Variables aléatoires réelles

Le nombre $X$ de buts marqués par une équipe de football lors d’un match a pour loi :

1. « L’équipe marque au plus un but » : sa probabilité est
   « Au plus un but » est l’événement $\{X⩽1\}$, réalisé pour les valeurs $0$ et $1$ : $P(X⩽1)=0,2+0,35=0,55$.
2. « L’équipe marque au moins deux buts » : sa probabilité est
   C’est $\{X⩾2\}$, l’événement contraire de $\{X⩽1\}$ : $P(X⩾2)=1-0,55=0,45$ (ou $0,25+0,15+0,05$).
3. $P(X>3)=$
   $\{X>3\}$ ne contient que la valeur $4$ (la valeur $3$ est exclue) : $P(X>3)=0,05$.
4. $P(1⩽X<3)=$
   Les valeurs $x$ telles que $1⩽x<3$ sont $1$ et $2$ : $P(1⩽X<3)=0,35+0,25=0,6$.
5. L’événement « l’équipe marque moins de $2$ buts » s’écrit $\{X⩽k\}$ avec $k$ entier égal à
   « Moins de $2$ » : $\{X<2\}$. Comme $X$ ne prend que des valeurs entières, $\{X<2\}=\{X⩽1\}$ : $k=1$.

Une roue est divisée en $8$ secteurs identiques : un secteur porte le nombre $50$, deux secteurs portent le nombre $10$ et les cinq autres portent le nombre $0$. On fait tourner la roue ; $X$ est le nombre affiché face au repère. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $P(X=0)=$
   Les $8$ secteurs sont identiques : chacun a la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ (équiprobabilité). Cinq secteurs portent $0$ : $P(X=0)={\displaystyle \frac{5}{8}}$.
2. $P(X=10)=$
   Deux secteurs portent $10$ : $P(X=10)={\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Avec $P(X=50)={\displaystyle \frac{1}{8}}$, contrôle : ${\displaystyle \frac{5+2+1}{8}}=1$.
3. $P(X>0)=$
   $\{X>0\}$ regroupe les valeurs $10$ et $50$ : $P(X>0)={\displaystyle \frac{2}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$.
4. $P(X⩽10)=$
   Contraire de $\{X>10\}=\{X=50\}$ : $P(X⩽10)=1-{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{7}{8}}$.

Une pièce truquée donne « pile » avec la probabilité $0,7$. On la lance deux fois de suite, les lancers étant indépendants ; $X$ est le nombre de « pile » obtenus. Écris les probabilités sous forme décimale.

1. $P(X=0)=$
   $X=0$ correspond au seul chemin « face, face » : $P(X=0)=0,3\times 0,3=0,09$.
2. Justifier la valeur de $P(X=1)$ à l’aide d’un arbre pondéré : $P(X=1)=$
   Rédaction attendue. À chaque lancer, $P(\text{pile})=0,7$ et $P(\text{face})=1-0,7=0,3$. Les lancers étant indépendants, la probabilité d’un chemin de l’arbre est le produit des probabilités de ses branches. L’événement $\{X=1\}$ est réalisé par deux chemins : « pile puis face », de probabilité $0,7\times 0,3=0,21$, et « face puis pile », de probabilité $0,3\times 0,7=0,21$. Donc $P(X=1)=0,21+0,21=0,42$.
3. $P(X=2)=$
   Chemin « pile, pile » : $0,7\times 0,7=0,49$. Contrôle : $0,09+0,42+0,49=1$.
4. $P(X⩾1)=$
   $\{X⩾1\}$ est le contraire de $\{X=0\}$ : $P(X⩾1)=1-0,09=0,91$.

