Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Physique-Chimie

Énergie mécanique : cinétique, potentielle et conservation

Énergie cinétique et théorème de l’énergie cinétique ; énergie potentielle de pesanteur et force conservative ; conservation de l’énergie mécanique ; énergie dissipée ou apportée ; bilan énergétique à partir de mesures et en Python.

À propos de cette page

Ce cours de physique-chimie de première spécialité traite l’énergie mécanique en six parties : énergie cinétique d’un point matériel, travail d’une force et théorème de l’énergie cinétique, énergie potentielle de pesanteur et force conservative, conservation de l’énergie mécanique dans une chute ou un pendule, énergie dissipée par les frottements ou apportée par un moteur, et bilan énergétique à partir d’un pointage vidéo avec un programme Python.

Énergie cinétique d’un système modélisé par un point matériel

En 3ᵉ, tu as calculé l’énergie cinétique et l’énergie de position d’un objet et vu que leur somme se conserve en l’absence de frottement (Énergie mécanique : cinétique, de position et conservation). En première, on relie ces énergies aux forces par le travail, on établit l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur et on fait le bilan quand l’énergie mécanique ne se conserve pas.

Ce qu’il faut savoir

Le modèle du point matériel. On étudie un système (une balle, un skieur, un véhicule) en le modélisant par un point qui porte toute sa masse $m$ , dans un référentiel choisi : le plus souvent le référentiel terrestre, supposé galiléen.

Énergie cinétique. Un système de masse $m$ animé de la vitesse $v$ dans ce référentiel possède l’énergie cinétique :

E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}

avec $E_{c}$ en joules (J), $m$ en kg et $v$ en m·s⁻¹. Elle est positive, et nulle seulement si le système est immobile dans le référentiel d’étude : sa valeur dépend du référentiel.

Proportionnalités. $E_{c}$ est proportionnelle à la masse et au carré de la vitesse : si $v$ est multipliée par $k$ , $E_{c}$ est multipliée par $k^{2}$ (par 4 quand la vitesse double, par 9 quand elle triple).

Retrouver une vitesse. De $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$ , on tire $v = \sqrt{\frac{2 E_{c}}{m}}$ .

Conversions. Une vitesse en km·h⁻¹ se divise par 3,6 ; une masse en grammes se divise par 1 000 ; 1 kJ = 10³ J.

Exemples

Exemple 1 — le lancer du marteau. Le marteau des athlètes masculins a une masse de 7,26 kg. Lâché à 25 m·s⁻¹ :

E_{c} = \frac{1}{2} \times 7, 26 \times 25^{2} = 2 268, 75 J \approx 2, 27 kJ

Lâché à 50 m·s⁻¹, deux fois plus vite, il emporterait quatre fois plus d’énergie : environ 9,08 kJ.

Exemple 2 — une question de référentiel. Une voyageuse de 60 kg est assise dans un train qui roule à 144 km·h⁻¹, soit $\frac{144}{3, 6} = 40$ m·s⁻¹. Dans le référentiel du train, elle est immobile : $E_{c} = 0$ J. Dans le référentiel terrestre, $E_{c} = \frac{1}{2} \times 60 \times 40^{2} = 48 000$ J, soit 48 kJ. Les deux réponses sont justes, chacune dans son référentiel.

Réflexe — je convertis la masse en kg et la vitesse en m·s⁻¹ avant tout calcul, je n’oublie pas le carré et je précise le référentiel ; pour une vitesse, $v = \sqrt{\frac{2 E_{c}}{m}}$ .

Attention — $E_{c}$ n’est pas proportionnelle à $v$ : doubler la vitesse multiplie l’énergie cinétique par 4, pas par 2. Et une énergie cinétique sans référentiel n’a pas de sens.

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Travail d’une force et théorème de l’énergie cinétique

Ce qu’il faut savoir

Rappel : le travail d’une force constante (chapitre Travail et puissance d’une force). Pour un déplacement rectiligne de A à B :

W_{A B} (\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{A B} = F \times A B \times \cos α

en joules, avec $F$ en N, $A B$ en m et $α$ l’angle entre $\vec{F}$ et $\vec{A B}$ . Le travail est moteur ( $W > 0$ ) si $α < 90 °$ , nul si $α = 90 °$ , résistant ( $W < 0$ ) si $α > 90 °$ . Le travail du poids vaut $W_{A B} (\vec{P}) = m g (z_{A} - z_{B})$ ; celui d’une force de frottement de valeur constante $f$ , opposée au mouvement sur un trajet de longueur $ℓ$ , vaut $- f \times ℓ$ .

Théorème de l’énergie cinétique. Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie cinétique d’un système modélisé par un point matériel, entre deux positions A et B, est égale à la somme des travaux des forces extérieures qui s’exercent sur lui entre A et B :

Δ E_{c} = E_{c} (B) - E_{c} (A) = \sum W_{A B} (\vec{F})

Lecture. Si la somme des travaux est positive, la vitesse augmente ; négative, elle diminue ; nulle, la valeur de la vitesse est la même en A et en B.

Les forces qui ne travaillent pas. Une force perpendiculaire au déplacement a un travail nul : la réaction d’un support sans frottement, la tension du fil d’un pendule (perpendiculaire à la trajectoire circulaire), le poids lors d’un déplacement horizontal.

Distance de freinage. Sur une route horizontale, un véhicule de masse $m$ roulant à la vitesse $v$ est freiné par une force constante de valeur $F$ jusqu’à l’arrêt. Seule cette force travaille : $0 - \frac{1}{2} m v^{2} = - F \times d$ , d’où

d = \frac{m v^{2}}{2 F}

La distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse.

Exemples

Exemple 1 — un livre qui glisse. Un livre de 1,5 kg, lancé à 2,0 m·s⁻¹ sur une table horizontale, s’arrête après 0,80 m. Le poids et la réaction normale de la table sont perpendiculaires au déplacement : leur travail est nul. Seule la force de frottement, de valeur $f$ supposée constante, travaille :

0 - \frac{1}{2} \times 1, 5 \times 2, 0^{2} = - f \times 0, 80 donc f = \frac{3, 0}{0, 80} = 3, 75 N

Exemple 2 — une moto qui freine. Une moto et son pilote, 250 kg au total, roulent à 30 m·s⁻¹ sur une route horizontale ; le freinage exerce une force supposée constante de 2,25 kN.

d = \frac{m v^{2}}{2 F} = \frac{250 \times 30^{2}}{2 \times 2 250} = 50 m

À 15 m·s⁻¹, deux fois moins vite, 12,5 m suffiraient : quatre fois moins.

Réflexe — je fais le bilan des forces extérieures, je calcule le travail de chacune (zéro pour celles qui sont perpendiculaires au déplacement), puis j’écris $E_{c} (B) - E_{c} (A) = \sum W_{A B}$ .

Attention — le théorème porte sur toutes les forces extérieures, poids compris, et seulement dans un référentiel galiléen. Le travail d’un frottement utilise la longueur réellement parcourue $ℓ$ , celui du poids la seule dénivellation.

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Énergie potentielle de pesanteur et force conservative

Ce qu’il faut savoir

L’axe vertical. On repère l’altitude $z$ du système sur un axe (Oz) vertical orienté vers le haut ; l’origine O est le niveau de référence.

Établir l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur. Dans un champ de pesanteur uniforme, le travail du poids entre A et B ne dépend que des altitudes :

W_{A B} (\vec{P}) = m g (z_{A} - z_{B}) = m g z_{A} - m g z_{B}

Il s’écrit comme la diminution d’une grandeur qui ne dépend que de la position, $m g z$ : c’est l’énergie potentielle de pesanteur. En choisissant $E_{p p} = 0$ au niveau de référence $z = 0$ :

E_{p p} = m g z et W_{A B} (\vec{P}) = E_{p p} (A) - E_{p p} (B) = - Δ E_{p p}

avec $E_{p p}$ en J, $m$ en kg, $g = 9, 81$ N·kg⁻¹ et $z$ en m.

Force conservative. Une force est conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement des positions de départ et d’arrivée : on peut alors lui associer une énergie potentielle. Le poids est conservatif. Les forces de frottement ne le sont pas : leur travail, toujours négatif, dépend de la longueur du trajet.

Le choix de la référence. Il est libre. Changer de référence ajoute la même constante à toutes les valeurs de $E_{p p}$ : les valeurs changent, mais pas les variations $Δ E_{p p}$ , ni le travail du poids. Sous la référence, $E_{p p}$ est négative. On garde la même référence du début à la fin d’un exercice.

Exemples

Exemple 1 — une randonnée. Une randonneuse de 62 kg, sac compris, monte d’un refuge situé à 1 850 m d’altitude jusqu’à un col situé à 2 340 m.

Δ E_{p p} = m g (z_{B} - z_{A}) = 62 \times 9, 81 \times (2 340 - 1 850) \approx 2, 98 \times 10^{5} J

Le travail de son poids vaut $W (\vec{P}) = - Δ E_{p p} \approx - 2, 98 \times 10^{5}$ J : il est résistant, que le sentier monte tout droit ou en lacets.

Exemple 2 — sous la référence. Un spéléologue de 80 kg descend au fond d’un gouffre, 45 m sous l’entrée. Référence à l’entrée : au fond, $z = - 45$ m et $E_{p p} = 80 \times 9, 81 \times (- 45) \approx - 3, 53 \times 10^{4}$ J. Référence au fond : $E_{p p} = 0$ au fond et $+ 3, 53 \times 10^{4}$ J à l’entrée. Dans les deux cas, la descente donne $Δ E_{p p} \approx - 3, 53 \times 10^{4}$ J.

Réflexe — je dessine l’axe vers le haut, je place la référence (souvent au point le plus bas) et j’écris l’altitude de chaque point ; puis $Δ E_{p p} = m g (z_{B} - z_{A})$ et $W (\vec{P}) = - Δ E_{p p}$ .

Attention — $E_{p p} = m g z$ suppose un axe orienté vers le haut : avec des profondeurs comptées positivement vers le bas, on écrirait $E_{p p} = - m g z$ . Une énergie potentielle négative n’a rien d’anormal : le point est sous la référence.

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Énergie mécanique : conservation sans frottement

Ce qu’il faut savoir

Énergie mécanique. C’est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle de pesanteur :

E_{m} = E_{c} + E_{p p} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g z

Conservation. Si le poids est la seule force qui travaille (chute libre, glissement sans frottement, pendule sans frottement), l’énergie mécanique se conserve :

E_{m} (A) = E_{m} (B) soit \frac{1}{2} m v_{A}^{2} + m g z_{A} = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + m g z_{B}

En effet, le théorème de l’énergie cinétique donne alors $Δ E_{c} = W (\vec{P}) = - Δ E_{p p}$ , donc $Δ E_{m} = 0$ : toute l’énergie potentielle perdue devient de l’énergie cinétique, et inversement.

Conséquences. La masse se simplifie : $v_{B}^{2} = v_{A}^{2} + 2 g (z_{A} - z_{B})$ . Lâché sans vitesse d’une hauteur $h$ , un système arrive en bas à $v = \sqrt{2 g h}$ , quelle que soit sa masse et quel que soit le chemin suivi sans frottement. Lancé vers le haut à $v_{0}$ , il monte de $h = \frac{v_{0}^{2}}{2 g}$ .

Le pendule simple. Une bille suspendue à un fil de longueur $L$ , écartée d’un angle $θ$ de la verticale, se trouve à la hauteur $h = L - L \cos θ = L (1 - \cos θ)$ au-dessus du point le plus bas. La tension du fil ne travaille pas : sans frottement, l’énergie mécanique se conserve et la vitesse est maximale au point le plus bas.

Pendule simple : hauteur de la bille au-dessus du point le plus bas.

Signature graphique. Quand on trace $E_{c}$ , $E_{p p}$ et $E_{m}$ , la conservation se lit sur la courbe de $E_{m}$ , horizontale : ce que $E_{p p}$ perd, $E_{c}$ le gagne.

Objet de 1,0 kg lâché de 5,0 m sans frottement, référence au sol.

