Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Physique-Chimie

Forces et approche de la deuxième loi de Newton

Bilan des forces, somme vectorielle et projections ; principe d’inertie ; approche de la deuxième loi de Newton pour estimer une force à partir d’un mouvement filmé ; prévoir une variation de vitesse, rôle de la masse et simulation en Python ; principe des actions réciproques.

À propos de cette page

Ce cours de physique-chimie de première spécialité relie les forces au mouvement en cinq parties : le bilan des forces, avec la somme vectorielle et les projections sur un plan incliné ; le principe d’inertie pour calculer une force inconnue ; l’approche de la deuxième loi de Newton pour estimer une force à partir d’un mouvement filmé ; la prévision d’une variation de vitesse, le rôle de la masse et une simulation en Python ; le principe des actions réciproques.

Bilan des forces, somme vectorielle et projections

Ce qu’il faut savoir

Système, référentiel, bilan. On choisit le système, modélisé par un point matériel placé en son centre de masse, et un référentiel. Le référentiel terrestre est supposé galiléen : le principe d’inertie (partie 2) y est vérifié, ce qui convient pour les expériences courantes de courte durée. On fait ensuite le bilan des forces extérieures : une force par acteur extérieur (la Terre, chaque objet en contact, le fluide). Les forces intérieures au système n’y figurent jamais. La modélisation d’une action par une force a été vue en seconde : Interactions : modéliser une action par une force.

Action	Force	Direction et sens
Attraction de la Terre	poids $\vec{P} = m \vec{g}$ , $P = m g$	verticale, vers le bas
Support solide	réaction normale ${\vec{R}}_{N}$	perpendiculaire au support, vers le système
Frottements (solide, air, eau)	force $\vec{f}$	opposée au mouvement (ou au glissement)
Fil ou câble tendu	tension $\vec{T}$	selon le fil, du système vers le fil
Ressort	$F = k \| Δ ℓ \|$ ( $k$ en N·m⁻¹)	selon le ressort, vers sa longueur à vide
Fluide (eau, air)	poussée d’Archimède $\vec{Π}$	verticale, vers le haut

Somme des forces. Les forces s’additionnent comme des vecteurs : $\sum \vec{F} = {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} + \dots$ Graphiquement, on les met bout à bout ; en coordonnées, on additionne coordonnée par coordonnée, ${(\sum F)}_{x} = F_{1 x} + F_{2 x} + \dots$ , et la valeur vaut $\sqrt{{(\sum F)}_{x}^{2} + {(\sum F)}_{y}^{2}}$ .

Projeter une force. Une force de valeur $F$ qui fait un angle $α$ avec l’axe $(O x)$ a pour coordonnées $F_{x} = F \cos α$ et $F_{y} = F \sin α$ , avec le signe donné par l’orientation des axes. Sur un plan incliné d’un angle $α$ , le poids se décompose en $m g \sin α$ parallèlement à la pente, vers le bas, et $m g \cos α$ perpendiculairement au plan. On choisit les axes pour simplifier : l’un selon le mouvement ou la pente, l’autre perpendiculaire.

Exemples

Exemple 1 — projeter une force. Une personne pousse une tondeuse par son guidon avec une force de 60 N, dirigée selon le guidon, incliné de 35° sous l’horizontale. Axe $x$ horizontal vers l’avant, axe $y$ vertical vers le haut : $F_{x} = 60 \cos 35 ° \approx 49, 1$ N fait avancer la tondeuse ; $F_{y} = - 60 \sin 35 ° \approx - 34, 4$ N la plaque contre le sol. Seule la composante horizontale sert à avancer.

Exemple 2 — le poids sur un plan incliné. Un bloc de 8,0 kg est posé sur une rampe inclinée de 30°. Son poids vaut $P = m g = 8, 0 \times 9, 81 = 78, 48$ N. Composante parallèle à la pente : $m g \sin 30 ° = 78, 48 \times 0, 5 = 39, 24$ N, vers le bas de la pente ; composante perpendiculaire : $m g \cos 30 ° \approx 67, 97$ N, vers le plan.

Le poids, somme de ses deux composantes ; l’angle entre $\vec{P}$ et la composante perpendiculaire au plan vaut $α$ .

Réflexe — un acteur extérieur, une force ; deux axes perpendiculaires, l’un selon le mouvement ; chaque force projetée avec le cosinus (côté adjacent à l’angle) ou le sinus (côté opposé).

Attention — la « force du mouvement » ou la « force du lancer » n’existent pas : une fois la balle lâchée, la main n’agit plus. Et un poids s’exprime en newtons, jamais en kilogrammes.

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Le principe d’inertie : quand les forces se compensent

Ce qu’il faut savoir

Principe d’inertie (première loi de Newton). Dans un référentiel galiléen, les forces exercées sur un système se compensent, $\sum \vec{F} = \vec{0}$ , si et seulement si son centre de masse est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme, c’est-à-dire si $Δ \vec{v} = \vec{0}$ . Ce principe a été vu en seconde : Principe d’inertie.

Sens direct : forces qui se compensent ⇒ repos ou mouvement rectiligne uniforme. Sens réciproque : repos ou mouvement rectiligne uniforme constaté ⇒ $\sum \vec{F} = \vec{0}$ ; c’est lui qui permet de calculer une force inconnue. Contraposée : si le vecteur vitesse change, en valeur ou en direction, les forces ne se compensent pas.

En pratique. On écrit $\sum \vec{F} = \vec{0}$ , puis on projette : sur chaque axe, la somme des coordonnées est nulle. On obtient autant d’équations que d’axes.

Référentiel non galiléen. Dans un véhicule qui démarre, freine ou tourne, le principe d’inertie n’est pas vérifié : un passager semble poussé sans qu’aucun acteur ne le pousse. On raisonne alors dans le référentiel terrestre.

Exemples

Exemple 1 — trouver une force inconnue. Une bouée de 0,60 kg est maintenue immobile sous l’eau par un câble vertical fixé au fond, dont la tension vaut 1,4 N. Bilan : poids $P = 0, 60 \times 9, 81 = 5, 886$ N, vers le bas ; tension $T = 1, 4$ N, vers le bas ; poussée d’Archimède $Π$ , vers le haut. La bouée est immobile dans le référentiel terrestre, supposé galiléen : les forces se compensent. Sur un axe vertical vers le haut, $Π - P - T = 0$ , donc $Π = 5, 886 + 1, 4 = 7, 286$ N, soit environ 7,3 N.

Exemple 2 — un mouvement rectiligne uniforme. Une armoire de 60 kg est poussée en ligne droite, à vitesse constante, sur un parquet horizontal, par une force horizontale de 120 N. Mouvement rectiligne uniforme : $\sum \vec{F} = \vec{0}$ . Horizontalement, $F - f = 0$ , donc les frottements valent $f = 120$ N, opposés au mouvement. Verticalement, $R_{N} - P = 0$ , donc $R_{N} = 60 \times 9, 81 = 588, 6$ N.

Réflexe — immobile ou rectiligne uniforme ⇒ $\sum \vec{F} = \vec{0}$ ⇒ une équation par axe, puis l’inconnue avec son unité.

Attention — « les forces se compensent » ne veut pas dire « il n’y a pas de force ». Et une vitesse de valeur constante dans un virage n’est pas un mouvement rectiligne uniforme : la direction change, $Δ \vec{v} \neq \vec{0}$ , les forces ne se compensent pas.

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Approche de la deuxième loi de Newton : du mouvement aux forces

Ce qu’il faut savoir

Rappel. Entre deux instants voisins, le vecteur variation de vitesse vaut $Δ \vec{v} = \vec{v} (t') - \vec{v} (t)$ ; on le construit depuis un même point ou on le calcule coordonnée par coordonnée (chapitre Mouvement : vecteur vitesse et variation de vitesse).

Approche de la deuxième loi de Newton. Dans un référentiel galiléen, pour un système de masse $m$ constante modélisé par un point matériel, entre deux instants voisins séparés de $Δ t$ :

$\sum \vec{F} \approx m \frac{Δ \vec{v}}{Δ t}$

L’approximation est d’autant meilleure que $Δ t$ est court.

Conséquences. La somme des forces a la même direction et le même sens que $Δ \vec{v}$ , puisque $m$ et $Δ t$ sont positifs ; sa valeur vaut $\sum F \approx m \frac{‖ Δ \vec{v} ‖}{Δ t}$ . Si $Δ \vec{v} = \vec{0}$ , on retrouve le principe d’inertie.

Unités. $\frac{Δ v}{Δ t}$ s’exprime en m·s⁻² et $\frac{\sum F}{m}$ en N·kg⁻¹ : ce sont les mêmes unités, c’est pourquoi $g$ s’écrit 9,81 N·kg⁻¹ ou 9,81 m·s⁻².

Estimer une force, tester la relation. Sur une chronophotographie ou une vidéo, on calcule deux vecteurs vitesse voisins, puis $Δ \vec{v}$ , puis $m \frac{Δ \vec{v}}{Δ t}$ . En le comparant aux forces connues, le poids le plus souvent, on teste la relation ou on en déduit une force inconnue : poussée, frottements de l’air.

Exemples

Exemple 1 — en ligne droite. Une trottinette électrique et son conducteur, 92 kg, roulent en ligne droite ; la vitesse passe de 2,5 à 4,0 m·s⁻¹ en 1,2 s. $Δ v = 4, 0 - 2, 5 = 1, 5$ m·s⁻¹, dans le sens du mouvement ; $\frac{Δ v}{Δ t} = \frac{1, 5}{1, 2} = 1, 25$ m·s⁻² ; $\sum F \approx 92 \times 1, 25 = 115$ N, dans le sens du mouvement.

Exemple 2 — en coordonnées. Un volant de badminton de 5,0 g a pour vecteurs vitesse ${\vec{v}}_{1} (6, 0; 2, 0)$ puis ${\vec{v}}_{2} (5, 4; 0, 8)$ , en m·s⁻¹, à 0,10 s d’intervalle, axe $y$ vertical vers le haut. $Δ \vec{v} (- 0, 6; - 1, 2)$ en m·s⁻¹, donc $\frac{Δ \vec{v}}{Δ t} (- 6, 0; - 12)$ en m·s⁻² et, avec $m = 0, 0050$ kg, $\sum \vec{F} \approx (- 0, 030; - 0, 060)$ en N, de valeur $\sqrt{0, 030^{2} + 0, 060^{2}} \approx 0, 067$ N.

$Δ \vec{v}$ va de la pointe de ${\vec{v}}_{1}$ à la pointe de ${\vec{v}}_{2}$ ; la somme des forces a sa direction et son sens.

Test. Si le poids agissait seul, la somme des forces serait verticale et vaudrait $m g \approx 0, 049$ N. Elle a ici une composante horizontale opposée au mouvement et dépasse le poids : l’action de l’air, opposée au vecteur vitesse, n’est pas négligeable pour un volant.

Réflexe — la somme des forces a la direction et le sens de $Δ \vec{v}$ ; sa valeur vaut $m \times \frac{‖ Δ \vec{v} ‖}{Δ t}$ , avec $m$ en kg, $Δ v$ en m·s⁻¹ et $Δ t$ en s.

Attention — c’est la variation de la vitesse, et non la vitesse, qui renseigne sur les forces : au sommet de la trajectoire d’une balle lancée verticalement, $\vec{v} = \vec{0}$ un instant, mais $Δ \vec{v}$ est dirigé vers le bas. Convertir les grammes en kilogrammes et les millisecondes en secondes.

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Prévoir la variation de vitesse : rôle de la masse et simulation

Ce qu’il faut savoir

Prévoir la variation de vitesse. Si les forces sont connues, la même relation donne $Δ \vec{v} \approx \frac{\sum \vec{F}}{m} Δ t$ , de même direction et de même sens que la somme des forces. On en déduit le vecteur vitesse à l’instant suivant : $\vec{v} (t + Δ t) \approx \vec{v} (t) + Δ \vec{v}$ .

Rôle de la masse. Pour une même somme des forces pendant la même durée, la variation de vitesse est inversement proportionnelle à la masse : plus la masse est grande, plus il est difficile de modifier le mouvement. La masse mesure l’inertie du système. Elle ne dépend pas du lieu et s’exprime en kilogrammes, alors que le poids $P = m g$ , en newtons, dépend de $g$ : sur la Lune, un objet est plus facile à soulever, mais pas plus facile à lancer horizontalement.

Avec Python. On applique la relation pas à pas, avec un $Δ t$ petit : à chaque tour, on calcule la somme des forces avec la vitesse du moment, puis la nouvelle vitesse. Exemple : chute verticale d’un ballon de plage de 80 g, freiné par l’air avec une force de valeur $f = k v^{2}$ ( $k = 0, 020$ SI), axe vertical orienté vers le bas.

m = 0.080        # masse (kg)
g = 9.81         # intensité de pesanteur (N/kg)
k = 0.020        # coefficient de frottement (SI)
dt = 0.05        # pas de temps (s)
v = 0.0          # vitesse initiale (m/s)
for i in range(40):
    F = m*g - k*v**2      # somme des forces (N)
    v = v + F/m*dt        # Δv ≈ (ΣF / m) × Δt
    print(round((i+1)*dt, 2), round(v, 2))

La vitesse augmente de moins en moins vite : quand l’action de l’air égale le poids, la somme des forces est nulle et la vitesse ne varie plus. C’est la vitesse limite.

