'on choisit un angle aigu α dans ce triangle, on identifie :
- le côté adjacent à α : le côté qui, avec l'hypoténuse, forme l'angle α ;
- le côté opposé à α : le côté qui ne touche pas α ;
- l'hypoténuse : toujours le côté en face de l'angle droit.
Exemple. Dans le triangle ABC rectangle en C, si on considère l'angle α = Â en A :
• côté adjacent = AC
• côté opposé = BC
• hypoténuse = AB
Attention ! L'hypoténuse ne change pas quel que soit l'angle aigu choisi. En revanche, les côtés adjacent et opposé dépendent de l'angle considéré.
2Cosinus d'un angle aigu
Définition. Dans un triangle rectangle, le cosinus de l'angle aigu α est :
$cos(α) = côté adjacent / hypoténuse$
Cette valeur ne dépend que de l'angle α, pas de la taille du triangle (propriété des triangles semblables).
Exemple. Dans un triangle rectangle en C, avec AB = 10 cm et AC = 6 cm :
$cos(Â) = AC / AB = 6 / 10 = 0,6$
On peut retrouver la longueur d'un côté à partir du cosinus :
- $côté adjacent = hypoténuse \times cos(α)$
- $hypoténuse = côté adjacent / cos(α)$
3Sinus d'un angle aigu
Définition. Dans un triangle rectangle, le sinus de l'angle aigu α est :
$sin(α) = côté opposé / hypoténuse$
Comme le cosinus, le sinus ne dépend que de la mesure de l'angle.
Exemple. Dans un triangle rectangle en C, avec AB = 10 cm et BC = 8 cm :
$sin(Â) = BC / AB = 8 / 10 = 0,8$
On peut retrouver la longueur d'un côté :
- $côté opposé = hypoténuse \times sin(α)$
- $hypoténuse = côté opposé / sin(α)$
Astuce moyen mnémotechnique (SOH-CAH-TOA).
• Sin = Opposé / Hypoténuse
• Cos = Adjacent / Hypoténuse
• Tan = Opposé / Adjacent
4Tangente d'un angle aigu
Définition. Dans un triangle rectangle, la tangente de l'angle aigu α est :
$tan(α) = côté opposé / côté adjacent$
On utilise la tangente lorsqu'on connaît ou cherche les deux cathètes (côtés de l'angle droit) sans avoir l'hypoténuse.
Exemple. Dans un triangle rectangle en C, avec BC = 4 cm et AC = 3 cm :
$tan(Â) = BC / AC = 4 / 3 \approx 1,33$
On peut aussi exprimer :
- $côté opposé = côté adjacent \times tan(α)$
- $côté adjacent = côté opposé / tan(α)$
Lien entre les trois rapports. On remarque que $tan(α) = sin(α) / cos(α)$, ce qui peut être utile pour passer d'un rapport à l'autre.
5Tableau des valeurs remarquables
Les valeurs exactes pour les angles 30°, 45° et 60° sont à connaître :
| Angle α | cos(α) | sin(α) | tan(α) |
|---|
| 30° | √3 / 2 ≈ 0,866 | 1 / 2 = 0,5 | 1 / √3 = √3/3 ≈ 0,577 |
| 45° | √2 / 2 ≈ 0,707 | √2 / 2 ≈ 0,707 | 1 |
| 60° | 1 / 2 = 0,5 | √3 / 2 ≈ 0,866 | √3 ≈ 1,732 |
Astuce. Pour les angles 30° et 60°, les valeurs de cos et sin s'échangent : cos(30°) = sin(60°) et sin(30°) = cos(60°). C'est normal car 30° + 60° = 90°.
Attention ! La calculatrice doit être en mode degrés (DEG) et non en radians lors des calculs au lycée en 2nde.
6Calculer une longueur inconnue
Méthode : identifier l'angle connu, les deux côtés concernés, puis choisir la bonne formule (cos, sin ou tan).
Exemple 1. Dans un triangle rectangle ABC rectangle en C, Â = 35° et AB = 12 cm. Calculer BC.
BC est le côté opposé à Â, AB est l'hypoténuse.
$sin(35°) = BC / AB$
$BC = AB \times sin(35°) = 12 \times sin(35°) \approx 12 \times 0,5736 \approx 6,88 cm$
Exemple 2. Dans un triangle rectangle PQR rectangle en R, P̂ = 50° et PQ = 8 cm. Calculer PR.
PR est le côté adjacent à P̂, PQ est l'hypoténuse.
$cos(50°) = PR / PQ$
$PR = PQ \times cos(50°) = 8 \times cos(50°) \approx 8 \times 0,6428 \approx 5,14 cm$
7Calculer un angle inconnu
Pour trouver l'angle α quand on connaît les longueurs, on utilise la fonction réciproque (arc cosinus, arc sinus ou arc tangente) sur la calculatrice : $cos⁻¹$, $sin⁻¹$, $tan⁻¹$.
Exemple 1. Dans un triangle rectangle en C, AC = 7 cm et AB = 9 cm. Calculer l'angle Â.
AC est le côté adjacent à Â, AB est l'hypoténuse.
$cos(Â) = 7 / 9 \approx 0,7778$
$Â = cos⁻¹(0,7778) \approx 39°$
Exemple 2. Dans un triangle rectangle en C, BC = 5 cm et AC = 12 cm. Calculer l'angle Â.
BC est le côté opposé à Â, AC est le côté adjacent.
$tan(Â) = 5 / 12 \approx 0,4167$
$Â = tan⁻¹(0,4167) \approx 22,6°$
Vérification. La somme des angles d'un triangle vaut 180°. Si l'angle droit vaut 90° et  ≈ 22,6°, alors B̂ ≈ 180° − 90° − 22,6° = 67,4°. On peut vérifier avec $tan(67,4°) \approx 12/5 = 2,4$. ✓
8Relation fondamentale cos²(α) + sin²(α) = 1
Propriété fondamentale. Pour tout angle aigu α :
$cos^{2}(α) + sin^{2}(α) = 1$
Cette relation découle directement du théorème de Pythagore : si on note $a$ (côté adjacent), $o$ (côté opposé), $h$ (hypoténuse) :
$a^{2} + o^{2} = h^{2}$ ⟹ $(a/h)^{2} + (o/h)^{2} = 1$ ⟹ $cos^{2}(α) + sin^{2}(α) = 1$
Exemple. On sait que cos(α) = 3/5. Calculer sin(α).
$sin^{2}(α) = 1 - cos^{2}(α) = 1 - 9/25 = 16/25$
Comme α est un angle aigu : $sin(α) = 4/5$
Attention ! Dans cette formule, $cos^{2}(α)$ signifie $(cos(α))^{2}$ et non $cos(α^{2})$.
Cette relation permet de retrouver le sinus connaissant le cosinus, et vice-versa, sans même avoir le dessin du triangle.
★À retenir
En bref :
• Dans un triangle rectangle d'angle aigu α : cos(α) = adj/hyp, sin(α) = opp/hyp, tan(α) = opp/adj.
• Pour calculer une longueur : multiplier ou diviser selon la formule choisie.
• Pour calculer un angle : utiliser cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ sur la calculatrice.
• Relation fondamentale : cos²(α) + sin²(α) = 1.
• Valeurs à connaître : cos(30°) = sin(60°) = √3/2 ; sin(30°) = cos(60°) = 1/2 ; cos(45°) = sin(45°) = √2/2 ; tan(45°) = 1.