Qu'est-ce qu'un tableau croisé en seconde ?

Un tableau croisé d'effectifs présente deux variables qualitatives étudiées sur une même population : les modalités de l'une en lignes, celles de l'autre en colonnes. Chaque case intérieure donne le nombre d'individus qui présentent à la fois les deux modalités ; les totaux écrits dans la marge sont les effectifs marginaux.

Comment calculer une fréquence conditionnelle dans un tableau croisé ?

On divise l'effectif de la case « A ET B » par l'effectif du groupe de référence A, celui qui suit le mot « parmi ». Par exemple, si 84 des 150 demi-pensionnaires sont inscrits en club, la fréquence des inscrits en club parmi les demi-pensionnaires vaut 84/150 = 0,56, soit 56 %.

Quelle différence entre fréquence marginale et fréquence conditionnelle ?

La fréquence marginale rapporte un effectif marginal (total de ligne ou de colonne) à l'effectif total : elle décrit toute la population. La fréquence conditionnelle rapporte l'effectif d'une case à l'effectif d'une ligne ou d'une colonne : elle décrit une sous-population.

Comment calculer l'effectif de « A OU B » dans un tableau croisé ?

On additionne les effectifs de A et de B, puis on retire l'effectif de « A ET B », qui a été compté deux fois : n(A OU B) = n(A) + n(B) − n(A ET B). On peut aussi additionner les cases concernées du tableau, en prenant chacune une seule fois.

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Croisement de deux variables qualitatives : tableaux croisés

Tableau croisé d'effectifs, fréquences marginales et conditionnelles, filtres ET, OU, NON — thème Statistiques et probabilités

À propos de cette page

Ce cours d' en seconde sur « Croisement de deux variables qualitatives : tableaux croisés » suit le programme officiel d' de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Lire et compléter un tableau croisé, Fréquences marginales et conditionnelles, Filtres ET, OU, NON. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en .

L'essentiel

Variable qualitative. Caractère dont les valeurs, appelées modalités, ne sont pas des nombres sur lesquels on calcule : régime (externe, demi-pensionnaire), moyen de transport, réponse oui/non…

Tableau croisé d'effectifs. On étudie deux variables qualitatives sur une même population d'effectif total

N

. Les modalités de l'une sont placées en lignes, celles de l'autre en colonnes. La case à l'intersection de la ligne A et de la colonne B contient l'effectif

n (A \cap B)

des individus qui présentent à la fois A et B.

Effectifs marginaux. Ce sont les totaux de chaque ligne et de chaque colonne, écrits dans la marge du tableau. Pour chaque variable, la somme des effectifs marginaux est égale à

N

(case en bas à droite).

Trois sortes de fréquences.
• fréquence marginale de A :

f (A) = \frac{n (A)}{N}

;
• fréquence de « A ET B » :

f (A \cap B) = \frac{n (A \cap B)}{N}

;
• fréquence conditionnelle de B parmi A :

f_{A} (B) = \frac{n (A \cap B)}{n (A)}

, avec

n (A) \neq 0

Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1, souvent exprimé en pourcentage. Le mot « parmi » (ou « chez les », « sur l'ensemble des ») signale une fréquence conditionnelle : on divise par l'effectif de la sous-population, pas par

N

Lire et compléter un tableau croisé

Enquête auprès des 250 élèves de 2nde d'un lycée : régime (demi-pensionnaire ou externe) et inscription dans un club sportif.

	Club	Pas de club	Total
Demi-pensionnaires	84	66	150
Externes	46	54	100
Total	130	120	250

Lecture. 84 élèves sont demi-pensionnaires et inscrits en club. Les effectifs marginaux du régime sont 150 et 100, ceux du club 130 et 120 ; on vérifie

150 + 100 = 130 + 120 = 250 = N

Compléter un tableau. Dans chaque ligne et dans chaque colonne : somme des cases intérieures = total de la marge. Dans un tableau 2 × 2, il suffit de connaître

N

, un effectif marginal de chaque variable et une case intérieure pour retrouver toutes les autres cases.

