Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Physique-Chimie

Travail et puissance d’une force

Travail d’une force constante comme produit scalaire ; travail moteur, nul ou résistant et somme des travaux ; travail du poids et force conservative ; travail d’une force électrique dans un champ uniforme et des frottements ; puissance moyenne et instantanée d’une force.

À propos de cette page

Ce cours de physique-chimie de première spécialité explique en cinq parties le travail et la puissance d’une force : le travail d’une force constante comme produit scalaire, en coordonnées et sur un trajet découpé en Python ; le travail moteur, nul ou résistant et la somme des travaux à vitesse constante ; le travail du poids, qui ne dépend que de l’altitude ; le travail d’une force électrique et celui des frottements ; la puissance moyenne et instantanée, avec le kilowattheure.

Travail d’une force constante : un produit scalaire

Ce qu’il faut savoir

Ce que mesure le travail. Une force exercée sur un système lui transfère de l’énergie quand son point d’application se déplace. Le travail de la force mesure cette énergie transférée ; c’est une énergie, en joules (J), avec $1 J = 1 N \cdot m$ . Le système est modélisé par un point matériel.

Force constante. Une force est constante si sa direction, son sens et sa valeur ne changent pas pendant le déplacement. Pour un déplacement de A à B, son travail est le produit scalaire de la force et du vecteur déplacement :

W_{A B} (\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{A B} = F \times A B \times \cos α

avec $F$ en N, $A B$ en m et $α$ l’angle entre $\vec{F}$ et $\vec{A B}$ , entre 0° et 180°. Seule la composante de la force selon le déplacement, $F \cos α$ , travaille.

En coordonnées. Dans un repère orthonormé, si $\vec{F} (F_{x}; F_{y})$ et $\vec{A B} (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ , le produit scalaire s’écrit

W_{A B} (\vec{F}) = F_{x} (x_{B} - x_{A}) + F_{y} (y_{B} - y_{A})

Trajet qui n’est pas une ligne droite. On le découpe en petits segments et on additionne les travaux. Pour une force constante, la somme des petits déplacements vaut toujours $\vec{A B}$ : le travail d’une force constante ne dépend que des points de départ et d’arrivée, pas du chemin suivi. Un programme Python fait cette somme sur des points relevés, avec la force en N et les coordonnées en m :

Fx, Fy = 12.0, -5.0
x = [0.0, 1.5, 2.5, 4.0]
y = [0.0, 0.8, 0.3, 1.0]
W = 0
for i in range(len(x) - 1):
    W = W + Fx * (x[i+1] - x[i]) + Fy * (y[i+1] - y[i])
print(round(W, 2))

Il affiche 43.0, exactement $12 \times 4, 0 + (- 5, 0) \times 1, 0 = 43$ J : le même travail que sur le segment direct du premier au dernier point.

Force qui n’est pas constante (force d’un ressort, frottements de l’air qui dépendent de la vitesse) : l’expression $F \times A B \times \cos α$ ne s’applique pas sur tout le trajet.

Exemples

Exemple 1 — une tondeuse poussée par son guidon. Un jardinier pousse une tondeuse sur 12 m en ligne droite, sur une pelouse horizontale. Le guidon transmet une force constante de 85 N, inclinée de 40° sous l’horizontale : l’angle entre la force et le déplacement vaut 40°.

W_{A B} (\vec{F}) = 85 \times 12 \times \cos 40 ° \approx 781 J

Le jardinier transfère environ 781 J à la tondeuse. La composante verticale de la force, perpendiculaire au déplacement, ne travaille pas : elle appuie la tondeuse sur le sol.

Exemple 2 — en coordonnées. Une force constante $\vec{F} (30; - 20)$ , en N, s’exerce sur un système qui va de A(0 ; 0) à B(5,0 ; 2,0), en m.

W_{A B} (\vec{F}) = 30 \times 5, 0 + (- 20) \times 2, 0 = 150 - 40 = 110 J

Réflexe — je dessine $\vec{F}$ et $\vec{A B}$ à partir du même point, je repère l’angle $α$ entre ces deux vecteurs, puis j’écris $F \times A B \times \cos α$ ou, en coordonnées, $F_{x} Δ x + F_{y} Δ y$ .

Attention — $α$ n’est pas l’angle avec l’horizontale ni l’angle de la pente, mais l’angle entre la force et le déplacement. Les distances sont en mètres et la calculatrice en degrés.

1 / 5

Travail moteur, nul ou résistant ; somme des travaux

Ce qu’il faut savoir

Le signe du travail est celui de $\cos α$ :

$0 ° ⩽ α < 90 °$ : $W > 0$ , travail moteur ; la force favorise le déplacement et cède de l’énergie au système ;
$α = 90 °$ : $W = 0$ , la force ne travaille pas ;
$90 ° < α ⩽ 180 °$ : $W < 0$ , travail résistant ; la force s’oppose au déplacement et prélève de l’énergie au système.

Les forces qui ne travaillent pas. Une force perpendiculaire au déplacement à chaque instant a un travail nul : la réaction normale d’un support fixe, la tension du fil d’un pendule (perpendiculaire à la trajectoire en arc de cercle), le poids lors d’un déplacement horizontal. Ces forces existent pourtant : un travail nul ne veut pas dire une force nulle. Sans déplacement, aucune force ne travaille.

Somme des travaux. Pour des forces constantes et un déplacement rectiligne de A à B, la somme des travaux est le travail de la somme des forces :

\sum W_{A B} = (\sum \vec{F}) \cdot \vec{A B}

Avec le principe d’inertie : si le mouvement est rectiligne uniforme, $\sum \vec{F} = \vec{0}$ , donc la somme des travaux est nulle ; les travaux moteurs compensent exactement les travaux résistants. Si $\sum W_{A B} > 0$ , la somme des forces a une composante dans le sens du mouvement : $Δ \vec{v}$ est dans ce sens, la vitesse augmente. Si $\sum W_{A B} < 0$ , la vitesse diminue.

Exemples

Exemple 1 — un chariot de golf retenu dans une descente. Un golfeur retient son chariot qui descend une allée rectiligne de 20 m ; sa main exerce une force constante de 40 N qui fait un angle de 150° avec le déplacement.

W_{A B} (\vec{F}) = 40 \times 20 \times \cos 150 ° \approx - 693 J

L’angle dépasse 90° : le travail est résistant, la main prélève environ 693 J au chariot.

Exemple 2 — une remorque à bagages à vitesse constante. Un tracteur d’aéroport tire une remorque à bagages sur 50 m, en ligne droite et à vitesse constante, sur un sol horizontal, avec une force horizontale de 600 N. Forces : le poids et la réaction normale, verticales, ne travaillent pas ; la traction travaille : $W = 600 \times 50 = 3, 0 \times 10^{4}$ J, moteur. Le mouvement est rectiligne uniforme, donc la somme des travaux est nulle : les frottements ont un travail de $- 3, 0 \times 10^{4}$ J.

Réflexe — avant tout calcul, je prévois le signe : angle aigu, moteur ; angle droit, nul ; angle obtus, résistant. À vitesse constante en ligne droite, je vérifie que la somme des travaux est nulle.

Attention — « vitesse constante » ne veut pas dire « travail nul » : c’est la somme des travaux qui est nulle, chaque travail pouvant être grand. Et « travail nul » ne veut pas dire « force nulle ».

2 / 5

Travail du poids : seule l’altitude compte

Ce qu’il faut savoir

Le poids est une force constante au voisinage du sol : $\vec{P} = m \vec{g}$ , vertical, vers le bas, de valeur $m g$ avec $g = 9, 81$ N·kg⁻¹.