Exemples

Exemple 1 — un jet d’eau. Un jet d’eau vertical sort de la buse à 20 m·s⁻¹ ; on néglige les frottements de l’air. Pour chaque goutte, référence à la buse :

\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g h donc h = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} = \frac{20^{2}}{2 \times 9, 81} \approx 20, 4 m

À 15 m au-dessus de la buse, une goutte passe à $v = \sqrt{20^{2} - 2 \times 9, 81 \times 15} \approx 10, 3$ m·s⁻¹ : environ la moitié de sa vitesse de départ, alors qu’elle a déjà effectué près des trois quarts de la montée.

Exemple 2 — un pendule. Une bille suspendue à un fil de 0,80 m est écartée de 30° puis lâchée sans vitesse ; on néglige les frottements. Elle part de $h = 0, 80 \times (1 - \cos 30 °) \approx 0, 107$ m et passe au point le plus bas à

v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 9, 81 \times 0, 1072} \approx 1, 45 {m·s}^{- 1}

Réflexe — avant d’écrire $E_{m} (A) = E_{m} (B)$ , je vérifie que seul le poids travaille : les autres forces sont perpendiculaires au déplacement ou négligées. Puis je simplifie par $m$ et j’isole la grandeur cherchée.

Attention — $v$ est proportionnelle à $\sqrt{h}$ , pas à $h$ : lâché de quatre fois plus haut, un objet arrive deux fois plus vite. La masse se simplifie pour la vitesse, pas pour l’énergie : l’objet le plus lourd arrive avec plus d’énergie cinétique.

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Non-conservation : énergie dissipée ou apportée

Ce qu’il faut savoir

Le bilan général. Entre A et B, la variation de l’énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces non conservatives (ici, toutes les forces autres que le poids : frottements, forces motrices, tensions) :

Δ E_{m} = E_{m} (B) - E_{m} (A) = \sum W_{A B} ({\vec{F}}_{nc})

Dissipation. Les frottements (air, sol, freins) ont un travail négatif : l’énergie mécanique diminue. L’énergie dissipée, $| Δ E_{m} |$ , n’est pas détruite : elle est transférée sous forme thermique (échauffement des surfaces, de l’air), parfois sonore. L’énergie totale se conserve, l’énergie mécanique non.

Frottement de valeur constante. Si une force de frottement de valeur constante $f$ s’oppose au mouvement sur un trajet de longueur $ℓ$ : $Δ E_{m} = - f \times ℓ$ , d’où $f = \frac{| Δ E_{m} |}{ℓ}$ .

Gain. Une force motrice autre que le poids (moteur, câble, muscles, hélices) dont le travail est positif augmente l’énergie mécanique.

Chocs. Lors d’un rebond, le système se déforme : une partie de l’énergie mécanique est dissipée, il remonte moins haut qu’il n’est tombé.

Identifier la situation. $E_{m}$ constante : conservation ; $E_{m}$ qui diminue : dissipation ; $E_{m}$ qui augmente : apport d’énergie par une force motrice.

Exemples

Exemple 1 — une descente en longboard. Un longboarder de 75 kg, planche comprise, aborde une route de 250 m en pente à 2,0 m·s⁻¹ et arrive en bas, 20 m plus bas, à 8,0 m·s⁻¹. Référence en bas :

E_{m} (A) = \frac{1}{2} \times 75 \times 2, 0^{2} + 75 \times 9, 81 \times 20 = 14 865 J E_{m} (B) = \frac{1}{2} \times 75 \times 8, 0^{2} = 2 400 J

$Δ E_{m} = 2 400 - 14 865 = - 12 465$ J : environ $1, 25 \times 10^{4}$ J ont été dissipés. Avec un frottement de valeur constante, $f = \frac{12 465}{250} \approx 49, 9$ N.

Exemple 2 — un drone qui décolle. Un drone de 1,2 kg, posé au sol, s’élève jusqu’à 40 m, où il vole à 5,0 m·s⁻¹. Référence au sol :

Δ E_{m} = (\frac{1}{2} \times 1, 2 \times 5, 0^{2} + 1, 2 \times 9, 81 \times 40) - 0 \approx 486 J

L’énergie mécanique a augmenté : la force exercée par l’air sur les hélices en rotation a un travail positif, d’au moins 486 J (davantage, puisqu’une partie compense les frottements de l’air).

