06 29 33 79 32 Je réserve ici

Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Variables aléatoires discrètes

Loi de probabilité, espérance et variance d'une variable aléatoire (programme Spé Maths 1ère)

À propos de cette page
Ce devoir surveillé sur « Variables aléatoires discrètes » en première permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de première et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Variable aléatoire discrète : définition et valeurs, Loi de probabilité d'une variable aléatoire, Représentation de la loi et lecture d'un tableau, Espérance d'une variable aléatoire. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première en spécialité mathématiques.
Devoir surveillé · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Devoir surveillé · Spécialité Mathématiques
Variables aléatoires discrètes
Classe de 1ʳᵉ
Durée : 60 min
Barème : / 20 points
Nom : ……………………………………………
Prénom : ……………………………………………

Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Loi de probabilité et vérification

/ 4 pts

On considère la variable aléatoire $X$ dont la loi est :

$X$$-1$$0$$2$$5$
$P(X=x)$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{3}$$a$$\frac{1}{6}$

a) Déterminer la valeur de $a$.

  1. Calculer $P(X \ge 0)$.
  2. Calculer $P(-1 \lt X \le 2)$.
  3. La valeur $-1$ est-elle la plus probable ? Justifier.

Exercice 2 — Calcul d'espérance et de variance

/ 5 pts

La variable $Y$ suit la loi :

$Y$$-3$$1$$4$
$P(Y=y)$$\frac{2}{5}$$\frac{2}{5}$$\frac{1}{5}$

a) Calculer $E(Y)$.

  1. Calculer $E(Y^2)$ puis $V(Y)$.
  2. Calculer l'écart-type $\sigma(Y)$ (valeur exacte).
  3. Soit $Z = 2Y - 1$. Calculer $E(Z)$, $V(Z)$ et $\sigma(Z)$.

Exercice 3 — Modélisation d'un jeu de hasard

/ 5 pts

Un jeu coûte 2€ pour jouer. On lance deux pièces équilibrées. On note $X$ le nombre de « pile » obtenus. Le gain brut est $X^2$ euros (0, 1 ou 4€).

  1. Construire la loi de $X$.
  2. Calculer le gain net $G = X^2 - 2$ et donner sa loi.
  3. Calculer $E(G)$. Le jeu est-il favorable au joueur ?
  4. Calculer $V(G)$ et $\sigma(G)$.

Exercice 4 — Étude d'un tirage sans remise

/ 6 pts

Une urne contient 5 jetons : 3 numérotés 1 et 2 numérotés 3. On tire successivement et sans remise 2 jetons. Soit $S$ la somme des deux numéros tirés.

  1. Lister toutes les paires de numéros possibles et calculer $P(S=2)$.
  2. Calculer $P(S=4)$ et $P(S=6)$.
  3. Vérifier que $P(S=2)+P(S=4)+P(S=6)=1$.
  4. Calculer $E(S)$ et interpréter.
  5. Calculer $V(S)$ en utilisant la formule de König-Huygens.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie

Exercice 1 — Loi de probabilité et vérification
Corrigé :
a) La somme vaut 1 : $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+a+\frac{1}{6}=1 \Rightarrow a=1-\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=1-\frac{4}{6}=\frac{1}{3}$. Donc $a=\frac{1}{3}$.
b) $P(X\ge 0)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=5)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2+2+1}{6}=\frac{5}{6}$.
c) $P(-1\lt X\le 2)=P(X=0)+P(X=2)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
d) Non. $P(X=-1)=\frac{1}{6}\lt P(X=0)=P(X=2)=\frac{1}{3}$ : la valeur −1 n'est pas la plus probable.

Exercice 2 — Calcul d'espérance et de variance
Corrigé :
a) $E(Y)=(-3)\cdot\frac{2}{5}+1\cdot\frac{2}{5}+4\cdot\frac{1}{5}=\frac{-6+2+4}{5}=\frac{0}{5}=0$.
b) $E(Y^2)=9\cdot\frac{2}{5}+1\cdot\frac{2}{5}+16\cdot\frac{1}{5}=\frac{18+2+16}{5}=\frac{36}{5}$. $V(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2=\frac{36}{5}-0=\frac{36}{5}$.
c) $\sigma(Y)=\sqrt{\frac{36}{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$.
d) $E(Z)=2E(Y)-1=2\times 0-1=-1$. $V(Z)=4V(Y)=4\times\frac{36}{5}=\frac{144}{5}$. $\sigma(Z)=2\sigma(Y)=\frac{12}{\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$.