Expression du travail du poids. Avec un axe $(O z)$ vertical orienté vers le haut, de A (altitude $z_{A}$ ) à B (altitude $z_{B}$ ) :

W_{A B} (\vec{P}) = m g (z_{A} - z_{B})

Démonstration. Dans un repère $(O x, O z)$ , $\vec{P} (0; - m g)$ et $\vec{A B} (x_{B} - x_{A}; z_{B} - z_{A})$ , donc

W_{A B} (\vec{P}) = 0 \times (x_{B} - x_{A}) + (- m g) (z_{B} - z_{A}) = m g (z_{A} - z_{B})

Le déplacement horizontal ne compte pas.

Seule l’altitude compte. Le travail du poids ne dépend que des altitudes de départ et d’arrivée, jamais de la forme ni de la longueur du chemin : on dit que le poids est une force conservative. Descente ( $z_{A} > z_{B}$ ) : travail moteur ; montée : travail résistant ; retour à la même altitude : travail nul.

Sur une pente inclinée de $θ$ sur l’horizontale, parcourue sur une longueur $L$ , la dénivellation vaut $h = L \sin θ$ et l’angle entre le poids et le déplacement vaut $90 ° - θ$ à la descente, $90 ° + θ$ à la montée, jamais $θ$ .

Exemples

Exemple 1 — un carton qui tombe. Un carton de 4,0 kg tombe d’un rayonnage, de 2,25 m de haut jusqu’au sol :

W_{A B} (\vec{P}) = 4, 0 \times 9, 81 \times (2, 25 - 0) \approx 88, 3 J

Travail moteur : le poids cède de l’énergie au carton, qui accélère.

Exemple 2 — un randonneur qui monte. Un randonneur de 68 kg passe de l’altitude 1 250 m à l’altitude 1 410 m, par un sentier quelconque :

W_{A B} (\vec{P}) = 68 \times 9, 81 \times (1 250 - 1 410) \approx - 1, 07 \times 10^{5} J

Travail résistant : le poids s’oppose à la montée, quel que soit le sentier choisi.

Réflexe — j’oriente l’axe vertical vers le haut, je lis seulement $z_{A}$ et $z_{B}$ et j’écris $m g (z_{A} - z_{B})$ ; le signe sort tout seul.

Attention — écrire « $W = m g h$ » sans réfléchir donne un travail positif même en montée. Sur une pente, l’angle entre le poids et le déplacement n’est pas l’angle de la pente : pour une caisse de 21 kg qui descend une rampe de 4,5 m inclinée de 20°, $W = 21 \times 9, 81 \times 4, 5 \times \cos 70 ° \approx 317$ J, soit $m g h$ avec $h = 4, 5 \sin 20 ° \approx 1, 54$ m ; utiliser $\cos 20 °$ donnerait 871 J, près de trois fois trop.

3 / 5

Travail d’une force électrique et des frottements

Ce qu’il faut savoir

Force électrique dans un champ uniforme. Une charge $q$ placée dans un champ électrostatique uniforme $\vec{E}$ subit la force $\vec{F} = q \vec{E}$ , constante (voir Interactions fondamentales et notion de champ). Son travail de A à B vaut

W_{A B} (\vec{F}) = q \vec{E} \cdot \vec{A B}

Pour $q > 0$ , la force a le sens du champ ; pour $q < 0$ (électron, ion négatif), le sens opposé. Seul le déplacement selon la direction du champ compte, et, comme pour toute force constante, le travail ne dépend pas du chemin suivi. Entre deux armatures planes distantes de $d$ , sous la tension $U$ , $E = \frac{U}{d}$ : une traversée complète dans le sens de la force donne $W = | q | E d = | q | U$ . Devant ce travail, celui du poids d’une particule chargée est si petit qu’on le néglige.

Frottements solides. Une force de frottement de valeur constante $f$ reste opposée au mouvement : sur un trajet rectiligne de longueur $ℓ$ , $α = 180 °$ et

W (\vec{f}) = - f \times ℓ

Ce travail est toujours résistant. Sur un trajet fait de plusieurs segments (un aller-retour, par exemple), on calcule segment par segment et on additionne : $ℓ$ est la longueur réellement parcourue. Le travail des frottements dépend du chemin suivi : ils ne sont pas conservatifs. L’énergie prélevée est dissipée, surtout sous forme thermique.