Réflexe — je calcule $E_{m} (A)$ et $E_{m} (B)$ avec la même référence ; $Δ E_{m} < 0$ : énergie dissipée, transférée sous forme thermique ; $Δ E_{m} > 0$ : énergie apportée par une force motrice.

Attention — l’énergie « perdue » n’a pas disparu : elle est devenue thermique. Dans $Δ E_{m} = - f \times ℓ$ , $ℓ$ est la longueur réellement parcourue, pas la dénivellation. Et un calcul qui fait augmenter $E_{m}$ alors que seuls le poids et des frottements agissent cache une erreur de signe ou de référence.

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Bilan énergétique à partir de mesures : vidéo et Python

Ce qu’il faut savoir

Des mesures au bilan. On filme le mouvement (smartphone) ou on prend une chronophotographie, puis on pointe les positions successives $M_{i}$ du système à intervalles de temps réguliers $τ$ : $t_{i} = i τ$ , coordonnées $(x_{i}; z_{i})$ .

Vitesse en un point. On l’estime par la vitesse moyenne entre les deux positions qui l’encadrent :

v_{i} \approx \frac{M_{i - 1} M_{i + 1}}{2 τ} (mouvement vertical : v_{i} \approx \frac{| z_{i + 1} - z_{i - 1} |}{2 τ})

Elle ne se calcule ni au premier ni au dernier point.

Le bilan. Pour chaque point, on calcule $E_{c}$ , $E_{p p}$ et $E_{m}$ (tableur ou programme), puis on trace leur évolution au cours du temps. $E_{m}$ constante aux erreurs de mesure près : conservation ; $E_{m}$ qui diminue régulièrement : frottements, et la baisse mesure l’énergie dissipée ; chute brusque : un choc.

Le programme Python. Les altitudes pointées sont rangées dans une liste ; une boucle calcule la vitesse en chaque point intérieur, puis les trois énergies, que l’on trace.

import matplotlib.pyplot as plt
m, g, tau = 0.050, 9.81, 0.040   # kg, N/kg, s
z = [1.200, 1.192, 1.169, 1.129, 1.074, 1.004]
t, Ec, Epp, Em = [], [], [], []
for i in range(1, len(z) - 1):
    v = abs(z[i+1] - z[i-1]) / (2 * tau)
    t.append(i * tau)
    Ec.append(0.5 * m * v**2)
    Epp.append(m * g * z[i])
    Em.append(Ec[-1] + Epp[-1])
plt.plot(t, Ec, label="Ec")
plt.plot(t, Epp, label="Epp")
plt.plot(t, Em, label="Em")
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("énergie (J)")
plt.legend()
plt.show()

Exemples

Exemple 1 — une bille lâchée. Une bille de 50 g est lâchée sans vitesse ; le pointage, toutes les 40 ms, donne en mètres (référence au sol) : $z_{0} = 1, 200$ ; $z_{1} = 1, 192$ ; $z_{2} = 1, 169$ ; $z_{3} = 1, 129$ ; $z_{4} = 1, 074$ ; $z_{5} = 1, 004$ .

Au point 2 : $v_{2} \approx \frac{1, 192 - 1, 129}{0, 080} \approx 0, 788$ m·s⁻¹, d’où

E_{m} (2) = \frac{1}{2} \times 0, 050 \times 0, 7875^{2} + 0, 050 \times 9, 81 \times 1, 169 \approx 0, 589 J

Au point 3 : $v_{3} \approx \frac{1, 169 - 1, 074}{0, 080} \approx 1, 19$ m·s⁻¹ et $E_{m} (3) \approx 0, 589$ J. Au départ, $E_{m} (0) = 0, 050 \times 9, 81 \times 1, 200 \approx 0, 589$ J : l’énergie mécanique se conserve, les frottements de l’air sont bien négligeables.

Exemple 2 — lire un rebond. Une balle de 100 g est lâchée de 1,00 m et rebondit.

Énergies d’une balle de 100 g lâchée de 1,00 m, référence au sol.