On lance deux dés équilibrés à six faces, l’un rouge, l’autre bleu ; les $36$ couples de résultats sont équiprobables. On note $M$ le plus grand des deux numéros obtenus (si les deux numéros sont égaux, $M$ est ce numéro). Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Démontrer que pour tout entier $k$ de $1$ à $6$, $P(M⩽k)={\displaystyle \frac{k^2}{36}}$. Contrôle : $P(M⩽3)=$
   Rédaction attendue. Le plus grand des deux numéros est inférieur ou égal à $k$ si et seulement si les deux numéros sont inférieurs ou égaux à $k$. Il y a $k$ résultats possibles pour le dé rouge et $k$ pour le dé bleu, soit $k\times k=k^2$ couples favorables parmi $36$ couples équiprobables. Donc $P(M⩽k)={\displaystyle \frac{k^2}{36}}$. Pour $k=3$ : $P(M⩽3)={\displaystyle \frac{9}{36}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.
2. $P(M=4)=$
   $\{M⩽4\}$ est la réunion des événements incompatibles $\{M⩽3\}$ et $\{M=4\}$. Donc $P(M=4)=P(M⩽4)-P(M⩽3)={\displaystyle \frac{16}{36}}-{\displaystyle \frac{9}{36}}={\displaystyle \frac{7}{36}}$.
3. $P(M=6)=$
   $P(M=6)=P(M⩽6)-P(M⩽5)={\displaystyle \frac{36}{36}}-{\displaystyle \frac{25}{36}}={\displaystyle \frac{11}{36}}$. Plus généralement, $P(M=k)={\displaystyle \frac{k^2-(k-1{)}^2}{36}}={\displaystyle \frac{2k-1}{36}}$.
4. $P(M⩾5)=$
   $\{M⩾5\}$ est le contraire de $\{M⩽4\}$ : $P(M⩾5)=1-{\displaystyle \frac{16}{36}}={\displaystyle \frac{20}{36}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$.

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $-3$, $0$, $2$ et $7$ avec $P(X=-3)=0,15$, $P(X=0)=0,35$, $P(X=2)=p$ et $P(X=7)=0,2$.

1. $p=$
   La somme des probabilités vaut $1$ : $0,15+0,35+p+0,2=1$, soit $0,7+p=1$, d’où $p=0,3$.
2. $P(X⩾2)=$
   $\{X⩾2\}$ est réalisé pour les valeurs $2$ et $7$ : $P(X⩾2)=0,3+0,2=0,5$.
3. $E(X)=$
   $E(X)=-3\times 0,15+0\times 0,35+2\times 0,3+7\times 0,2=-0,45+0+0,6+1,4=1,55$. Sur un grand nombre de répétitions, la valeur moyenne de $X$ est proche de $1,55$.

Le nombre $X$ d’appels reçus en une heure par un standard téléphonique a pour loi :

1. $E(X)=$
   $E(X)=0\times 0,3+1\times 0,4+2\times 0,2+3\times 0,1=0+0,4+0,4+0,3=1,1$ appel par heure, en moyenne.
2. Sur $50$ heures d’ouverture, le nombre total d’appels attendu est environ
   Sur un grand nombre d’heures, le standard reçoit en moyenne $1,1$ appel par heure : sur $50$ heures, environ $50\times 1,1=55$ appels.
3. La probabilité qu’en une heure le nombre d’appels dépasse strictement $E(X)$ est
   $X>1,1$ signifie $X=2$ ou $X=3$ : $P(X>1,1)=0,2+0,1=0,3$. L’espérance n’est pas une valeur « du milieu » : ici, $X$ la dépasse moins d’une fois sur trois.

On utilise la fonction Python du cours :

def esperance(x, p):
    e = 0
    for i in range(len(x)):
        e = e + x[i] * p[i]
    return e

1. L’appel esperance([0, 5, 20], [0.7, 0.25, 0.05]) renvoie
   La boucle calcule $0\times 0,7+5\times 0,25+20\times 0,05=0+1,25+1=2,25$ : c’est l’espérance de la variable de loi donnée par les deux listes.
2. Lors de cet appel, la ligne e = e + x[i] * p[i] est exécutée fois
   len(x) vaut $3$ : $i$ prend les valeurs $0$, $1$ et $2$, une par valeur de la variable.
3. Justifier que l’appel esperance([10, 20, 30, 40], [0.25, 0.25, 0.25, 0.25]) renvoie la moyenne des quatre valeurs : il renvoie
   Rédaction attendue. Les quatre probabilités sont égales à $0,25={\displaystyle \frac{1}{4}}$. La fonction renvoie $\sum p_i{x}_i={\displaystyle \frac{1}{4}}(10+20+30+40)={\displaystyle \frac{100}{4}}=25$. Quand les valeurs sont équiprobables, l’espérance est la moyenne simple des valeurs ; sinon, c’est une moyenne pondérée.

Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_1<x_2<\cdots <x_n$ avec les probabilités $p_1,\dots ,p_n$.

1. Démontrer que $x_1⩽E(X)⩽x_n$. Contrôle : si $X$ prend les valeurs $-2$ et $8$ avec $P(X=8)=0,3$, alors $E(X)=$
   Rédaction attendue. Pour tout indice $i$, $x_1⩽x_i⩽x_n$. Comme $p_i⩾0$, on peut multiplier par $p_i$ sans changer le sens des inégalités : $p_i{x}_1⩽p_i{x}_i⩽p_i{x}_n$. En additionnant ces $n$ encadrements : $x_1\sum p_i⩽\sum p_i{x}_i⩽x_n\sum p_i$. Or $\sum p_i=1$ et $\sum p_i{x}_i=E(X)$, donc $x_1⩽E(X)⩽x_n$. Contrôle : $E(X)=-2\times 0,7+8\times 0,3=-1,4+2,4=1$, qui est bien entre $-2$ et $8$.
2. $X$ prend seulement les valeurs $1$ et $11$, et $E(X)=3$. Alors $P(X=11)=$
   On pose $q=P(X=11)$, donc $P(X=1)=1-q$. $E(X)=1\times (1-q)+11q=1+10q$. L’équation $1+10q=3$ donne $q=0,2$.
3. $X$ prend les valeurs $0$, $10$ et $20$, avec $P(X=10)=0,1$ et $E(X)=17$. Alors $P(X=0)=$
   $E(X)=0\times P(X=0)+10\times 0,1+20\times P(X=20)=1+20P(X=20)$. L’équation $1+20P(X=20)=17$ donne $P(X=20)=0,8$. Enfin $P(X=0)=1-0,1-0,8=0,1$.

La loi d’une variable aléatoire $X$ est :

1. $E(X)=$
   $E(X)=1\times 0,5+4\times 0,3+6\times 0,2=0,5+1,2+1,2=2,9$.
2. $E(X^2)=$
   $E(X^2)=1\times 0,5+16\times 0,3+36\times 0,2=0,5+4,8+7,2=12,5$.
3. $V(X)=$
   König-Huygens : $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=12,5-2,9^2=12,5-8,41=4,09$.
4. $\sigma (X)\approx$ (au centième)
   $\sigma (X)=\sqrt{4,09}={\displaystyle \frac{\sqrt{409}}{10}}\approx {\displaystyle \frac{20,224}{10}}\approx 2,02$.
5. Dans la définition de la variance (somme des $p_i(x_i-E(X){)}^2$), le terme associé à la valeur $6$ vaut
   $0,2\times 3,1^2=0,2\times 9,61=1,922$. Les deux autres termes valent $0,5\times 1,9^2=1,805$ et $0,3\times 1,1^2=0,363$ ; leur somme redonne bien $4,09$ : les deux formules sont équivalentes, König-Huygens demande moins de calculs.

Applique la formule de König-Huygens.

1. $E(X)=3$ et $E(X^2)=13$ : $V(X)=$
   $V(X)=13-3^2=13-9=4$ (et $\sigma (X)=2$).
2. $E(X)=-2$ et $E(X^2)=5$ : $V(X)=$
   $V(X)=5-(-2{)}^2=5-4=1$. Le carré de $-2$ est $4$ : il faut des parenthèses.
3. $E(X)=0,5$ et $V(X)=2$ : $E(X^2)=$
   $E(X^2)=V(X)+E(X{)}^2=2+0,25=2,25$.

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $2$, $5$ et $9$ avec $P(X=2)=a$, $P(X=5)=b$ et $P(X=9)=0,3$. On sait que $E(X)=5,6$. On donne $\sqrt{39}\approx 6,245$.

1. Justifier que $a+b=0,7$ et $2a+5b=2,9$, puis déterminer $b=$
   Rédaction attendue. La somme des probabilités vaut $1$ : $a+b+0,3=1$, donc $a+b=0,7$. L’espérance vaut $5,6$ et $9\times 0,3=2,7$ : $2a+5b+2,7=5,6$, donc $2a+5b=2,9$. De la première équation, $a=0,7-b$ ; dans la seconde : $2(0,7-b)+5b=2,9$, soit $1,4+3b=2,9$, donc $3b=1,5$ et $b=0,5$.
2. $a=$
   $a=0,7-0,5=0,2$. Vérification : $2\times 0,2+5\times 0,5+9\times 0,3=0,4+2,5+2,7=5,6$.
3. $V(X)=$
   $E(X^2)=4\times 0,2+25\times 0,5+81\times 0,3=0,8+12,5+24,3=37,6$. Par König-Huygens, $V(X)=37,6-5,6^2=37,6-31,36=6,24$.
4. $\sigma (X)\approx$ (au centième)
   $\sigma (X)=\sqrt{6,24}=\sqrt{{\displaystyle \frac{156}{25}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{39}}{5}}\approx {\displaystyle \frac{2\times 6,245}{5}}\approx 2,50$.

Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs distinctes $x_1,\dots ,x_n$ avec des probabilités $p_1,\dots ,p_n$ toutes strictement positives.

1. Démontrer que $E(X^2)⩾(E(X){)}^2$. Contrôle : si $E(X)=6$, la plus petite valeur possible de $E(X^2)$ est
   Rédaction attendue. Par définition, $V(X)=\sum p_i(x_i-E(X){)}^2$ est une somme de termes positifs ou nuls (produit d’une probabilité et d’un carré), donc $V(X)⩾0$. D’après la formule de König-Huygens, $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$, d’où $E(X^2)⩾E(X{)}^2$. Si $E(X)=6$, alors $E(X^2)⩾36$, avec égalité quand $V(X)=0$ (par exemple si $X$ vaut toujours $6$).
2. On suppose $V(X)=0$ et $P(X=7)>0$. Alors $E(X)=$
   Rédaction attendue. Une somme de termes positifs ou nuls est nulle si et seulement si chaque terme est nul. $V(X)=0$ impose donc $p_i(x_i-E(X){)}^2=0$ pour tout $i$ ; comme $p_i>0$, $x_i=E(X)$ pour tout $i$ : toutes les valeurs sont égales, donc $X$ ne prend qu’une seule valeur, avec probabilité $1$. Ici cette valeur est $7$, donc $E(X)=7$.
3. Un élève annonce $E(X)=6$ et $E(X^2)=30$. La formule de König-Huygens donnerait $V(X)=$
   $V(X)=30-6^2=30-36=-6<0$ : c’est impossible, une variance est positive. Aucune variable aléatoire ne vérifie à la fois $E(X)=6$ et $E(X^2)=30$ ; l’élève s’est trompé.

Approfondissement. $X$ prend la valeur $0$ avec la probabilité ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ et la valeur $6$ avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. Pour tout réel $t$, on pose $f(t)=E((X-t{)}^2)={\displaystyle \frac{2}{3}}(0-t{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}(6-t{)}^2$ : c’est la moyenne des carrés des écarts entre $X$ et $t$.

1. Développer : $f(t)=t^2-ct+12$ avec $c=$
   $f(t)={\displaystyle \frac{2}{3}}{t}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}(36-12t+t^2)={\displaystyle \frac{2}{3}}{t}^2+12-4t+{\displaystyle \frac{1}{3}}{t}^2=t^2-4t+12$. Donc $c=4$.
2. Démontrer que $f$ atteint son minimum en $t=E(X)$. Ce minimum est atteint pour $t=$
   Rédaction attendue. $f(t)=t^2-4t+12$ est un polynôme du second degré de coefficient $1>0$ : il atteint son minimum en $t=-{\displaystyle \frac{-4}{2\times 1}}=2$. Or $E(X)=0\times {\displaystyle \frac{2}{3}}+6\times {\displaystyle \frac{1}{3}}=2$ : le minimum est atteint en $t=E(X)$. Plus généralement, $f(t)=t^2-2E(X)t+E(X^2)$, dont le minimum est atteint en $t=E(X)$.
3. La valeur minimale de $f$ est
   $f(2)=4-8+12=8$. C’est $V(X)$ : $E(X^2)=36\times {\displaystyle \frac{1}{3}}=12$ et $V(X)=12-2^2=8$. La variance est la plus petite moyenne des carrés des écarts, obtenue en mesurant les écarts à l’espérance.

Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X)=5$ et $V(X)=4$. On admet que $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ et $\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)$ (approfondissement, voir le cours).

1. $Y=3X+1$ : $E(Y)=$
   Linéarité : $E(Y)=3\times 5+1=16$.
2. $Y=3X+1$ : $V(Y)=$
   $V(Y)=3^2\times 4=36$ ; la constante $1$ n’intervient pas.
3. $Z=-X+10$ : $\sigma (Z)=$
   $\sigma (X)=\sqrt{4}=2$ et $\sigma (Z)=|-1|\times 2=2$ : changer le signe ne change pas la dispersion.
4. $W=0,5X-2$ : $E(W)=$
   $E(W)=0,5\times 5-2=2,5-2=0,5$.

Un artisan reçoit chaque jour un nombre aléatoire $X$ de commandes, de loi :

1. $E(X)=$
   $E(X)=0+1\times 0,25+2\times 0,4+3\times 0,25=0,25+0,8+0,75=1,8$ commande par jour.
2. $V(X)=$
   $E(X^2)=1\times 0,25+4\times 0,4+9\times 0,25=0,25+1,6+2,25=4,1$, donc $V(X)=4,1-1,8^2=4,1-3,24=0,86$.
3. Justifier le calcul du bénéfice quotidien moyen : $E(B)=$ €
   Rédaction attendue. $B=35X-20$ est de la forme $aX+b$ avec $a=35$ et $b=-20$. Par linéarité de l’espérance, $E(B)=35E(X)-20=35\times 1,8-20=63-20=43$. Sur un grand nombre de jours, le bénéfice quotidien moyen de l’artisan est d’environ $43$ €.
4. $V(B)=$
   $V(B)={35}^2\times V(X)=1225\times 0,86=1053,5$.
5. $\sigma (B)\approx$ € (au centime)
   $\sigma (B)=35\sigma (X)=35\sqrt{0,86}=3,5\sqrt{86}\approx 3,5\times 9,274\approx 32,46$ € : le bénéfice varie fortement d’un jour à l’autre autour de $43$ €.

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $-1$, $0$ et $x$ (où $x$ est un réel) avec les probabilités respectives $0,25$ ; $0,25$ et $0,5$. On sait que $E(X)=1,75$. On donne $\sqrt{83}\approx 9,110$.

1. $x=$
   $E(X)=-1\times 0,25+0\times 0,25+0,5x=-0,25+0,5x$. L’équation $-0,25+0,5x=1,75$ donne $0,5x=2$, soit $x=4$.
2. $V(X)=$
   $E(X^2)=1\times 0,25+0+16\times 0,5=8,25$, donc $V(X)=8,25-1,{75}^2=8,25-3,0625=5,1875$, et $\sigma (X)=\sqrt{{\displaystyle \frac{83}{16}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{83}}{4}}\approx 2,28$.
3. On pose $Y=-2X+5$. $E(Y)=$
   $Y=aX+b$ avec $a=-2$ et $b=5$ : $E(Y)=-2\times 1,75+5=-3,5+5=1,5$.
4. $V(Y)=$
   $V(Y)=(-2{)}^2\times V(X)=4\times 5,1875=20,75$.
5. Un élève affirme que $\sigma (Y)=-2\sigma (X)$. Expliquer son erreur. En réalité, $\sigma (Y)=k\sigma (X)$ avec $k=$
   Rédaction attendue. L’élève a appliqué « $\sigma (aX+b)=a\sigma (X)$ » avec $a=-2$. La formule correcte est $\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)$ : elle vient de $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ et de $\sqrt{a^2}=|a|$. Un écart type est une racine carrée, donc positif ou nul : un résultat négatif est impossible. Ici $k=|-2|=2$ et $\sigma (Y)=2\sigma (X)={\displaystyle \frac{\sqrt{83}}{2}}\approx {\displaystyle \frac{9,110}{2}}\approx 4,56$.

Un QCM comporte $3$ questions ; chacune propose $4$ réponses dont une seule est correcte. Un candidat répond au hasard, indépendamment d’une question à l’autre. On note $N$ le nombre de bonnes réponses. Le barème donne $2$ points par bonne réponse et retire $1$ point par mauvaise réponse ; $S$ est le score obtenu. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Montrer que $P(N=1)={\displaystyle \frac{27}{64}}$, puis donner $P(N=2)=$
   Rédaction attendue. À chaque question, la réponse est bonne ($B$) avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ et mauvaise ($M$) avec la probabilité ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, indépendamment des autres. L’arbre a trois niveaux. $\{N=1\}$ est réalisé par les trois chemins $BMM$, $MBM$, $MMB$, chacun de probabilité ${\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{64}}$, donc $P(N=1)=3\times {\displaystyle \frac{9}{64}}={\displaystyle \frac{27}{64}}$. De même, $\{N=2\}$ est réalisé par $BBM$, $BMB$, $MBB$, chacun de probabilité ${\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3}{64}}$ : $P(N=2)={\displaystyle \frac{9}{64}}$. Enfin $P(N=0)={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^3={\displaystyle \frac{27}{64}}$ et $P(N=3)={\displaystyle \frac{1}{64}}$ ; contrôle : ${\displaystyle \frac{27+27+9+1}{64}}=1$.
2. $E(N)=$
   $E(N)=0+1\times {\displaystyle \frac{27}{64}}+2\times {\displaystyle \frac{9}{64}}+3\times {\displaystyle \frac{1}{64}}={\displaystyle \frac{27+18+3}{64}}={\displaystyle \frac{48}{64}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$.
3. On écrit $S=aN+b$. Alors $a=$
   Le candidat a $N$ bonnes réponses et $3-N$ mauvaises : $S=2N-(3-N)=3N-3$. Donc $a=3$ et $b=-3$.
4. $E(S)=$
   Par linéarité, $E(S)=3E(N)-3={\displaystyle \frac{9}{4}}-3=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ : répondre au hasard fait perdre en moyenne $0,75$ point.
5. $\sigma (S)=$
   $E(N^2)={\displaystyle \frac{27}{64}}+4\times {\displaystyle \frac{9}{64}}+9\times {\displaystyle \frac{1}{64}}={\displaystyle \frac{72}{64}}={\displaystyle \frac{9}{8}}$, donc $V(N)={\displaystyle \frac{9}{8}}-{\displaystyle \frac{9}{16}}={\displaystyle \frac{9}{16}}$. Puis $V(S)=3^2\times {\displaystyle \frac{9}{16}}={\displaystyle \frac{81}{16}}$ et $\sigma (S)=\sqrt{{\displaystyle \frac{81}{16}}}={\displaystyle \frac{9}{4}}=2,25$ points.

Un ticket de grattage coûte $3$ €. Il rapporte $30$ € avec la probabilité $0,02$, $10$ € avec la probabilité $0,1$, $3$ € avec la probabilité $0,2$, et rien sinon. $Y$ est le gain brut et $G=Y-3$ le gain net, en euros.

1. $E(Y)=$
   $E(Y)=30\times 0,02+10\times 0,1+3\times 0,2=0,6+1+0,6=2,2$ €.
2. $E(G)=$
   $E(G)=E(Y)-3=2,2-3=-0,8$ € : le jeu est défavorable au joueur, qui perd en moyenne $0,80$ € par ticket.
3. Sur $1000$ tickets vendus, l’organisateur peut espérer gagner environ €
   Ce que les joueurs perdent en moyenne, l’organisateur le gagne : $-1000\times E(G)=1000\times 0,8=800$ €.
4. Prix du ticket qui rendrait le jeu équitable : €
   Le jeu est équitable si $E(G)=E(Y)-m=0$, donc pour une mise $m=E(Y)=2,20$ €.

Une boîte contient $5$ jetons : $2$ jetons marqués « $+4$ » et $3$ jetons marqués « $-1$ ». On tire successivement et sans remise deux jetons ; $G$ est la somme des deux nombres tirés, qui représente un gain en euros. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Montrer que $P(G=8)={\displaystyle \frac{1}{10}}$, puis donner $P(G=-2)=$
   Rédaction attendue. $G=8$ seulement si les deux jetons tirés sont des « $+4$ ». Au premier tirage, la probabilité d’un « $+4$ » est ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ ; il reste alors $4$ jetons dont un seul « $+4$ », donc la probabilité d’un second « $+4$ » est ${\displaystyle \frac{1}{4}}$. Ainsi $P(G=8)={\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{20}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$. De même, $G=-2$ si les deux jetons sont des « $-1$ » : $P(G=-2)={\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{6}{20}}={\displaystyle \frac{3}{10}}$.
2. $P(G=3)=$
   Les chemins « $+4$ puis $-1$ » (${\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3}{10}}$) et « $-1$ puis $+4$ » (${\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{3}{10}}$) donnent $G=4-1=3$ : $P(G=3)={\displaystyle \frac{6}{10}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{3+6+1}{10}}=1$.
3. $E(G)=$
   $E(G)=-2\times {\displaystyle \frac{3}{10}}+3\times {\displaystyle \frac{6}{10}}+8\times {\displaystyle \frac{1}{10}}={\displaystyle \frac{-6+18+8}{10}}={\displaystyle \frac{20}{10}}=2$ €. Le jeu gratuit est favorable au joueur.
4. Le joueur doit maintenant payer une mise de $m$ euros. Le jeu est équitable pour $m=$
   Le gain net est $G-m$ et $E(G-m)=E(G)-m=2-m$. Le jeu est équitable lorsque $2-m=0$, soit $m=2$ €.