Exemples

Exemple 1 — un ion dans un champ. Un ion sodium Na⁺, de charge $q = 1, 6 \times 10^{- 19}$ C, parcourt 5,0 cm dans le sens d’un champ uniforme de valeur $E = 2, 0 \times 10^{3}$ V·m⁻¹. La force a le sens du champ, donc du déplacement :

W = q E d = 1, 6 \times 10^{- 19} \times 2, 0 \times 10^{3} \times 5, 0 \times 10^{- 2} = 1, 6 \times 10^{- 17} J

Exemple 2 — une armoire poussée. On pousse une armoire sur 4,0 m en ligne droite ; le sol exerce un frottement de valeur constante 240 N : $W (\vec{f}) = - 240 \times 4, 0 = - 960$ J. Si on la ramène ensuite à sa place, le retour coûte encore $- 960$ J : $- 1 920$ J pour l’aller-retour, alors que le travail du poids, lui, est nul.

Réflexe — force électrique : je l’écris $q \vec{E}$ en tenant compte du signe de $q$ , puis je fais le produit scalaire avec $\vec{A B}$ . Frottements : $- f$ fois la longueur réellement parcourue, segment par segment.

Attention — pour un aller-retour, on n’écrit jamais $\vec{f} \cdot \vec{A A} = 0$ : la force de frottement change de sens au retour, ce n’est pas une force constante sur tout le trajet.

4 / 5

Puissance d’une force

Ce qu’il faut savoir

Puissance moyenne. Monter un carton d’un étage demande le même travail en 10 s ou en 2 min ; ce qui change, c’est la rapidité du transfert d’énergie, mesurée par la puissance. Comme en électricité ( $P = \frac{E}{Δ t}$ , chapitre Énergie électrique : puissance, effet Joule et rendement) :

P = \frac{W}{Δ t}

avec $W$ en J, $Δ t$ en s et $P$ en watts (W) : $1 W = 1 J \cdot s^{- 1}$ .

Puissance d’une force constante en mouvement rectiligne uniforme. Pendant $Δ t$ , le système parcourt $A B = v Δ t$ , donc $W = F v Δ t \cos α$ et $P = \frac{W}{Δ t}$ :

P = \vec{F} \cdot \vec{v} = F v \cos α

Cette expression donne aussi la puissance instantanée d’une force, à chaque instant. Pour une force colinéaire à la vitesse et de même sens, $P = F v$ .

Le kilowattheure est une unité d’énergie : l’énergie transférée en 1 h par une puissance de 1 kW, $1 kW \cdot h = 1 000 \times 3 600 = 3, 6 \times 10^{6}$ J.

Exemples

Exemple 1 — un moteur. Un moteur fournit un travail de $2, 4 \times 10^{5}$ J en 40 s : $P = \frac{2, 4 \times 10^{5}}{40} = 6, 0 \times 10^{3}$ W, soit 6,0 kW. Il exerce ensuite une force de traction de 450 N sur un véhicule qui roule à 20 m·s⁻¹ dans le sens de la force : $P = F v = 450 \times 20 = 9, 0 \times 10^{3}$ W.

Exemple 2 — un ascenseur. Une cabine d’ascenseur de 520 kg monte à la vitesse constante de 1,8 m·s⁻¹. Le mouvement est rectiligne uniforme : la tension du câble compense le poids, $T = m g = 520 \times 9, 81 \approx 5 101$ N. Elle est verticale vers le haut, comme la vitesse :

P = T v \approx 5 101 \times 1, 8 \approx 9, 18 \times 10^{3} W

Réflexe — je repère ce que je connais : travail et durée, alors $P = \frac{W}{Δ t}$ ; force et vitesse, alors $P = F v \cos α$ . Tout en unités SI : secondes, m·s⁻¹ (diviser les km·h⁻¹ par 3,6).

