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120 minutes pour 6 exercices notés sur 20.

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Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Variables aléatoires réelles » du programme officiel de spécialité mathématiques en première.

Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Variables aléatoires réelles

Loi de probabilité, événements {X = a} et {X ≤ a}, espérance, variance et écart type, formule de König-Huygens, transformation aX + b et jeu équitable.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de deux heures sur 20 points, sans calculatrice, avec corrigé détaillé : six automatismes, loi avec une probabilité inconnue, tirages sans remise, tombola et prix équitable du billet, résultat d’un covoiturage R = 9N − 14, loi dépendant d’un paramètre a.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

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Devoir surveillé – Variables aléatoires réelles

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Automatismes ★★

(3 pts)

Sans justification : donner directement le résultat.

a) $X$ prend les valeurs $1$ , $2$ , $3$ avec $P (X = 1) = 0, 2$ et $P (X = 2) = 0, 5$ . Donner $P (X = 3)$ .
b) $X$ est le nombre de buts marqués par une équipe. Écrire avec $X$ l’événement « l’équipe marque plus de $4$ buts ».
c) $E (X) = 10$ . Calculer $E (2 X - 3)$ .
d) $X$ prend les valeurs $- 1$ et $1$ , avec $P (X = 1) = 0, 75$ . Calculer $E (X)$ .
e) $E (X) = 1$ et $E (X^{2}) = 5$ . Calculer $V (X)$ .
f)La mise d’un jeu est $4$ € et le gain brut moyen $3, 70$ €. Donner l’espérance du gain net.

Exercice 2 – Loi de probabilité et paramètres ★★

(2 pts)

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $- 4$ , $1$ , $3$ et $6$ avec $P (X = - 4) = 0, 2$ , $P (X = 1) = 0, 35$ , $P (X = 3) = q$ et $P (X = 6) = 0, 15$ . On donne $\sqrt{3 931} \approx 62, 698$ .

a)Déterminer $q$ .
b)Calculer $P (X ⩾ 1)$ .
c)Calculer $E (X)$ .
d)Calculer $V (X)$ , puis $σ (X)$ arrondi au centième.

Exercice 3 – Tirages sans remise ★★

(3 pts)

Un sac contient $4$ billes bleues et $3$ billes rouges. On tire successivement et sans remise deux billes ; $B$ est le nombre de billes bleues obtenues.

a)Montrer que $P (B = 2) = \frac{2}{7}$ .
b)Déterminer la loi de probabilité de $B$ .
c)Calculer $E (B)$ et $V (B)$ (valeurs exactes).

Exercice 4 – Tombola et équité ★★

(4 pts)

Une association vend $200$ billets de tombola à $2, 50$ € pièce. Les lots sont : un lot de $150$ €, quatre lots de $25$ € et quinze lots de $5$ €. Un joueur achète un billet ; $G$ est son gain net (lot reçu moins prix du billet).

a)Déterminer la loi de $G$ .
b)Calculer $E (G)$ et interpréter.
c)En déduire le bénéfice de l’association sur cette tombola.
d)À quel prix faudrait-il vendre le billet pour que la tombola soit un jeu équitable ?

Exercice 5 – Covoiturage : transformation affine ★★★

(4 pts)

Sur un trajet de covoiturage, le nombre $N$ de passagers a pour loi : $P (N = 0) = 0, 1$ , $P (N = 1) = 0, 3$ , $P (N = 2) = 0, 4$ , $P (N = 3) = 0, 2$ . Le conducteur reçoit $9$ € par passager et paie $14$ € de péage ; son résultat est $R = 9 N - 14$ , en euros. On admet que, pour tous réels $a$ et $b$ , $V (a N + b) = a^{2} V (N)$ et $σ (a N + b) = | a | σ (N)$ .

a)Calculer $E (N)$ .
b)Calculer $V (N)$ et $σ (N)$ .
c)Calculer $E (R)$ et $σ (R)$ .
d)Un élève écrit : « $V (R) = 9 \times 0, 81 - 14 = - 6, 71$ ». Expliquer ses deux erreurs et donner $V (R)$ .

Exercice 6 – Loi dépendant d’un paramètre ★★★

(4 pts)

Soit $a > 0$ . Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$ , $a$ et $2 a$ avec les probabilités $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{6}$ .

a)Exprimer $E (X)$ en fonction de $a$ .
b)Montrer que $V (X) = \frac{5 a^{2}}{9}$ .
c)Déterminer la valeur exacte de $a$ pour laquelle $σ (X) = 2$ .
d)On pose $Y = X - E (X)$ . Déterminer $E (Y)$ et $V (Y)$ .

Bon courage !

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Corrigé et barème – Variables aléatoires réelles

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Exercice 1 – Automatismes ★★

(3 pts)

a) $P (X = 3) = 1 - 0, 2 - 0, 5 = 0, 3$ . (0,5)
b) ${X > 4}$ . (0,5)
c) $E (2 X - 3) = 2 \times 10 - 3 = 17$ . (0,5)
d) $P (X = - 1) = 1 - 0, 75 = 0, 25$ , donc $E (X) = - 1 \times 0, 25 + 1 \times 0, 75 = 0, 5$ . (0,5)
e) $V (X) = 5 - 1^{2} = 4$ . (0,5)
f) $3, 70 - 4 = - 0, 30$ € : le jeu est défavorable. (0,5)

Repère — Somme égale à 1, traduction en symboles, linéarité, König-Huygens, mise retranchée : des réflexes sans calcul long.

Exercice 2 – Loi de probabilité et paramètres ★★

(2 pts)

a)La somme des probabilités d’une loi vaut $1$ : $0, 2 + 0, 35 + q + 0, 15 = 1$ , donc $q = 1 - 0, 2 - 0, 35 - 0, 15 = 0, 3$ . (0,5)
b) ${X ⩾ 1}$ est réalisé pour les valeurs $1$ , $3$ et $6$ : $P (X ⩾ 1) = 0, 35 + 0, 3 + 0, 15 = 0, 8$ (ou $1 - P (X = - 4) = 1 - 0, 2$ ). (0,5)
c) $E (X) = - 4 \times 0, 2 + 1 \times 0, 35 + 3 \times 0, 3 + 6 \times 0, 15 = - 0, 8 + 0, 35 + 0, 9 + 0, 9 = 1, 35$ . (0,5)
d) $E (X^{2}) = 16 \times 0, 2 + 1 \times 0, 35 + 9 \times 0, 3 + 36 \times 0, 15 = 3, 2 + 0, 35 + 2, 7 + 5, 4 = 11, 65$ . Par la formule de König-Huygens, $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = 11, 65 - 1, 35^{2} = 11, 65 - 1, 8225 = 9, 8275$ . Donc $σ (X) = \sqrt{9, 8275} = \sqrt{\frac{3 931}{400}} = \frac{\sqrt{3 931}}{20} \approx \frac{62, 698}{20} \approx 3, 13$ . (0,5)

Repère — La probabilité manquante se trouve avec « somme = 1 » ; la variance, avec le tableau des carrés et König-Huygens.

Exercice 3 – Tirages sans remise ★★

(3 pts)

a)Au premier tirage, la probabilité d’une bille bleue est $\frac{4}{7}$ . Il reste alors $6$ billes dont $3$ bleues : la probabilité d’une seconde bille bleue est $\frac{3}{6}$ . Donc $P (B = 2) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$ . (1)
b)Deux billes rouges : $P (B = 0) = \frac{3}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$ . Les chemins « bleue puis rouge » et « rouge puis bleue » donnent $B = 1$ : $P (B = 1) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} + \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{24}{42} = \frac{4}{7}$ . Contrôle : $\frac{1 + 4 + 2}{7} = 1$ .
$b_{i}$ $0$ $1$ $2$
$P (B = b_{i})$ $\frac{1}{7}$ $\frac{4}{7}$ $\frac{2}{7}$
(1)
c) $E (B) = 0 \times \frac{1}{7} + 1 \times \frac{4}{7} + 2 \times \frac{2}{7} = \frac{8}{7}$ : en moyenne, environ $1, 14$ bille bleue. $E (B^{2}) = \frac{4}{7} + 4 \times \frac{2}{7} = \frac{12}{7}$ , donc, par König-Huygens, $V (B) = \frac{12}{7} - {(\frac{8}{7})}^{2} = \frac{84}{49} - \frac{64}{49} = \frac{20}{49}$ . (1)

$b_{i}$	$0$	$1$	$2$
$P (B = b_{i})$	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$

Repère — Sans remise, les probabilités du second tirage changent : on lit chaque chemin sur l’arbre, puis on regroupe.

Exercice 4 – Tombola et équité ★★

(4 pts)

a) $G$ prend les valeurs $150 - 2, 5 = 147, 5$ (probabilité $\frac{1}{200} = 0, 005$ ), $25 - 2, 5 = 22, 5$ ( $\frac{4}{200} = 0, 02$ ), $5 - 2, 5 = 2, 5$ ( $\frac{15}{200} = 0, 075$ ) et $- 2, 5$ pour les $180$ billets perdants ( $\frac{180}{200} = 0, 9$ ). Contrôle : $0, 005 + 0, 02 + 0, 075 + 0, 9 = 1$ . (1)
b) $E (G) = 147, 5 \times 0, 005 + 22, 5 \times 0, 02 + 2, 5 \times 0, 075 - 2, 5 \times 0, 9 = 0, 7375 + 0, 45 + 0, 1875 - 2, 25 = - 0, 875$ €. Sur un grand nombre de billets, un joueur perd en moyenne $0, 875$ € par billet : le jeu lui est défavorable. (1)
c)Recette : $200 \times 2, 5 = 500$ € ; lots : $150 + 4 \times 25 + 15 \times 5 = 325$ €. Bénéfice : $500 - 325 = 175$ €, ce qui vaut bien $- 200 \times E (G) = 200 \times 0, 875$ . (1)
d)Le gain brut moyen est $\frac{325}{200} = 1, 625$ €. Le gain net moyen $1, 625 - m$ est nul pour $m = 1, 625$ € : le billet devrait coûter environ $1, 63$ €. (1)

Repère — Ce que les joueurs perdent en moyenne, l’organisateur le gagne : −N × E(G).

Exercice 5 – Covoiturage : transformation affine ★★★

(4 pts)

a) $E (N) = 0 \times 0, 1 + 1 \times 0, 3 + 2 \times 0, 4 + 3 \times 0, 2 = 0, 3 + 0, 8 + 0, 6 = 1, 7$ passager en moyenne. (1)
b) $E (N^{2}) = 0, 3 + 4 \times 0, 4 + 9 \times 0, 2 = 0, 3 + 1, 6 + 1, 8 = 3, 7$ . Par König-Huygens, $V (N) = 3, 7 - 1, 7^{2} = 3, 7 - 2, 89 = 0, 81$ , et $σ (N) = \sqrt{0, 81} = 0, 9$ . (1)
c) $R = 9 N - 14$ est de la forme $a N + b$ avec $a = 9$ et $b = - 14$ . Par linéarité, $E (R) = 9 \times 1, 7 - 14 = 15, 3 - 14 = 1, 3$ €. D’après la propriété admise dans l’énoncé, $σ (R) = | 9 | \times σ (N) = 9 \times 0, 9 = 8, 1$ €. (1)
d)Première erreur : le coefficient $9$ doit être élevé au carré. Seconde erreur : la constante $- 14$ ne modifie pas la variance. D’après la propriété admise, $V (R) = 9^{2} \times 0, 81 = 81 \times 0, 81 = 65, 61$ . Une variance négative est d’ailleurs impossible, ce qui aurait dû alerter l’élève. (1)

Repère — Avec la propriété admise : le coefficient au carré dans la variance, la constante disparaît.

Exercice 6 – Loi dépendant d’un paramètre ★★★

(4 pts)

a) $E (X) = 0 \times \frac{1}{2} + a \times \frac{1}{3} + 2 a \times \frac{1}{6} = \frac{a}{3} + \frac{a}{3} = \frac{2 a}{3}$ . (1)
b) $E (X^{2}) = a^{2} \times \frac{1}{3} + 4 a^{2} \times \frac{1}{6} = \frac{a^{2}}{3} + \frac{2 a^{2}}{3} = a^{2}$ . Par la formule de König-Huygens, $V (X) = a^{2} - {(\frac{2 a}{3})}^{2} = a^{2} - \frac{4 a^{2}}{9} = \frac{5 a^{2}}{9}$ . (1)
c)Comme $a > 0$ , $σ (X) = \sqrt{\frac{5 a^{2}}{9}} = \frac{a \sqrt{5}}{3}$ . L’équation $\frac{a \sqrt{5}}{3} = 2$ donne $a = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$ . (1)
d) $Y = X - \frac{2 a}{3}$ est de la forme $X + b$ avec $b = - \frac{2 a}{3}$ . Par linéarité, $E (Y) = E (X) - \frac{2 a}{3} = 0$ . Les valeurs de $Y$ sont les écarts $x_{i} - E (X)$ , avec les mêmes probabilités, donc $V (Y) = \sum p_{i} (y_{i} - 0)^{2} = \sum p_{i} (x_{i} - E (X))^{2} = V (X) = \frac{5 a^{2}}{9}$ (soit $4$ pour la valeur de $a$ trouvée). (1)

Repère — La variable centrée X − E(X) a une espérance nulle et la même variance que X.

Pour aller plus loin : le devoir surveillé bilan « Probabilités conditionnelles, indépendance et variables aléatoires » mélange ce chapitre avec d'autres, en 3 niveaux : niveau ★ · niveau ★★ · niveau ★★★.

Ce contrôle de spécialité mathématiques 1ʳᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Variables aléatoires réelles » : 6 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Automatismes ★★/ 3 pts
Exercice 2 — Loi de probabilité et paramètres ★★/ 2 pts
Exercice 3 — Tirages sans remise ★★/ 3 pts
Exercice 4 — Tombola et équité ★★/ 4 pts
Exercice 5 — Covoiturage : transformation affine ★★★/ 4 pts
Exercice 6 — Loi dépendant d’un paramètre ★★★/ 4 pts

Notions évaluées

Variable aléatoire, loi de probabilité, événements {X = a} et {X ≤ a}, espérance, interprétation de l’espérance, variance, écart type, formule de König-Huygens, transformation aX + b, linéarité de l’espérance, gain net, jeu équitable, paramètre inconnu.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Variables aléatoires réelles » ?: 120 minutes pour 6 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Variables aléatoires réelles » du programme officiel de spécialité mathématiques en première, soit : variable aléatoire réelle sur un univers fini ; loi de probabilité ; notations {X = a}, {X ≤ a}, P(X = a), P(X ≤ a) ; espérance, variance, écart type ; linéarité de l’espérance ; formule de König-Huygens ; espérance et jeu équitable ; algorithme qui calcule une espérance ou une variance.

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