Exercice 3 — Modélisation d'un jeu de hasard
Corrigé :
a) Les issues sont (P,P),(P,F),(F,P),(F,F) équiprobables. $X=2$ avec $p=\frac{1}{4}$, $X=1$ avec $p=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, $X=0$ avec $p=\frac{1}{4}$.
b) Gain net $G=X^2-2$ : si $X=2$, $G=4-2=2$ ; si $X=1$, $G=1-2=-1$ ; si $X=0$, $G=0-2=-2$.
Loi de $G$ : $P(G=2)=\frac{1}{4}$, $P(G=-1)=\frac{1}{2}$, $P(G=-2)=\frac{1}{4}$.
c) $E(G)=2\times\frac{1}{4}+(-1)\times\frac{1}{2}+(-2)\times\frac{1}{4}=\frac{2-2-2}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$. L'espérance est négative : le jeu est défavorable au joueur.
d) $E(G^2)=4\cdot\frac{1}{4}+1\cdot\frac{1}{2}+4\cdot\frac{1}{4}=1+\frac{1}{2}+1=\frac{5}{2}$. $V(G)=\frac{5}{2}-\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$. $\sigma(G)=\frac{3}{2}=1{,}5$.

Exercice 4 — Étude d'un tirage sans remise
Corrigé :
a) $\binom{5}{2}=10$ paires. $S=2$ : tirer deux jetons «1» : $\binom{3}{2}=3$ paires. $P(S=2)=\frac{3}{10}$.
b) $S=4$ : un «1» et un «3» : $3\times 2=6$ paires. $P(S=4)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. $S=6$ : deux «3» : $\binom{2}{2}=1$ paire. $P(S=6)=\frac{1}{10}$.
c) $\frac{3}{10}+\frac{6}{10}+\frac{1}{10}=\frac{10}{10}=1$ ✓.
d) $E(S)=2\cdot\frac{3}{10}+4\cdot\frac{6}{10}+6\cdot\frac{1}{10}=\frac{6+24+6}{10}=\frac{36}{10}=3{,}6$. En moyenne, la somme des deux jetons est 3,6.
e) $E(S^2)=4\cdot\frac{3}{10}+16\cdot\frac{6}{10}+36\cdot\frac{1}{10}=\frac{12+96+36}{10}=\frac{144}{10}=14{,}4$. $V(S)=14{,}4-(3{,}6)^2=14{,}4-12{,}96=1{,}44$. $\sigma(S)=\sqrt{1{,}44}=1{,}2$.

Ce contrôle de spécialité mathématiques 1ʳᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Variables aléatoires discrètes » : 4 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.

  • Exercice 1 — Loi de probabilité et vérification/ 4 pts
  • Exercice 2 — Calcul d'espérance et de variance/ 5 pts
  • Exercice 3 — Modélisation d'un jeu de hasard/ 5 pts
  • Exercice 4 — Étude d'un tirage sans remise/ 6 pts

Notions évaluées

Variable aléatoire discrète : définition et valeurs, Loi de probabilité d'une variable aléatoire, Représentation de la loi et lecture d'un tableau, Espérance d'une variable aléatoire, Variance et écart-type, Linéarité de l'espérance et propriétés.

Pour préparer ce contrôle

  1. Relire le cours.
  2. Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
  3. Se tester avec le QCM (37 questions).
  4. Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

Voir tous les contrôles de spécialité mathématiques 1ʳᵉ · tous les devoirs surveillés corrigés

Questions fréquentes sur ce sujet
Combien de temps dure ce contrôle sur « Variables aléatoires discrètes » ?
60 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?
Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?
Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Variables aléatoires discrètes » du programme officiel de spécialité mathématiques en première, soit Variable aléatoire discrète : définition et valeurs, Loi de probabilité d'une variable aléatoire, Représentation de la loi et lecture d'un tableau, Espérance d'une variable aléatoire.
Bloqué sur ce chapitre ?

Cours particuliers de spécialité mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.

Réserver un 1er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs