Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Physique-Chimie

Énergie mécanique : cinétique, potentielle et conservation

Énergie cinétique et théorème de l’énergie cinétique ; énergie potentielle de pesanteur et force conservative ; conservation de l’énergie mécanique ; énergie dissipée ou apportée ; bilan énergétique à partir de mesures et en Python.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés pas à pas : le toboggan d’évacuation d’un avion, le lancer du poids, les oscillations amorties d’un pendule suivies en Python, le bilan énergétique d’un saut à ski et la distance de freinage d’une voiture sur route sèche ou mouillée.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je définis le système et le référentiel, je fais le bilan des forces et je repère celles qui travaillent.
Je choisis la référence des altitudes (axe vertical vers le haut) et je note $z$ et $v$ en chaque point, en unités SI.
Je choisis l’outil : conservation $E_{m} (A) = E_{m} (B)$ si seul le poids travaille, sinon $Δ E_{c} = \sum W$ ou $Δ E_{m} = \sum W ({\vec{F}}_{nc})$ .
Je calcule les énergies point par point avec la même référence, puis les variations et, si besoin, $f = \frac{| Δ E_{m} |}{ℓ}$ .
Je conclus avec l’unité et je compare : vitesse réelle et vitesse sans frottement, énergie dissipée, part en pourcentage.

Problème 1 · Le toboggan d’évacuation d’un avion★★★Facile

Pour évacuer un avion au sol, les passagers glissent sur un toboggan gonflable. Une passagère de 75 kg se laisse glisser sans vitesse initiale depuis le seuil de la porte, à 4,2 m au-dessus du sol ; la glissière mesure 11 m de long. En bas, sa vitesse vaut 5,2 m·s⁻¹. Référence : le sol ; g = 9,81 N·kg⁻¹.

1. Énergie mécanique au départ : × 10³ J
Au départ, $v = 0$ : $E_{m} = m g z = 75 \times 9, 81 \times 4, 2 \approx$ 3,09 × 10³ J.
2. Énergie mécanique à l’arrivée : J
Au sol, $E_{p p} = 0$ : $E_{m} = \frac{1}{2} \times 75 \times 5, 2^{2} =$ 1 014 J.
3. Énergie dissipée pendant la glissade : × 10³ J
$| Δ E_{m} | = 3 090 - 1 014 \approx$ 2,08 × 10³ J, transférés sous forme thermique à la glissière, aux vêtements et à l’air.
4. Part de l’énergie mécanique initiale dissipée : %
$\frac{2 076}{3 090} \approx 0, 672$ : 67,2 %. La glissière freine fortement la descente.
5. Valeur de la force de frottement exercée par la glissière, supposée constante : N
Le travail des frottements vaut $- f \times ℓ$ avec $ℓ = 11$ m, la longueur parcourue : $f = \frac{2 076}{11} \approx$ 189 N.
6. Vitesse d’arrivée si la glissière était parfaitement lisse : m·s⁻¹
Sans frottement, $E_{m}$ se conserve : $v = \sqrt{2 \times 9, 81 \times 4, 2} \approx$ 9,08 m·s⁻¹, une arrivée bien plus brutale.
7. Vitesse d’arrivée sur une glissière de 15 m, de même hauteur, avec la même force de frottement : m·s⁻¹
L’énergie de départ ne change pas, la dissipation devient $188, 7 \times 15 \approx 2 831$ J : $E_{c} = 3 090 - 2 831 \approx 259$ J, d’où $v = \sqrt{\frac{2 \times 259}{75}} \approx$ 2,63 m·s⁻¹. Allonger la pente à hauteur égale ralentit l’arrivée.

Problème 2 · Le lancer du poids★★★Moyen

Une athlète lance un poids de 4,0 kg. Il quitte sa main à 2,0 m au-dessus du sol, à 12 m·s⁻¹, dans une direction qui fait un angle de 42° avec l’horizontale. On néglige les frottements de l’air et on prend le sol comme référence. Au sommet de la trajectoire, la vitesse du poids est horizontale et vaut

v_{0} \cos 42 °

. Données : cos 42° = 0,743 ; g = 9,81 N·kg⁻¹.

1. Énergie mécanique du poids au lâcher : J
$E_{m} = \frac{1}{2} \times 4, 0 \times 12^{2} + 4, 0 \times 9, 81 \times 2, 0 = 288 + 78, 5 \approx$ 366 J.
2. Vitesse du poids au sommet de sa trajectoire : m·s⁻¹
$v = 12 \times 0, 743 \approx$ 8,92 m·s⁻¹ : au sommet, la vitesse n’est pas nulle, seule sa composante verticale s’annule.
3. Altitude maximale atteinte : m
Seul le poids travaille : $E_{m}$ se conserve. $z = \frac{E_{m} - \frac{1}{2} m v^{2}}{m g} = \frac{366, 5 - 159, 0}{4, 0 \times 9, 81} \approx$ 5,29 m.
4. Vitesse du poids juste avant de toucher le sol : m·s⁻¹
$\frac{1}{2} m v^{2} = E_{m}$ au sol : $v = \sqrt{12^{2} + 2 \times 9, 81 \times 2, 0} = \sqrt{183, 2} \approx$ 13,5 m·s⁻¹.
5. Vitesse à l’impact pour un lancer à 30° avec la même vitesse initiale : m·s⁻¹
L’énergie mécanique au lâcher ne dépend que de la valeur de la vitesse et de l’altitude, pas de la direction : même énergie, même vitesse à l’impact, 13,5 m·s⁻¹. Seuls la hauteur atteinte et la portée changent.

Problème 3 · Les oscillations d’un pendule qui s’amortissent★★★Moyen

Un pendule formé d’une bille de 150 g et d’un fil de 0,90 m est filmé. La référence des altitudes est le point le plus bas de la trajectoire. D’une extrémité de la trajectoire à la suivante (une demi-oscillation), la bille atteint successivement les hauteurs : 12,0 cm ; 11,4 cm ; 10,8 cm ; 10,3 cm. Donnée : g = 9,81 N·kg⁻¹.

1. Énergie mécanique au départ, bille immobile à 12,0 cm : J
Aux extrémités, la bille est immobile : $E_{m} = m g h = 0, 150 \times 9, 81 \times 0, 120 \approx$ 0,177 J.
2. Vitesse au point le plus bas lors du premier passage, si l’on négligeait les frottements : m·s⁻¹
$v = \sqrt{2 \times 9, 81 \times 0, 120} \approx$ 1,53 m·s⁻¹ : une valeur un peu plus grande que la vitesse réelle.
3. Énergie dissipée au bout de trois demi-oscillations : × 10⁻² J
$| Δ E_{m} | = m g (h_{0} - h_{3}) = 0, 150 \times 9, 81 \times (0, 120 - 0, 103) \approx$ 2,50 × 10⁻² J, dissipés par l’air et au point d’attache.
4. Part de l’énergie mécanique conservée à chaque demi-oscillation : %
$\frac{11, 4}{12, 0} = 0, 95$ , $\frac{10, 8}{11, 4} \approx 0, 947$ , $\frac{10, 3}{10, 8} \approx 0, 954$ : à chaque demi-oscillation, la bille garde environ 95 % de son énergie mécanique.
5. On suppose cette part constante ; la variable k du programme suivant contient sa valeur, en écriture décimale. Valeur affichée :
```
h, n = 12.0, 0
while h >= 6.0:
    h = k * h
    n = n + 1
print(n)
```
La boucle multiplie la hauteur par 0,95 tant qu’elle reste au moins égale à 6,0 cm : $12, 0 \times 0, 95^{13} \approx 6, 2$ cm, $12, 0 \times 0, 95^{14} \approx 5, 9$ cm. Le programme affiche 14 : après 14 demi-oscillations, l’énergie mécanique est tombée sous la moitié de sa valeur initiale.

Problème 4 · Le bilan énergétique d’un saut à ski★★★Difficile

Un sauteur à ski, équipement compris, a une masse de 75 kg. On relève sa vitesse au départ A en haut de la piste d’élan, au bord du tremplin B et au point de réception C. La piste A → B mesure 210 m, le trajet B → C (vol et réception) 95 m. Référence : le bas de la piste de réception ; g = 9,81 N·kg⁻¹.