Exemples

Exemple 1 — même force, masses différentes. On pousse un caddie vide de 15 kg avec une force horizontale de 30 N pendant 0,40 s, frottements négligés : $Δ v \approx \frac{30 \times 0, 40}{15} = 0, 80$ m·s⁻¹. Le même caddie plein, 60 kg, même poussée, même durée : $Δ v \approx \frac{30 \times 0, 40}{60} = 0, 20$ m·s⁻¹. Masse 4 fois plus grande, variation de vitesse 4 fois plus petite.

Exemple 2 — les premiers tours du programme. Au premier tour, $v = 0$ , donc $F = m g$ et la vitesse devient $9, 81 \times 0, 05 = 0, 4905$ m·s⁻¹, soit environ 0,49 m·s⁻¹. Au deuxième tour, l’air freine déjà un peu : la vitesse atteint environ 0,98 m·s⁻¹, un peu moins que le double. La vitesse limite vérifie $k v^{2} = m g$ , soit $v = \sqrt{\frac{m g}{k}} = \sqrt{39, 24} \approx 6, 26$ m·s⁻¹.

Réflexe — $Δ \vec{v} \approx \frac{\sum \vec{F} Δ t}{m}$ , dans le sens de la somme des forces ; masse doublée, variation de vitesse deux fois plus petite.

Attention — un objet de grande masse ne subit pas une force plus petite : à force égale, c’est l’effet, $Δ v$ , qui est plus petit. Et la masse ne change pas sur la Lune, seul le poids change.

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Le principe des actions réciproques

Ce qu’il faut savoir

Principe des actions réciproques (troisième loi de Newton). Si un corps A exerce sur un corps B la force ${\vec{F}}_{A / B}$ , alors B exerce simultanément sur A la force ${\vec{F}}_{B / A} = - {\vec{F}}_{A / B}$ : même droite d’action, même valeur, sens opposés. C’est vrai à tout instant, au contact ou à distance, que les corps soient immobiles ou en mouvement, quelles que soient leurs masses. Ce principe a été vu en seconde : Interactions : modéliser une action par une force.

Deux systèmes, deux bilans. Les deux forces s’exercent sur deux systèmes différents : elles ne figurent jamais dans le même bilan et ne se compensent jamais.

Mêmes forces, effets différents. Si, pendant une même durée $Δ t$ , ces deux forces sont les seules à ne pas être compensées sur A et sur B, la relation approchée donne $m_{A} Δ v_{A} \approx m_{B} Δ v_{B}$ : le système le plus léger subit la plus grande variation de vitesse, en sens opposé.

Exemples

Exemple 1 — une force inaccessible. Un chariot de 3,0 kg, sur un banc horizontal sans frottement, est poussé par un doigt : sa vitesse passe de 0 à 0,45 m·s⁻¹ en 0,25 s. Pour le chariot, poids et réaction se compensent, et $\sum F \approx 3, 0 \times \frac{0, 45}{0, 25} = 5, 4$ N : c’est la force du doigt sur le chariot, horizontale, dans le sens du mouvement. Le chariot exerce donc sur le doigt une force horizontale de 5,4 N, de sens opposé.

Exemple 2 — l’enfant et la barque. Un enfant de 30 kg, debout dans une barque de 90 kg immobile, saute vers le quai. Pendant l’appui, qui dure 0,30 s, la composante horizontale de sa vitesse passe de 0 à 2,4 m·s⁻¹ ; on néglige l’action horizontale de l’eau pendant ce court instant. Force horizontale de la barque sur l’enfant : $F \approx 30 \times \frac{2, 4}{0, 30} = 240$ N. L’enfant exerce sur la barque 240 N en sens opposé, donc $Δ v_{barque} \approx \frac{240 \times 0, 30}{90} = 0, 80$ m·s⁻¹, vers le large. On vérifie que $30 \times 2, 4 = 72$ et $90 \times 0, 80 = 72$ .

Réflexe — deux corps en interaction, deux forces opposées, une dans chaque bilan ; la force est la même pour les deux, l’effet dépend de la masse.

Attention — le poids d’un livre posé sur une table est compensé par la réaction de la table (deux forces sur le livre : principe d’inertie), et non par la force du livre sur la table (actions réciproques : elle s’exerce sur la table).

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Pour aller plus loin

Gravitation. La force d’attraction entre deux corps, $F = G \frac{m_{A} m_{B}}{d^{2}}$ , et le champ de pesanteur, avec la diminution de $g$ en altitude, sont traités dans Interactions fondamentales et notion de champ. Un satellite en orbite basse reste fortement attiré par la Terre : l’impesanteur ressentie à bord vient de son mouvement, pas d’une absence de force.

Point de vue énergétique. Le lien entre forces et variation de vitesse se traduit aussi en énergie : théorème de l’énergie cinétique, distance de freinage qui quadruple quand la vitesse double. Voir Travail et puissance d’une force et Énergie mécanique : cinétique, potentielle et conservation.

En terminale. Quand $Δ t$ devient très petit, $\frac{Δ \vec{v}}{Δ t}$ devient le vecteur accélération $\vec{a}$ , et la deuxième loi de Newton s’écrit exactement $\sum \vec{F} = m \vec{a}$ ; on l’utilise pour établir les équations du mouvement dans un champ uniforme.

À retenir

Bilan : une force par acteur extérieur ; $\sum \vec{F}$ bout à bout ou coordonnée par coordonnée ; $F_{x} = F \cos α$ , $F_{y} = F \sin α$ ; sur un plan incliné, $m g \sin α$ selon la pente et $m g \cos α$ perpendiculairement.
Principe d’inertie, dans un référentiel galiléen : $\sum \vec{F} = \vec{0}$ ⇔ immobile ou rectiligne uniforme ( $Δ \vec{v} = \vec{0}$ ) ; le sens réciproque sert à calculer une force.
Approche de la deuxième loi : $\sum \vec{F} \approx m \frac{Δ \vec{v}}{Δ t}$ , même direction et même sens que $Δ \vec{v}$ ; m·s⁻² et N·kg⁻¹ sont la même unité.
Prévoir : $Δ \vec{v} \approx \frac{\sum \vec{F}}{m} Δ t$ , appliqué pas à pas en Python ; à forces égales, $Δ v$ est inversement proportionnelle à la masse, mesure de l’inertie.
Actions réciproques : ${\vec{F}}_{A / B} = - {\vec{F}}_{B / A}$ , sur deux systèmes différents, jamais dans le même bilan ; $m_{A} Δ v_{A} \approx m_{B} Δ v_{B}$ .

Questions fréquentes

Comment faire le bilan des forces d’un système ?

On choisit le système et le référentiel, puis on compte une force par acteur extérieur : la Terre (poids), chaque objet en contact (réaction, frottements, tension d’un fil, force d’un ressort), le fluide (poussée d’Archimède, frottements de l’air ou de l’eau). Les forces intérieures et celles exercées par le système ne comptent pas. On projette ensuite chaque force sur deux axes perpendiculaires, avec F cos α et F sin α.

Que dit le principe d’inertie ?

Dans un référentiel galiléen, les forces exercées sur un système se compensent si et seulement si son centre de masse est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme. Le sens réciproque sert à calculer une force inconnue : à vitesse constante en ligne droite, la force motrice compense exactement les frottements.

Que dit l’approche de la deuxième loi de Newton en première ?

Dans un référentiel galiléen, entre deux instants voisins, ΣF⃗ ≈ m Δv⃗ ÷ Δt : la somme des forces a la direction et le sens du vecteur variation de vitesse, et sa valeur vaut m × ‖Δv⃗‖ ÷ Δt. On l’utilise pour estimer une force à partir d’une chronophotographie ou d’une vidéo, et pour tester la relation en comparant au poids.

Quel est le rôle de la masse dans le mouvement ?

À forces égales et pendant la même durée, la variation de vitesse est inversement proportionnelle à la masse : une masse quatre fois plus grande donne une variation de vitesse quatre fois plus petite. La masse mesure l’inertie ; elle ne dépend pas du lieu, contrairement au poids P = mg. En Python, on applique Δv ≈ (ΣF ÷ m) × Δt pas à pas.

Les deux forces du principe des actions réciproques se compensent-elles ?

Non : elles ont la même valeur et des sens opposés, mais s’exercent sur deux systèmes différents, donc jamais dans le même bilan. Quand deux patineurs se repoussent, chacun reçoit la même force ; le plus léger part le plus vite, en sens opposé.

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