Une urne contient $2$ boules rouges, $3$ boules vertes et $5$ boules blanches. Le joueur mise $1,5$ € et tire une boule au hasard : une boule rouge rapporte $g$ euros, une verte rapporte $2$ €, une blanche ne rapporte rien. $Y$ est le gain brut.

1. $E(Y)=0,2g+c$ avec $c=$
   $P(\text{rouge})={\displaystyle \frac{2}{10}}=0,2$, $P(\text{verte})=0,3$ et $P(\text{blanche})=0,5$. Donc $E(Y)=0,2g+2\times 0,3+0=0,2g+0,6$.
2. Déterminer la valeur de $g$ qui rend le jeu équitable : $g=$
   Rédaction attendue. Le gain net est $G=Y-1,5$, donc $E(G)=E(Y)-1,5=0,2g+0,6-1,5=0,2g-0,9$. Le jeu est équitable si et seulement si $E(G)=0$, c’est-à-dire $0,2g=0,9$, soit $g=4,5$. Une boule rouge doit rapporter $4,50$ €.
3. Pour $g=10$, $E(G)=$
   $E(G)=0,2\times 10-0,9=2-0,9=1,1$ € $>0$ : le jeu devient favorable au joueur.

Un sac contient $8$ jetons, dont $n$ dorés et $8-n$ argentés ($n$ entier, $0⩽n⩽8$). Le joueur mise $1,5$ €, puis tire deux jetons avec remise (les deux tirages sont indépendants). Il reçoit $4$ € si les deux jetons sont de couleurs différentes, rien sinon. $G$ est son gain net. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Pour $n=3$, la probabilité que les deux jetons soient de couleurs différentes est
   Deux chemins : « doré puis argenté » (${\displaystyle \frac{3}{8}}\times {\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{15}{64}}$) et « argenté puis doré » (${\displaystyle \frac{15}{64}}$) : ${\displaystyle \frac{30}{64}}={\displaystyle \frac{15}{32}}$.
2. Démontrer que $E(G)={\displaystyle \frac{-n^2+8n-12}{8}}$. Contrôle : pour $n=4$, $E(G)=$
   Rédaction attendue. La probabilité de tirer deux jetons de couleurs différentes est ${\displaystyle \frac{n}{8}}\times {\displaystyle \frac{8-n}{8}}+{\displaystyle \frac{8-n}{8}}\times {\displaystyle \frac{n}{8}}={\displaystyle \frac{2n(8-n)}{64}}={\displaystyle \frac{n(8-n)}{32}}$. Le gain brut $Y$ vaut $4$ avec cette probabilité et $0$ sinon, donc $E(Y)=4\times {\displaystyle \frac{n(8-n)}{32}}={\displaystyle \frac{n(8-n)}{8}}$. Le gain net est $G=Y-1,5$, donc $E(G)={\displaystyle \frac{8n-n^2}{8}}-{\displaystyle \frac{12}{8}}={\displaystyle \frac{-n^2+8n-12}{8}}$. Pour $n=4$ : $E(G)={\displaystyle \frac{-16+32-12}{8}}={\displaystyle \frac{4}{8}}=0,5$ €.
3. La plus petite valeur de $n$ qui rend le jeu équitable est
   $E(G)=0⟺n^2-8n+12=0$. Discriminant : $64-48=16$, racines ${\displaystyle \frac{8-4}{2}}=2$ et ${\displaystyle \frac{8+4}{2}}=6$. La plus petite est $n=2$.
4. Nombre de valeurs entières de $n$ pour lesquelles le jeu est favorable au joueur :
   $E(G)>0⟺-n^2+8n-12>0$. Ce trinôme de coefficient $-1<0$ est positif strictement entre ses racines $2$ et $6$ : $n\in \{3;4;5\}$, soit $3$ valeurs. Pour $n=2$ ou $n=6$ le jeu est équitable ; sinon il est défavorable.