Point	A	B	C
Altitude z (m)	62	16	3,0
Vitesse v (m·s⁻¹)	0	27,5	30,0

1. Énergie mécanique en A : × 10⁴ J
$E_{m} (A) = 75 \times 9, 81 \times 62 \approx$ 4,56 × 10⁴ J.
2. Énergie mécanique en B : × 10⁴ J
$E_{m} (B) = \frac{1}{2} \times 75 \times 27, 5^{2} + 75 \times 9, 81 \times 16 \approx 28 359 + 11 772 \approx$ 4,01 × 10⁴ J.
3. Énergie mécanique en C : × 10⁴ J
$E_{m} (C) = \frac{1}{2} \times 75 \times 30, 0^{2} + 75 \times 9, 81 \times 3, 0 = 33 750 + 2 207 \approx$ 3,60 × 10⁴ J.
4. Énergie dissipée sur A → B : × 10³ J
$| Δ E_{m} | = 45 617 - 40 131 \approx$ 5,49 × 10³ J.
5. Énergie dissipée sur B → C : × 10³ J
$| Δ E_{m} | = 40 131 - 35 957 \approx$ 4,17 × 10³ J : moins d’énergie dissipée que sur la piste d’élan.
6. Valeur moyenne des forces de frottement sur A → B : N
$f = \frac{5 485}{210} \approx$ 26,1 N.
7. Valeur moyenne des forces de frottement sur B → C : N
$f = \frac{4 174}{95} \approx$ 43,9 N : la portion qui dissipe le moins d’énergie est celle où les frottements sont les plus intenses (air à grande vitesse, réception), parce qu’elle est plus courte.
8. Gain de vitesse en B si la piste d’élan était parfaitement lisse : m·s⁻¹
$\frac{1}{2} m v_{B}^{2} = E_{m} (A) - m g z_{B} = 45 617 - 11 772 = 33 845$ J, d’où $v_{B} \approx 30, 04$ m·s⁻¹, soit un gain de 2,54 m·s⁻¹ : c’est le gain maximal qu’un meilleur fartage pourrait apporter.
9. Vitesse en B en partant 4,0 m plus haut, avec la même énergie dissipée : m·s⁻¹
Le départ apporte $75 \times 9, 81 \times 4, 0 \approx 2 943$ J de plus : $E_{c} (B) \approx 28 359 + 2 943 = 31 302$ J, d’où $v_{B} \approx$ 28,9 m·s⁻¹. Le fartage ne peut l’emporter que s’il supprime plus de la moitié des 5,49 kJ dissipés.

Problème 5 · Distance de freinage et sécurité routière★★★Difficile

Une voiture de 1 150 kg, conducteur compris, roule à 90 km·h⁻¹ sur une route horizontale. Le conducteur freine : sur route sèche, le freinage exerce une force de valeur constante 7,2 kN, opposée au déplacement. On néglige la résistance de l’air.

1. Énergie cinétique de la voiture avant le freinage : × 10⁵ J
$v = \frac{90}{3, 6} = 25$ m·s⁻¹ ; $E_{c} = \frac{1}{2} \times 1 150 \times 25^{2} = 359 375$ J, soit 3,59 × 10⁵ J.
2. Distance de freinage : m
Le poids et la réaction de la route, perpendiculaires au déplacement, ne travaillent pas. Théorème de l’énergie cinétique : $0 - \frac{1}{2} m v^{2} = - F \times d$ , d’où $d = \frac{m v^{2}}{2 F} = \frac{359 375}{7 200} \approx$ 49,9 m.
3. Distance de freinage à 130 km·h⁻¹, sur la même route : m
$v = \frac{130}{3, 6} \approx 36, 1$ m·s⁻¹ : $d = \frac{1 150 \times 36, 11^{2}}{2 \times 7 200} \approx$ 104 m.
4. Facteur par lequel la distance de freinage est multipliée :
$\frac{104, 1}{49, 9} = {(\frac{130}{90})}^{2} \approx$ 2,09 : rouler 44 % plus vite double la distance de freinage.
5. Distance de freinage à 90 km·h⁻¹ sur route mouillée, où la force de freinage n’est plus que de 4,5 kN : m
$d = \frac{359 375}{4 500} \approx$ 79,9 m, trente mètres de plus.
6. Force de freinage qu’il faudrait à 130 km·h⁻¹ pour s’arrêter sur la même distance qu’à 90 km·h⁻¹ : kN
À distance égale, $F$ doit être multipliée comme $v^{2}$ : $7, 2 \times 2, 09 \approx$ 15,0 kN. Doubler la vitesse imposerait de quadrupler la force, ce que l’adhérence des pneus ne permet pas.

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