Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques

Probabilités et échantillonnage

Expériences aléatoires, probabilités conditionnelles, arbres pondérés, fluctuation d'échantillonnage et loi des grands nombres (programme de 2nde, BO 2026)

Ce chapitre apprend à calculer des probabilités (équiprobabilité, réunion, contraire, probabilité conditionnelle), à modéliser par un tableau ou un arbre pondéré, et à interpréter une fréquence observée grâce à la fluctuation d'échantillonnage et à la loi des grands nombres.

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Définitions

Expérience aléatoire : issues connues, résultat imprévisible. Univers $Ω$ : ensemble des issues ; événement : ensemble d'issues.
Probabilité : nombre de $[0; 1]$ attaché à chaque issue, somme égale à 1.
Contraire $\overset{―}{A}$ ; intersection $A \cap B$ (« et ») ; réunion $A \cup B$ (« ou ») ; incompatibles : $A \cap B = \emptyset$ .
Probabilité conditionnelle : $P_{A} (B)$ , probabilité de $B$ sachant $A$ (avec $P (A) \neq 0$ ).
Échantillon de taille $n$ : $n$ répétitions de l'expérience ; fréquence observée $f = \frac{effectif}{n}$ .

Formules

Équiprobabilité : $P (A) = \frac{nombre d'issues de A}{nombre total d'issues}$ .
$P (\overset{―}{A}) = 1 - P (A)$ .
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ ; si incompatibles, $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .
$P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ et donc $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ .
Arbre : chemin = produit des branches ; événement = somme des chemins ; chaque nœud totalise 1.

Méthodes

Tableau à double entrée : compléter les totaux ; probabilité simple = effectif ÷ total ; $P_{A} (B)$ = case $A \cap B$ ÷ total de $A$ .
Arbre pondéré : premier niveau = probabilités connues ; second niveau = conditionnelles ; multiplier le long d'un chemin, additionner les chemins ; pour renverser la condition, diviser $P (A \cap B)$ par $P (B)$ .
Estimer une probabilité : calculer $f$ ; si $n$ est grand, $p \approx f$ (loi des grands nombres) ; si $n$ est petit, invoquer la fluctuation.
Simuler en Python : boucle for, test $r a n d i n t (a, b)$ ou $r a n d o m () < p$ , compteur, puis $c o m p t e u r / n$ .

Échantillonnage

Fluctuation d'échantillonnage : la fréquence varie d'un échantillon à l'autre, d'autant moins que $n$ est grand.
Loi des grands nombres (version vulgarisée) : quand $n$ devient très grand, $f$ se rapproche de $p$ .
Une fréquence n'est pas une probabilité : $f$ dépend de l'échantillon, $p$ du modèle.

Pièges

$P_{A} (B) \neq P_{B} (A)$ : même numérateur, dénominateurs différents (faux positifs d'un test).
Ne pas oublier $- P (A \cap B)$ dans la formule de la réunion.
Sans remise : au second tirage, le total et l'effectif de la sorte tirée diminuent de 1.
Le hasard n'a pas de mémoire : un résultat « en retard » n'est pas plus probable.
Un petit échantillon ne prouve rien ; un grand échantillon est un indice sérieux.

L'essentiel

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ et $P (\overset{―}{A}) = 1 - P (A)$ .
$P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ : on divise par la probabilité de la condition.
Sur un arbre : on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins.
En général $P_{A} (B) \neq P_{B} (A)$ : un test fiable peut donner surtout des faux positifs si le caractère est rare.
Loi des grands nombres : sur un grand échantillon, la fréquence observée se rapproche de la probabilité.

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