Fiche de révision : probabilités conditionnelles et arbres

Modèle probabiliste et équiprobabilité, probabilité conditionnelle dans un tableau croisé, arbres pondérés, passage d’un arbre à un tableau, probabilité de B sachant A ou de A sachant B, tests de dépistage et faux positifs.

Télécharger la fiche PDF

benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Probabilités conditionnelles et arbres

Fiche méthode

(Maths 2nde · Statistiques et probabilités · Probabilités)

La démarche pour calculer une probabilité

1. Je nomme les événements par des lettres et je vérifie le modèle : choix « au hasard », dé « équilibré » (équiprobabilité) ou loi donnée.

2. Je traduis chaque donnée : proportion de tous ( $P (A)$ ), proportion « parmi les $A$ » ( $P_{A} (B)$ ), proportion « à la fois » ( $P (A \cap B)$ ).

3. Je choisis l’outil : comptage des issues, tableau croisé d’effectifs, ou arbre pondéré (nœuds à $1$ , chemins = produits).

4. Je repère la condition de la question et je divise par son effectif ; si elle est « dans l’autre sens » que l’arbre, je passe au tableau sur $1 000$ ou $10 000$ individus.

Le réflexe — une probabilité conditionnelle se justifie toujours par sa condition : écrire « parmi les … » ou « sachant … », puis le quotient avec le bon dénominateur.

Cas 1 · Modèle et équiprobabilité

Réflexe — équiprobabilité : Card(A) ÷ Card(Ω) ; sinon somme des probabilités des issues ; « au moins un » : contraire.

Exemple. Questions types : « Calculer $P (A)$ », « Calculer $P (A \cap B)$ et $P (A \cup B)$ ». Exemple : on choisit au hasard un jour de juin ( $30$ jours). $A$ : « le jour est pair », $B$ : « le jour est au moins le $25$ ».

Choix au hasard : les $30$ jours sont équiprobables, $C a r d (Ω) = 30$ .

$C a r d (A) = 15$ et $A \cap B = {26; 28; 30}$ : $P (A \cap B) = \frac{3}{30} = 0, 1$ .

$A \cup B$ : les $15$ jours pairs et les jours impairs $25$ , $27$ , $29$ , soit $18$ jours : $P (A \cup B) = \frac{18}{30} = 0, 6$ .

Attention — une issue commune à A et à B ne se compte qu’une fois dans A ∪ B.

Cas 2 · Probabilité conditionnelle dans un tableau

Réflexe — « parmi qui ? » : ce groupe va en indice et son effectif au dénominateur.

Exemple. Questions types : « Calculer $P_{A} (B)$ », « Traduire par une phrase ». Exemple : un conservatoire a $160$ élèves : $100$ en piano, dont $60$ ont réussi l’examen de fin d’année ( $R$ ) ; $60$ en guitare ( $A$ ), dont $45$ ont réussi.

Réussites : $60 + 45 = 105$ .

$P_{A} (R) = \frac{45}{60} = 0, 75$ : $75 %$ des guitaristes ont réussi.

$P_{R} (A) = \frac{45}{105} = \frac{3}{7} \approx 0, 429$ : environ $43 %$ des reçus sont guitaristes.

Attention — P(A ∩ B) se divise par le total général, P sachant A par l’effectif de A.

1 / 2

benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Cas 3 · Arbre pondéré

Réflexe — premier niveau : la probabilité « seule » ; second niveau : les « parmi » ; nœuds à 1 ; chemin = produit.

Exemple. Questions types : « Construire l’arbre », « Calculer $P (A \cap B)$ ». Exemple : $25 %$ des trajets d’un train régional ont lieu par temps de neige ( $A$ ). Le train est en retard ( $R$ ) lors de $40 %$ des trajets par temps de neige et de $8 %$ des autres.

$P (A) = 0, 25$ , $P (\overset{―}{A}) = 0, 75$ ; $P_{A} (R) = 0, 4$ , $P_{A} (\overset{―}{R}) = 0, 6$ ; $P_{\overset{―}{A}} (R) = 0, 08$ , $P_{\overset{―}{A}} (\overset{―}{R}) = 0, 92$ .

$P (A \cap R) = 0, 25 \times 0, 4 = 0, 1$ et $P (\overset{―}{A} \cap R) = 0, 75 \times 0, 08 = 0, 06$ .

Attention — un nombre du second niveau est P sachant A, jamais P(B).

Cas 4 · De l’arbre au tableau

Réflexe — case = effectif total × probabilité du chemin ; P(B) = total de la colonne B ÷ effectif total.

Exemple. Questions types : « Calculer $P (B)$ », « Sachant $B$ , probabilité de $A$ ». Exemple : $20 %$ des clients d’un magasin de sport sont venus grâce à une publicité ( $U$ ). $70 %$ de ceux-là et $25 %$ des autres achètent un article en promotion ( $Q$ ).

Sur $1 000$ clients : $200$ dans $U$ , dont $200 \times 0, 7 = 140$ dans $Q$ ; $800$ autres, dont $800 \times 0, 25 = 200$ dans $Q$ .

Colonne $Q$ : $140 + 200 = 340$ , donc $P (Q) = 0, 34$ .

$P_{Q} (U) = \frac{140}{340} = \frac{7}{17} \approx 0, 412$ .

Attention — P(B) ne se lit sur aucune branche : on additionne les cases de sa colonne.

Cas 5 · Faux positifs

Réflexe — tableau sur 10 000 ou 100 000 ; vrais positifs ÷ total des positifs.

Exemple. Question type : « Le test est positif : probabilité d’être malade ? ». Exemple : dans une cuisine, $0, 2 %$ des fumées viennent d’un départ de feu ( $F$ ). Un détecteur sonne ( $S$ ) pour $99 %$ des départs de feu et pour $2 %$ des fumées de cuisson.

Sur $100 000$ fumées : $200$ départs de feu, dont $200 \times 0, 99 = 198$ font sonner le détecteur ; $99 800$ fumées de cuisson, dont $99 800 \times 0, 02 = 1 996$ le font sonner (faux positifs).

Sonneries : $198 + 1 996 = 2 194$ . $P_{S} (F) = \frac{198}{2 194} = \frac{99}{1 097} \approx 0, 090$ .

Seule une sonnerie sur onze environ signale un vrai départ de feu.

Attention — 99 % est P sachant F (sensibilité), pas P sachant S.

Les pièges

Confondre P sachant A et P sachant B : « 90 % des malades sont positifs » ne veut pas dire « 90 % des positifs sont malades ».
Diviser par le total général au lieu de l’effectif de la condition (ou l’inverse pour P(A ∩ B)).
Lire P(B) sur une branche du second niveau : ce sont des probabilités conditionnelles.
Oublier que, sans remise, la composition change après le premier tirage.
Écrire Card(A) ÷ Card(Ω) alors que les issues ne sont pas équiprobables (sommes de deux dés, nombre de pile).
Prendre 1 000 individus quand une probabilité vaut 0,5 % : les effectifs ne sont plus entiers.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

2 / 2

À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche en quatre étapes pour calculer une probabilité, puis un exemple rédigé par cas : jours de juin, élèves d’un conservatoire, retards d’un train régional par temps de neige, clients d’un magasin de sport et départs de feu repérés par un détecteur de fumée. Elle se termine par six pièges et se télécharge en PDF.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs