Travail et puissance d’une force

Un établi de 42 kg est poussé sur un sol horizontal, sur 9,0 m en ligne droite, par une force horizontale de valeur constante $F=155$ N, dans le sens du déplacement.

1. Angle entre la force de poussée et le déplacement : °
   La force est horizontale, dans le sens du déplacement, lui aussi horizontal : $\alpha =0°$ et $\cos \alpha =1$.
2. Travail de la force de poussée : J
   $W=F\times AB\times \cos \alpha =155\times 9,0\times 1=1395$ J, soit environ $1,40\times {10}^3$ J, moteur.
3. Même valeur de force, mais inclinée de 30° vers le bas (on pousse par un manche) : travail : J
   $W=155\times 9,0\times \cos 30°\approx 1208$ J : seule la composante horizontale $F\cos 30°$ travaille ; la composante verticale appuie l’établi sur le sol.

Sur une plage, le vent exerce sur un char à voile une force supposée constante $\overrightarrow{F}(180;240)$, en N, dans un repère horizontal (axe $x$ vers l’est, axe $y$ vers le nord, en m). Le char va en ligne droite de A(0 ; 0) à B(60 ; 25).

1. Valeur de la force : N
   $F=\sqrt{{180}^2+{240}^2}=\sqrt{90000}=300$ N.
2. Longueur du déplacement : $AB$ = m
   $AB=\sqrt{{60}^2+{25}^2}=\sqrt{4225}=65$ m.
3. Travail de la force du vent : J
   En coordonnées : $W=180\times 60+240\times 25=10800+6000=16800$ J, moteur.
4. Angle entre la force et le déplacement, au dixième de degré : °
   $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{W}{F\times AB}}={\displaystyle \frac{16800}{300\times 65}}\approx 0,8615$, donc $\alpha \approx 30,5°$.

Un kart en panne est tiré sur 15 m en ligne droite par une sangle qui exerce une force constante de 120 N, faisant un angle $\alpha$ réglable avec le déplacement.

1. Travail le plus grand possible avec cette force : J
   Le travail est maximal pour $\cos \alpha =1$, soit $\alpha =0°$ : $W_{max}=120\times 15=1800$ J.
2. Angle pour lequel le travail ne vaut que 900 J : °
   $120\times 15\times \cos \alpha =900$ donne $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{900}{1800}}=0,5$, soit $\alpha =60°$.
3. Valeur de la force à exercer à 60° pour transférer 1 500 J sur les mêmes 15 m : N
   $F\times 15\times 0,5=1500$ donne $F={\displaystyle \frac{1500}{7,5}}=200$ N : tirer de biais oblige à tirer plus fort pour le même travail.

Une force constante de valeur $F=240$ N fait un angle de 115° avec le déplacement rectiligne d’un chariot, de longueur 6,0 m.

1. Travail de cette force : J
   $W=240\times 6,0\times \cos 115°\approx 1440\times (-0,4226)\approx -609$ J.
2. Ce travail est : la force freine le chariot.
   L’angle dépasse 90° : la force a une composante opposée au déplacement, elle prélève environ 609 J au chariot.
3. Angle pour lequel cette force ne travaillerait pas : °
   Le travail est nul quand $\cos \alpha =0$, soit $\alpha =90°$ : la force serait perpendiculaire au déplacement.

Un wagonnet de mine est tiré par un câble horizontal, en ligne droite et à vitesse constante, sur 400 m de voie horizontale. La tension du câble vaut 150 N. Le wagonnet subit aussi son poids, la réaction normale des rails (verticale) et des frottements opposés au mouvement ; l’action de l’air est négligée.

1. Travail de la tension du câble : J
   Tension horizontale, dans le sens du déplacement : $W=150\times 400=6,0\times {10}^4$ J, moteur.
2. Travail de la réaction normale des rails : J
   Verticale, donc perpendiculaire au déplacement horizontal : elle ne travaille pas (le poids non plus).
3. Travail des frottements : J
   Mouvement rectiligne uniforme : d’après le principe d’inertie, $\sum \overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$, donc la somme des travaux est nulle. Seuls la tension et les frottements travaillent : $W=-6,0\times {10}^4$ J, résistant.

Un chariot de chantier de 95 kg est hissé à vitesse constante sur 6,5 m le long d’une rampe inclinée de 18° sur l’horizontale, par un câble parallèle à la rampe. Les frottements de la rampe ont une valeur constante $f=105$ N. $g=9,81$ N·kg⁻¹.

1. Dénivellation gagnée par le chariot : m
   $h=6,5\times \sin 18°\approx 2,01$ m.
2. Travail du poids : J
   $W(\overrightarrow{P})=mg(z_A-z_B)=95\times 9,81\times (-2,01)\approx -1,87\times {10}^3$ J : le chariot monte, travail résistant.
3. Valeur de la tension du câble : N
   Mouvement rectiligne uniforme : $\sum \overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$. Sur l’axe de la rampe orienté vers le haut, $T-mg\sin 18°-f=0$ (la réaction normale est perpendiculaire à l’axe), donc $T=95\times 9,81\times \sin 18°+105\approx 288+105=393$ N.
4. Travail de la tension : J
   Câble parallèle au déplacement : $W(\overrightarrow{T})=393\times 6,5\approx 2,55\times {10}^3$ J. Contrôle : $W(\overrightarrow{f})=-105\times 6,5=-682,5$ J et $2554-1872-682,5\approx 0$ : somme des travaux nulle, comme attendu à vitesse constante.

Un seau de mortier de 6,5 kg est hissé verticalement avec une corde, à vitesse constante, du sol jusqu’à un échafaudage situé 3,2 m plus haut. $g=9,81$ N·kg⁻¹.

1. Travail du poids du seau pendant la montée : J
   Axe vers le haut : $z_A-z_B=-3,2$ m, donc $W(\overrightarrow{P})=6,5\times 9,81\times (-3,2)\approx -204$ J, résistant.
2. Travail de la force exercée par la corde : J
   Mouvement rectiligne uniforme : la somme des travaux est nulle ; seuls le poids et la corde travaillent, donc $W(\text{corde})=+204$ J.
3. Masse du seau pour laquelle le travail du poids vaudrait −500 J sur la même montée : kg
   $m\times 9,81\times (-3,2)=-500$ donne $m={\displaystyle \frac{500}{31,392}}\approx 15,9$ kg.

Un vététiste et son vélo, 80 kg au total, descendent un chemin rectiligne de 250 m incliné de 12° sur l’horizontale. $g=9,81$ N·kg⁻¹.

1. Angle entre le poids et le déplacement : °
   Le poids est vertical et le chemin fait 12° avec l’horizontale : l’angle vaut $90°-12°=78°$ à la descente.
2. Dénivellation de la descente : m
   $h=250\times \sin 12°\approx 52,0$ m.
3. Travail du poids : J
   $W(\overrightarrow{P})=mgh=80\times 9,81\times 52,0\approx 4,08\times {10}^4$ J, moteur ; on trouve la même valeur avec $80\times 9,81\times 250\times \cos 78°$.

Un drone de 1,5 kg suit un trajet relevé en cinq points, d’abscisses $x$ et d’altitudes $z$ (axe vertical vers le haut, en m). Ce programme additionne le travail du poids sur chaque segment :

m, g = 1.5, 9.81
x = [0, 3, 5, 9, 12]
z = [10, 7, 8, 4, 6]
Px, Pz = 0, -m * g
W = 0
for i in range(len(x) - 1):
    W = W + Px * (x[i+1] - x[i]) + Pz * (z[i+1] - z[i])
print(round(W, 2))

1. Dans le programme, 0 est la coordonnée du poids.
   Le poids est vertical : sa coordonnée horizontale $P_x$ est nulle et sa coordonnée verticale vaut $P_z=-mg$ (vers le bas).
2. Travail du poids sur le dernier segment, de $x=9$ à $x=12$ : J
   Le drone monte de 4 m à 6 m : $W=-1,5\times 9,81\times (6-4)=-29,43$ J, résistant.
3. Valeur affichée par le programme :
   Les termes s’ajoutent et seuls comptent le départ et l’arrivée : $W=-mg(6-10)=1,5\times 9,81\times 4=58,86$ J, soit $mg(z_A-z_B)$.
4. On remplace la dernière altitude 6 par 13. Valeur affichée :
   Arrivée 3 m plus haut que le départ : $W=1,5\times 9,81\times (10-13)=-44,145$ J ; le programme affiche −44.15 (arrondi de la machine).

Un objet de 2,4 kg glisse en ligne droite d’un point A à un point B distants de 1,5 m sur une table horizontale, puis revient de B en A. Les frottements ont une valeur constante $f=3,6$ N.

1. Longueur réellement parcourue : m
   Aller puis retour : $\ell =2\times 1,5=3,0$ m.
2. Travail des frottements sur l’aller-retour : J
   Les frottements s’opposent au mouvement à l’aller comme au retour : $W=-3,6\times 1,5-3,6\times 1,5=-10,8$ J. Écrire $\overrightarrow{f}·\overrightarrow{AA}=0$ serait faux : la force change de sens au retour.
3. Travail des frottements pour trois allers-retours : J
   $\ell =6\times 1,5=9,0$ m, donc $W=-3,6\times 9,0=-32,4$ J, alors que le travail du poids reste nul : les frottements ne sont pas conservatifs.

Un skieur de masse totale 72 kg descend une piste rectiligne de 380 m qui lui fait perdre 145 m d’altitude. Les frottements sont modélisés par une force de valeur constante $f=95$ N opposée au mouvement. $g=9,81$ N·kg⁻¹.