Pendant chaque vol, $E_{m}$ est constante : 0,981 J, puis 0,628 J. Au rebond, elle chute de $0, 981 - 0, 628 \approx 0, 353$ J, soit 36 % : cette énergie a été dissipée pendant le contact avec le sol. La balle remonte à $\frac{0, 628}{0, 100 \times 9, 81} = 0, 64$ m.

Réflexe — vitesse au point $i$ = distance entre les points $i - 1$ et $i + 1$ , divisée par $2 τ$ ; même référence pour toutes les $E_{p p}$ ; je compare $E_{m}$ au début et à la fin avant de conclure.

Attention — des écarts de quelques millièmes sur $E_{m}$ viennent des erreurs de pointage : ce n’est pas une dissipation. On ne conclut à des frottements que si la baisse est nette et régulière.

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Pour aller plus loin

Dans les chapitres voisins. Le calcul du travail d’une force constante, la démonstration de l’expression du travail du poids, le travail d’une force électrique et la puissance d’une force sont au chapitre Travail et puissance d’une force. Le lien entre les forces et la variation du vecteur vitesse est dans Forces et approche de la deuxième loi de Newton.

Plus tard. En terminale, ces bilans servent à étudier le mouvement dans un champ de pesanteur ou dans un champ électrique uniforme, et l’énergie dissipée sous forme thermique est reprise avec le premier principe de la thermodynamique.

À retenir

$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$ (J, kg, m·s⁻¹), qui dépend du référentiel ; vitesse doublée, énergie cinétique quadruplée.
Théorème de l’énergie cinétique, dans un référentiel galiléen : $Δ E_{c} = \sum W_{A B} (\vec{F})$ ; une force perpendiculaire au déplacement ne travaille pas ; freinage : $d = \frac{m v^{2}}{2 F}$ .
$E_{p p} = m g z$ , axe vertical vers le haut, $E_{p p} = 0$ à la référence ; $W_{A B} (\vec{P}) = - Δ E_{p p}$ : le poids est une force conservative.
$E_{m} = E_{c} + E_{p p}$ se conserve si seul le poids travaille : $v = \sqrt{2 g h}$ , indépendante de la masse ; pendule : $h = L (1 - \cos θ)$ .
$Δ E_{m} = \sum W ({\vec{F}}_{nc})$ : les frottements dissipent de l’énergie sous forme thermique ( $f = \frac{| Δ E_{m} |}{ℓ}$ ), une force motrice en apporte.
Mesures : $v_{i} \approx \frac{M_{i - 1} M_{i + 1}}{2 τ}$ , puis $E_{c}$ , $E_{p p}$ et $E_{m}$ en chaque point, au tableur ou en Python.

Questions fréquentes

Comment calcule-t-on l’énergie cinétique ?

Pour un système de masse m (en kg) qui se déplace à la vitesse v (en m/s) dans un référentiel donné, Ec = ½ × m × v², en joules. Elle dépend du référentiel et du carré de la vitesse : à vitesse double, l’énergie cinétique est quatre fois plus grande.

Que dit le théorème de l’énergie cinétique ?

Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie cinétique d’un système entre deux positions A et B est égale à la somme des travaux des forces extérieures qui s’exercent sur lui entre A et B. Une force perpendiculaire au déplacement ne travaille pas.

Comment calcule-t-on l’énergie potentielle de pesanteur ?

Epp = m × g × z, où z est l’altitude sur un axe vertical orienté vers le haut et Epp = 0 au niveau de référence choisi. Changer de référence change les valeurs de Epp, jamais leurs variations, qui sont égales à l’opposé du travail du poids.

Quand l’énergie mécanique se conserve-t-elle ?

L’énergie mécanique Em = Ec + Epp se conserve quand le poids est la seule force qui travaille : chute libre, glissement ou pendule sans frottement. La vitesse en bas d’une chute sans vitesse initiale vaut alors √(2gh), quelle que soit la masse.

Où passe l’énergie mécanique perdue avec des frottements ?

La variation de l’énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives. Les frottements ont un travail négatif : l’énergie mécanique diminue et l’énergie dissipée est transférée sous forme thermique, sans disparaître.

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