Contrôle systématique : le total obtenu en additionnant les totaux de lignes doit être égal à celui obtenu en additionnant les totaux de colonnes.

Fréquences marginales et conditionnelles

Fréquences marginales.

f (DP) = \frac{150}{250} = 0, 6

: 60 % des élèves sont demi-pensionnaires.

f (club) = \frac{130}{250} = 0, 52

: 52 % sont inscrits en club.

Fréquences conditionnelles. Parmi les demi-pensionnaires :

f_{DP} (club) = \frac{84}{150} = 0, 56

. Parmi les externes :

f_{Ext} (club) = \frac{46}{100} = 0, 46

. En revanche, parmi les inscrits en club, la fréquence des demi-pensionnaires est

f_{club} (DP) = \frac{84}{130} \approx 0, 646

: l'ordre compte.

Tableau des fréquences conditionnelles par ligne (profil de chaque régime) :

	Club	Pas de club	Total
Demi-pensionnaires	56 %	44 %	100 %
Externes	46 %	54 %	100 %

Chaque ligne totalise 100 % ; les colonnes, elles, n'ont pas de total à interpréter.

Propriété. Si

n (A) \neq 0

f (A \cap B) = f (A) \times f_{A} (B)

, et donc

f_{A} (B) = \frac{f (A \cap B)}{f (A)}

.
Justification :

\frac{n (A)}{N} \times \frac{n (A \cap B)}{n (A)} = \frac{n (A \cap B)}{N}

Exemple.

f (DP) \times f_{DP} (club) = 0, 6 \times 0, 56 = 0, 336

, et l'on retrouve bien

\frac{84}{250} = 0, 336

Filtres ET, OU, NON

Filtrer, c'est sélectionner les individus qui vérifient une condition.
• A ET B (

A \cap B

) : les deux conditions à la fois — c'est une case du tableau.
• A OU B (

A \cup B

) : au moins une des deux conditions. Le OU mathématique est inclusif : ceux qui vérifient les deux sont sélectionnés.
• NON A (

\overset{―}{A}

) : ceux qui ne vérifient pas A.

Propriétés.
•

n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)

f (A \cup B) = f (A) + f (B) - f (A \cap B)

;
•

n (\overset{―}{A}) = N - n (A)

f (\overset{―}{A}) = 1 - f (A)

;
• « NON (A ET B) » sélectionne les mêmes individus que « NON A OU NON B ».
Justification de la première : dans la somme

n (A) + n (B)

, les individus de A ET B sont comptés deux fois ; on les retire une fois.

Exemples (tableau de la partie 2). « DP OU club » :

150 + 130 - 84 = 196

; contrôle par les cases :

84 + 66 + 46 = 196

; fréquence

\frac{196}{250} = 0, 784

.
« NON club » :

250 - 130 = 120

, fréquence

1 - 0, 52 = 0, 48

.
« NON (DP ET club) » :

250 - 84 = 166

; et « NON DP OU NON club » :

100 + 120 - 54 = 166

Dans un tableur, la fonction

N B . S I . E N S

compte les lignes qui vérifient plusieurs conditions (filtre ET). En Python, les filtres s'écrivent avec

a n d

o r

n o t

: if regime == 'DP' and club == 'oui':

Méthodes

Méthode 1 — Compléter un tableau croisé à partir d'un énoncé

Tracer le tableau : modalités d'une variable en lignes, de l'autre en colonnes, avec une ligne et une colonne « Total ».
Placer $N$ , puis convertir chaque pourcentage en effectif en repérant la population sur laquelle il porte.
Compléter par différences dans chaque ligne et chaque colonne.
Vérifier que les totaux des lignes et des colonnes coïncident.

Exemple rédigé. Sur 320 personnes interrogées, 45 % sont des femmes ; 90 femmes utilisent les transports en commun (TC) ; 170 personnes au total les utilisent.
Femmes : 0,45 × 320 = 144 ; hommes : 320 − 144 = 176. Femmes sans TC : 144 − 90 = 54. Hommes avec TC : 170 − 90 = 80 ; hommes sans TC : 176 − 80 = 96. Sans TC : 54 + 96 = 150 = 320 − 170 : le tableau est cohérent.

	TC	Pas de TC	Total
Femmes	90	54	144
Hommes	80	96	176
Total	170	150	320

Méthode 2 — Calculer une fréquence conditionnelle

Repérer la population de référence : le groupe qui suit « parmi ».
Lire son effectif (effectif marginal) : c'est le dénominateur.
Lire l'effectif de la case « ET » : c'est le numérateur.
Diviser, arrondir comme demandé et conclure par une phrase.

Exemple rédigé. Parmi les femmes, fréquence des usagers des TC :

\frac{90}{144} = 0, 625

, soit 62,5 %. Parmi les usagers des TC, fréquence des femmes :

\frac{90}{170} \approx 0, 529

, soit 52,9 %. Deux questions différentes, donc deux dénominateurs différents.

Méthode 3 — Calculer un filtre OU ou NON

Traduire l'énoncé en filtre (ET, OU, NON).
OU : additionner les deux effectifs marginaux et retirer la case ET, ou additionner les cases concernées, chacune une seule fois.
NON : retrancher l'effectif de $N$ .
Diviser par $N$ si l'on demande une fréquence.

Exemple rédigé. « Femme OU usager des TC » : 144 + 170 − 90 = 224 ; contrôle : 90 + 54 + 80 = 224 ; fréquence

\frac{224}{320} = 0, 7

. « NON (femme ET usager des TC) » : 320 − 90 = 230 personnes.

Méthode 4 — Comparer deux sous-populations

Ne pas comparer les effectifs de groupes de tailles différentes.
Calculer la fréquence conditionnelle du caractère étudié dans chaque groupe.
Comparer ces fréquences et conclure, sans sortir de la population étudiée.

Exemple rédigé. 90 femmes et 80 hommes utilisent les TC : les effectifs sont proches. Mais

f_{H} (TC) = \frac{80}{176} \approx 0, 455

contre

0, 625

chez les femmes : dans cette enquête, les femmes utilisent proportionnellement davantage les transports en commun.

Pièges et erreurs classiques

Confondre $f_{A} (B)$ et $f_{B} (A)$ . « Parmi les demi-pensionnaires, 56 % sont en club » ne signifie pas « parmi les inscrits en club, 56 % sont demi-pensionnaires » (c'est 64,6 %).

Diviser par $N$ une fréquence conditionnelle.

\frac{84}{250}

est la fréquence de « DP ET club » dans tout le lycée, pas la part des inscrits en club chez les demi-pensionnaires.

Additionner sans retirer la case ET.

150 + 130 = 280

, plus que les 250 élèves : les 84 demi-pensionnaires inscrits en club ont été comptés deux fois.

Comparer des effectifs. Plus de demi-pensionnaires que d'externes sont en club (84 contre 46), mais d'abord parce qu'il y a plus de demi-pensionnaires. Seules les fréquences conditionnelles (56 % et 46 %) permettent de comparer.

Faire la moyenne simple de fréquences conditionnelles. La part globale des inscrits en club n'est pas

\frac{56 + 46}{2} = 51

%, mais 52 % : c'est une moyenne pondérée par la taille des groupes,

0, 6 \times 0, 56 + 0, 4 \times 0, 46 = 0, 52

Totaliser une colonne d'un tableau de profils en ligne. 56 % + 46 % n'a aucun sens : dans un tableau de fréquences conditionnelles par ligne, seules les lignes totalisent 100 %.

En bref

Tableau croisé : une case = effectif de « A ET B » ; les marges = effectifs marginaux ; en bas à droite, l'effectif total $N$ .
Fréquence marginale $f (A) = \frac{n (A)}{N}$ ; fréquence conditionnelle $f_{A} (B) = \frac{n (A \cap B)}{n (A)}$ : on divise par l'effectif du groupe qui suit « parmi ».
$f (A \cap B) = f (A) \times f_{A} (B)$ .
OU : $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ ; NON : $f (\overset{―}{A}) = 1 - f (A)$ .
Pour comparer deux groupes, on compare des fréquences conditionnelles, jamais des effectifs.

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