1. Travail du poids : J
   $W(\overrightarrow{P})=mg(z_A-z_B)=72\times 9,81\times 145\approx 1,02\times {10}^5$ J, moteur ; les 380 m n’interviennent pas.
2. Travail des frottements : J
   $W(\overrightarrow{f})=-f\times \ell =-95\times 380=-36100$ J, résistant.
3. Somme des travaux des forces exercées sur le skieur : J
   La réaction normale de la neige, perpendiculaire à la piste, ne travaille pas : $\sum W\approx 102416-36100\approx 6,63\times {10}^4$ J.
4. La somme des travaux est positive : la vitesse du skieur .
   Les forces sont constantes et la trajectoire rectiligne : $\sum W=(\sum \overrightarrow{F})·\overrightarrow{AB}>0$, la somme des forces a une composante dans le sens du mouvement, donc $\Delta \overrightarrow{v}$ aussi : le skieur accélère malgré les frottements.

Une particule alpha (noyau d’hélium), de charge $q=3,2\times {10}^{-19}$ C et de masse $m=6,64\times {10}^{-27}$ kg, se déplace dans un champ électrostatique uniforme de valeur $E=4,5\times {10}^3$ V·m⁻¹. $g=9,81$ N·kg⁻¹.

1. Valeur de la force électrique : × 10⁻¹⁵ N
   $F=qE=3,2\times {10}^{-19}\times 4,5\times {10}^3=1,44\times {10}^{-15}$ N.
2. Travail de cette force pour un déplacement de 8,0 cm dans le sens du champ : × 10⁻¹⁶ J
   $q>0$ : la force a le sens du champ, donc du déplacement. $W=1,44\times {10}^{-15}\times 8,0\times {10}^{-2}\approx 1,15\times {10}^{-16}$ J, moteur.
3. Travail de la force électrique pour 8,0 cm perpendiculairement au champ : J
   Déplacement perpendiculaire à la force : $\cos 90°=0$, aucun transfert d’énergie.
4. Travail du poids pour une descente verticale de 8,0 cm : × 10⁻²⁷ J
   $W(\overrightarrow{P})=6,64\times {10}^{-27}\times 9,81\times 0,080\approx 5,21\times {10}^{-27}$ J : environ $2\times {10}^{10}$ fois moins que le travail de la force électrique. Le poids est négligeable.

Un kayakiste avance en ligne droite à la vitesse constante de 2,5 m·s⁻¹. La force propulsive due à la pagaie, colinéaire à la vitesse et de même sens, vaut en moyenne 30 N. Il pagaie ainsi pendant 12 minutes.

1. Puissance de la force propulsive : W
   $P=Fv=30\times 2,5=75$ W.
2. Travail de cette force pendant les 12 minutes : J
   $\Delta t=12\times 60=720$ s ; $W=P\times \Delta t=75\times 720=5,4\times {10}^4$ J.
3. Ce travail en kilowattheures : kW·h
   ${\displaystyle \frac{5,4\times {10}^4}{3,6\times {10}^6}}=0,015$ kW·h.

Un tramway roule en ligne droite à 54 km·h⁻¹, à vitesse constante, sur une voie horizontale. La force motrice, colinéaire à la vitesse et de même sens, vaut $3,0\times {10}^3$ N.

1. Distance parcourue en 10 s : m
   $v={\displaystyle \frac{54}{3,6}}=15$ m·s⁻¹ ; en 10 s, $d=15\times 10=150$ m.
2. Travail de la force motrice pendant ces 10 s : J
   $W=F\times d=3,0\times {10}^3\times 150=4,5\times {10}^5$ J.
3. Puissance moyenne de la force motrice : W
   $P={\displaystyle \frac{4,5\times {10}^5}{10}}=4,5\times {10}^4$ W, soit 45 kW : c’est bien $Fv=3,0\times {10}^3\times 15$, quelle que soit la durée choisie.
4. Durée pour que cette force transfère $1,8\times {10}^7$ J : s
   $\Delta t={\displaystyle \frac{W}{P}}={\displaystyle \frac{1,8\times {10}^7}{4,5\times {10}^4}}=400$ s, soit 6 min 40 s.

Un monte-matériaux de chantier hisse une palette de briques de 320 kg à vitesse constante sur 14 m de hauteur, en 25 s. $g=9,81$ N·kg⁻¹. Un élève écrit : « Le travail du poids vaut $320\times 9,81\times 14=4,4\times {10}^4$ J. Si la montée dure deux fois plus longtemps, le travail du câble est deux fois plus grand. »

1. Travail du poids de la palette, axe vertical orienté vers le haut : J
   Axe vers le haut : $W(\overrightarrow{P})=320\times 9,81\times (-14)\approx -4,39\times {10}^4$ J. La palette monte : le travail du poids est résistant ; l’élève s’est trompé de signe.
2. Puissance de la force du câble : W
   Vitesse constante en ligne droite : la somme des travaux est nulle, donc $W(\text{câble})=+4,39\times {10}^4$ J et $P={\displaystyle \frac{4,39\times {10}^4}{25}}\approx 1,76\times {10}^3$ W.
3. Puissance du câble si la montée dure 50 s : W
   Le câble transfère toujours $4,39\times {10}^4$ J : le travail ne dépend que de la force et du déplacement, pas de la durée. C’est la puissance qui est divisée par deux : ${\displaystyle \frac{43949}{50}}\approx 879$ W. L’élève a confondu travail et puissance.