Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Physique-Chimie

Travail et puissance d’une force

Travail d’une force constante comme produit scalaire ; travail moteur, nul ou résistant et somme des travaux ; travail du poids et force conservative ; travail d’une force électrique dans un champ uniforme et des frottements ; puissance moyenne et instantanée d’une force.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés pas à pas : monter un réfrigérateur sur une terrasse par une rampe ou avec une poulie, la montée d’un téléphérique, l’énergie économisée en roulant moins vite sur autoroute, le moteur ionique de la sonde Deep Space 1 et un skieur tiré par la perche d’un téléski.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je décris la situation : système, référentiel, trajet de A à B (longueur, dénivellation, segments).
Je fais le bilan des forces et je repère, pour chacune, son angle avec le déplacement.
Je calcule chaque travail avec la bonne expression : $F \times A B \times \cos α$ , $m g (z_{A} - z_{B})$ , $q \vec{E} \cdot \vec{A B}$ , $- f \times ℓ$ .
J’exploite le mouvement : s’il est rectiligne uniforme, la somme des travaux est nulle, ce qui donne un travail ou une force inconnue.
Je passe à la puissance et je conclus : $\frac{W}{Δ t}$ ou $F v \cos α$ , unités SI, ordre de grandeur cohérent.

Problème 1 · Rampe ou poulie : monter un réfrigérateur★★★Facile

Un réfrigérateur de 115 kg doit être monté du jardin sur une terrasse située 2,70 m plus haut. Deux solutions, toutes deux à vitesse constante : A, le hisser verticalement avec une corde passant sur une poulie fixe, sans frottement ; B, le faire glisser le long d’une rampe rectiligne de 7,50 m, qui exerce un frottement de valeur constante

f = 88

N. Dans les deux cas, la force qui tire le réfrigérateur (la corde en A, l’opérateur en B) est parallèle au déplacement.

g = 9, 81

N·kg⁻¹.

1. Travail du poids, le même dans les deux solutions : × 10³ J
Le travail du poids ne dépend que des altitudes de départ et d’arrivée : $W (\vec{P}) = 115 \times 9, 81 \times (- 2, 70) \approx - 3, 05 \times 10^{3}$ J dans les deux cas.
2. Travail des frottements dans la solution B : J
$W (\vec{f}) = - 88 \times 7, 50 = - 660$ J.
3. Travail de l’opérateur dans la solution B : × 10³ J
Mouvement rectiligne uniforme : la somme des travaux est nulle ; la réaction normale de la rampe ne travaille pas. $W_{B} = 3 046 + 660 \approx 3, 71 \times 10^{3}$ J (dans la solution A, le travail de la corde vaut $W_{A} = 3, 05 \times 10^{3}$ J).
4. Force exercée par la corde sur le réfrigérateur dans la solution A : N
Force parallèle au déplacement : $F_{A} = \frac{W_{A}}{2, 70} = \frac{3 046}{2, 70} \approx 1, 13 \times 10^{3}$ N, c’est bien $m g$ . La poulie fixe ne change que la direction de la corde : l’opérateur tire avec cette même force.
5. Force exercée par l’opérateur dans la solution B : N
$F_{B} = \frac{3 706}{7, 50} \approx 494$ N : la rampe divise l’effort par $\frac{1 128}{494} \approx 2, 3$ .
6. Part du travail de l’opérateur dissipée par les frottements dans la solution B : %
$\frac{660}{3 706} \approx 0, 178$ , soit 17,8 % : la rampe réduit la force à exercer mais demande plus d’énergie. Sans frottement, elle demanderait exactement le même travail que la poulie.
7. La rampe est parcourue en 30 s : puissance moyenne de l’opérateur : W
$P = \frac{3 706}{30} \approx 124$ W.

Problème 2 · La montée d’un téléphérique★★★Moyen

Une cabine de téléphérique, de masse totale

2, 80 \times 10^{3}

kg passagers compris, monte à la vitesse constante de 6,0 m·s⁻¹ le long d’un câble rectiligne de 1 950 m, en gagnant 640 m d’altitude. Les résistances au mouvement (galets, air) sont modélisées par une force de valeur constante

1, 4 \times 10^{3}

N opposée au déplacement. La force de traction du câble est parallèle au déplacement.

g = 9, 81

N·kg⁻¹.

1. Durée de la montée : s
Mouvement uniforme : $Δ t = \frac{1 950}{6, 0} = 325$ s, soit 5 min 25 s.
2. Travail du poids : × 10⁷ J
$W (\vec{P}) = 2, 80 \times 10^{3} \times 9, 81 \times (- 640) \approx - 1, 76 \times 10^{7}$ J, résistant.
3. Travail des résistances : × 10⁶ J
$W (\vec{f}) = - 1, 4 \times 10^{3} \times 1 950 = - 2, 73 \times 10^{6}$ J.
4. Travail de la force de traction : × 10⁷ J
Mouvement rectiligne uniforme : somme des travaux nulle, la réaction des galets étant perpendiculaire au câble. $W (\vec{T}) = 1, 758 \times 10^{7} + 0, 273 \times 10^{7} \approx 2, 03 \times 10^{7}$ J.
5. Valeur de la force de traction : × 10⁴ N
Force parallèle au déplacement : $T = \frac{W (\vec{T})}{1 950} \approx \frac{2, 031 \times 10^{7}}{1 950} \approx 1, 04 \times 10^{4}$ N.
6. Puissance moyenne de la force de traction : × 10⁴ W
$P = \frac{2, 031 \times 10^{7}}{325} \approx 6, 25 \times 10^{4}$ W ; on retrouve $T v \approx 1, 0415 \times 10^{4} \times 6, 0$ .
7. Énergie transférée par la traction pour 40 montées identiques : kW·h
Une montée : $\frac{2, 031 \times 10^{7}}{3, 6 \times 10^{6}} \approx 5, 64$ kW·h ; 40 montées : $\approx 226$ kW·h. Le moteur en consomme davantage, car son rendement est inférieur à 100 %.

Problème 3 · Rouler moins vite sur autoroute★★★Moyen

Une voiture de 1 450 kg roule à vitesse constante sur une autoroute horizontale. Les résistances totales (air, roulement) dépendent de la vitesse :

Vitesse	130 km·h⁻¹	110 km·h⁻¹
Résistances	620 N	490 N

La force motrice est colinéaire à la vitesse et de même sens.

g = 9, 81

N·kg⁻¹.

1. Puissance de la force motrice à 130 km·h⁻¹ : × 10⁴ W
Mouvement rectiligne uniforme : la force motrice compense les résistances, $F = 620$ N. $v = \frac{130}{3, 6} \approx 36, 1$ m·s⁻¹ et $P = F v \approx 620 \times 36, 1 \approx 2, 24 \times 10^{4}$ W.
2. Travail de la force motrice sur 100 km à 130 km·h⁻¹ : kW·h
$W = 620 \times 1, 00 \times 10^{5} = 6, 20 \times 10^{7}$ J, soit $\frac{6, 20 \times 10^{7}}{3, 6 \times 10^{6}} \approx 17, 2$ kW·h.
3. Puissance de la force motrice à 110 km·h⁻¹ : × 10⁴ W
$v = \frac{110}{3, 6} \approx 30, 6$ m·s⁻¹ ; $P = 490 \times 30, 56 \approx 1, 50 \times 10^{4}$ W.
4. Énergie économisée sur 100 km en roulant à 110 km·h⁻¹ plutôt qu’à 130 km·h⁻¹ : %
Sur une même distance, le travail est proportionnel à la force : $\frac{620 - 490}{620} \approx 0, 210$ , soit environ 21 % d’énergie en moins.
5. À 110 km·h⁻¹, la voiture gravit une côte rectiligne de 3,0 km qui l’élève de 150 m. Travail du poids : × 10⁶ J
$W (\vec{P}) = 1 450 \times 9, 81 \times (- 150) \approx - 2, 13 \times 10^{6}$ J : le moteur doit fournir ce travail en plus.
6. Puissance totale de la force motrice pendant la montée : × 10⁴ W
Durée : $\frac{3 000}{30, 56} \approx 98, 2$ s ; puissance supplémentaire : $\frac{2, 134 \times 10^{6}}{98, 2} \approx 2, 17 \times 10^{4}$ W ; total : $1, 50 \times 10^{4} + 2, 17 \times 10^{4} \approx 3, 67 \times 10^{4}$ W. La côte multiplie la puissance par près de 2,5.

Problème 4 · Le moteur ionique d’une sonde spatiale★★★Difficile

La sonde Deep Space 1 de la NASA, lancée en 1998, était propulsée par un moteur ionique : des ions xénon Xe⁺, de charge

e

, sont accélérés entre deux grilles soumises à une tension

U = 1 100

V, puis éjectés. Au régime maximal, le faisceau d’ions correspond à un courant d’intensité

I = 1, 76

A, et le propulseur reçoit une puissance électrique de 2,3 kW. On modélise la zone d’accélération par un champ électrostatique uniforme entre deux grilles planes distantes de

d = 0, 80

mm ; chaque ion la traverse dans le sens de la force électrique. Données :

e = 1, 60 \times 10^{- 19}

C ; masse d’un ion xénon

m = 2, 18 \times 10^{- 25}

kg ;

g = 9, 81

N·kg⁻¹.

1. Valeur du champ entre les grilles : × 10⁶ V·m⁻¹
$E = \frac{U}{d} = \frac{1 100}{0, 80 \times 10^{- 3}} = 1, 375 \times 10^{6}$ V·m⁻¹.
2. Valeur de la force électrique sur un ion : × 10⁻¹³ N
$F = e E = 1, 60 \times 10^{- 19} \times 1, 375 \times 10^{6} = 2, 2 \times 10^{- 13}$ N.
3. Travail de la force électrique sur un ion pendant la traversée : × 10⁻¹⁶ J
Force constante, dans le sens du déplacement : $W = F d = 2, 2 \times 10^{- 13} \times 0, 80 \times 10^{- 3} = 1, 76 \times 10^{- 16}$ J. C’est $e U$ : avec des grilles plus écartées, sous la même tension, le champ serait plus faible et le travail identique.
4. Rapport de la force électrique au poids d’un ion : × 10¹¹
Poids : $2, 18 \times 10^{- 25} \times 9, 81 \approx 2, 14 \times 10^{- 24}$ N ; $\frac{2, 2 \times 10^{- 13}}{2, 14 \times 10^{- 24}} \approx 1, 0 \times 10^{11}$ : le poids est négligeable, même au voisinage de la Terre.
5. Nombre d’ions éjectés chaque seconde : × 10¹⁹
L’intensité est le débit de charge : $N = \frac{I}{e} = \frac{1, 76}{1, 60 \times 10^{- 19}} = 1, 1 \times 10^{19}$ ions par seconde.
6. Puissance transférée par la force électrique à l’ensemble des ions : W
Chaque seconde, $1, 1 \times 10^{19}$ ions reçoivent chacun $1, 76 \times 10^{- 16}$ J : $P = 1, 1 \times 10^{19} \times 1, 76 \times 10^{- 16} = 1 936$ W, c’est-à-dire $U I = 1 100 \times 1, 76$ .
7. Part de la puissance électrique reçue qui est transférée aux ions : %
$\frac{1 936}{2 300} \approx 0, 84$ , soit environ 84 %.

Problème 5 · Le téléski : une force inclinée sur une pente★★★Difficile

Un téléski tire un skieur de 75 kg, équipement compris, à la vitesse constante de 2,5 m·s⁻¹, sur une piste rectiligne de 600 m inclinée de 20° sur l’horizontale. La perche exerce une force constante

\vec{T}

qui fait un angle de 30° avec la piste ; la neige exerce une réaction normale et des frottements de valeur constante

f = 40

N opposés au mouvement ; l’action de l’air est négligée.

g = 9, 81

N·kg⁻¹.

1. Durée de la montée : s
$Δ t = \frac{600}{2, 5} = 240$ s.
2. Dénivellation de la montée : m
$h = 600 \times \sin 20 ° \approx 205$ m.
3. Travail du poids : × 10⁵ J
$W (\vec{P}) = 75 \times 9, 81 \times (- 205, 2) \approx - 1, 51 \times 10^{5}$ J, résistant.
4. Travail des frottements : × 10⁴ J
$W (\vec{f}) = - 40 \times 600 = - 2, 4 \times 10^{4}$ J.
5. Valeur de la force exercée par la perche : N
Mouvement rectiligne uniforme : $\sum \vec{F} = \vec{0}$ . Sur l’axe de la piste orienté vers le haut : $T \cos 30 ° - m g \sin 20 ° - f = 0$ , la réaction normale étant perpendiculaire à la piste. $T = \frac{75 \times 9, 81 \times \sin 20 ° + 40}{\cos 30 °} \approx \frac{251, 6 + 40}{0, 866} \approx 337$ N.
6. Travail de la force de la perche : × 10⁵ J
$W (\vec{T}) = T \times 600 \times \cos 30 ° \approx 337 \times 600 \times 0, 866 \approx 1, 75 \times 10^{5}$ J. Contrôle : $1, 75 \times 10^{5} - 1, 51 \times 10^{5} - 0, 24 \times 10^{5} \approx 0$ , somme nulle.
7. Puissance de la force de la perche : W
$P = T v \cos 30 ° \approx 336, 8 \times 2, 5 \times 0, 866 \approx 729$ W.
8. Puissance totale pour 12 skieurs tirés en même temps dans les mêmes conditions : kW
$12 \times 729 \approx 8, 75 \times 10^{3}$ W, soit environ 8,75 kW.

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