Attention — le travail ne dépend pas de la durée, la puissance si. Un kW·h est une énergie : « une puissance de 5 kW·h » n’a pas de sens.

5 / 5

Pour aller plus loin

Énergie cinétique et énergie potentielle. Le chapitre suivant, Énergie mécanique : cinétique, potentielle et conservation, énonce le théorème de l’énergie cinétique : la variation de l’énergie cinétique d’un système est égale à la somme des travaux des forces extérieures, $Δ E_{c} = \sum W_{A B}$ . Il associe aussi au poids, force conservative, l’énergie potentielle de pesanteur $E_{p p} = m g z$ , avec $W_{A B} (\vec{P}) = - Δ E_{p p}$ .

Plus tard. En terminale, le travail de la force électrique sert à calculer la vitesse d’une particule accélérée dans un champ uniforme.

À retenir

Travail d’une force constante de A à B : $W_{A B} (\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{A B} = F \times A B \times \cos α$ , en joules ; en coordonnées, $F_{x} Δ x + F_{y} Δ y$ ; il ne dépend pas du chemin suivi.
Moteur si $α < 90 °$ , nul si $α = 90 °$ , résistant si $α > 90 °$ ; en mouvement rectiligne uniforme, la somme des travaux est nulle.
Poids, axe vertical vers le haut : $W_{A B} (\vec{P}) = m g (z_{A} - z_{B})$ , seule l’altitude compte : le poids est conservatif.
Force électrique : $W_{A B} = q \vec{E} \cdot \vec{A B}$ ; frottements de valeur constante : $W = - f \times ℓ$ , longueur réellement parcourue, non conservatifs.
Puissance : $P = \frac{W}{Δ t}$ et $P = F v \cos α$ , en watts ; $1 kW \cdot h = 3, 6 \times 10^{6}$ J est une énergie.

Questions fréquentes

Comment calcule-t-on le travail d’une force constante ?

Le travail d’une force constante pour un déplacement de A à B est le produit scalaire de la force et du vecteur déplacement : W = F × AB × cos α, où α est l’angle entre la force et le déplacement. Il s’exprime en joules ; en coordonnées, W = Fx × Δx + Fy × Δy. Il ne dépend que des points de départ et d’arrivée.

Quand un travail est-il moteur, nul ou résistant ?

Le signe du travail est celui de cos α : moteur (positif) si l’angle entre la force et le déplacement est inférieur à 90°, nul s’il vaut 90°, résistant (négatif) s’il dépasse 90°. La réaction normale d’un support fixe ou la tension du fil d’un pendule ne travaillent pas. En mouvement rectiligne uniforme, la somme des travaux est nulle.

Quelle est l’expression du travail du poids ?

Avec un axe vertical orienté vers le haut, le travail du poids de A à B vaut m × g × (zA − zB). Il ne dépend que des altitudes de départ et d’arrivée, pas du chemin suivi : le poids est une force conservative. Il est positif en descente, négatif en montée, nul si l’altitude finale est celle du départ.

Comment calcule-t-on le travail d’une force électrique ou des frottements ?

Dans un champ électrostatique uniforme, la force q × E est constante : son travail vaut q × E⃗ · AB⃗, en tenant compte du signe de la charge. Une force de frottement de valeur constante f, opposée au mouvement, a un travail de −f × ℓ, où ℓ est la longueur réellement parcourue : il dépend du chemin, les frottements ne sont pas conservatifs.

Comment calcule-t-on la puissance d’une force ?

La puissance moyenne est le travail divisé par la durée, P = W ÷ Δt, en watts. Pour une force constante et une vitesse v, P = F × v × cos α, soit F × v si la force a le sens de la vitesse. Le kilowattheure est une énergie : 1 kW·h = 3,6 × 10⁶ J.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de physique-chimie à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs