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Variables aléatoires réelles
Loi de probabilité, événements {X = a} et {X ≤ a}, espérance, variance et écart type, formule de König-Huygens, transformation aX + b et jeu équitable.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Une variable aléatoire définie sur un univers fini est…
- A. une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue
- B. un événement dont la probabilité n’est pas nulle
- C. la moyenne des résultats possibles de l’expérience
- D. un nombre tiré au hasard entre 0 et 1
Réponse
A. une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue — Par définition, une variable aléatoire X associe un réel (gain, nombre de succès, durée…) à chaque issue de l’univers.
Dans le tableau de la loi d’une variable aléatoire X, la somme des probabilités vaut…
- A. 0, car les probabilités se compensent
- B. 1, car les {X = xᵢ} partagent l’univers
- C. E(X), l’espérance de la variable
- D. n, le nombre de valeurs prises par X
Réponse
B. 1, car les {X = xᵢ} partagent l’univers — Les événements {X = xᵢ} sont incompatibles deux à deux et leur réunion est l’univers : la somme de leurs probabilités vaut 1.
L’espérance d’une variable aléatoire X de loi (xᵢ ; pᵢ) est…
- A. E(X) = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
- B. E(X) = p₁ + p₂ + … + pₙ
- C. E(X) = p₁x₁ + p₂x₂ + … + pₙxₙ
- D. E(X) = p₁x₁² + p₂x₂² + … + pₙxₙ²
Réponse
C. E(X) = p₁x₁ + p₂x₂ + … + pₙxₙ — L’espérance est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités : E(X) = Σ pᵢxᵢ. La formule avec les carrés xᵢ² est celle de E(X²).
L’écart type σ(X) d’une variable aléatoire est…
- A. le carré de la variance V(X)
- B. la variance divisée par le nombre de valeurs
- C. l’espérance de la variable X²
- D. la racine carrée de la variance V(X)
Réponse
D. la racine carrée de la variance V(X) — σ(X) = √V(X). L’écart type a l’avantage de s’exprimer dans la même unité que X.
Pour tous réels a et b, l’espérance de aX + b vaut…
- A. a²E(X) + b
- B. aE(X)
- C. E(X) + b
- D. aE(X) + b
Réponse
D. aE(X) + b — C’est la linéarité de l’espérance : E(aX + b) = aE(X) + b. Le coefficient a et la constante b passent tous deux dans l’espérance.
Approfondissement : pour tous réels a et b, la variance de aX + b vaut…
- A. aV(X) + b
- B. aV(X)
- C. a²V(X)
- D. a²V(X) + b
Réponse
C. a²V(X) — La constante b ne modifie pas la dispersion et le coefficient a intervient au carré : V(aX + b) = a²V(X).
La formule de König-Huygens s’écrit…
- A. V(X) = E(X)² − E(X²)
- B. V(X) = E(X²) − E(X)²
- C. V(X) = E(X²) + E(X)²
- D. V(X) = E(X) − E(X)²
Réponse
B. V(X) = E(X²) − E(X)² — V(X) = E(X²) − E(X)² : on calcule l’espérance des carrés, puis on retranche le carré de l’espérance.
Un jeu d’argent est dit équitable lorsque…
- A. l’espérance du gain net du joueur est nulle
- B. le gain maximal possible est égal à la mise
- C. toutes les issues du jeu sont équiprobables
- D. la variance du gain net du joueur est nulle
Réponse
A. l’espérance du gain net du joueur est nulle — Un jeu est équitable si E(gain net) = 0 : en moyenne, sur un grand nombre de parties, ni le joueur ni l’organisateur ne gagne d’argent.
X est le nombre de frères et sœurs d’un élève. « L’élève a au plus deux frères et sœurs » s’écrit…
- A. {X < 2}
- B. {X ≥ 2}
- C. {X = 2}
- D. {X ≤ 2}
Réponse
D. {X ≤ 2} — « Au plus deux » signifie 0, 1 ou 2 : c’est l’événement {X ≤ 2}, qui contient la valeur 2.
On sait que P(X ≤ 3) = 0,7. Alors P(X > 3) vaut…
- A. 0,7
- B. 0,3
- C. 0,4
- D. on ne peut pas le savoir
Réponse
B. 0,3 — {X > 3} est l’événement contraire de {X ≤ 3} : P(X > 3) = 1 − 0,7 = 0,3.
X prend les valeurs 0 et 4 avec la même probabilité 0,5. Son espérance vaut…
- A. 4
- B. 0
- C. 2
- D. 1
Réponse
C. 2 — E(X) = 0 × 0,5 + 4 × 0,5 = 2. Avec deux valeurs équiprobables, l’espérance est leur moyenne.
X est un gain exprimé en euros. Dans quelle unité s’exprime l’écart type σ(X) ?
- A. en euros au carré
- B. en euros
- C. sans unité
- D. en pourcentage
Réponse
B. en euros — La variance est en euros au carré ; sa racine carrée, l’écart type, revient à l’unité de X : des euros.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
X prend les valeurs 2, 5 et 11 avec les probabilités 0,6 ; 0,3 et 0,1. Que vaut E(X) ?
- A. 6
- B. 3,8
- C. 18
- D. 1,8
Réponse
B. 3,8 — E(X) = 2 × 0,6 + 5 × 0,3 + 11 × 0,1 = 1,2 + 1,5 + 1,1 = 3,8. Le choix 6 est la moyenne non pondérée des valeurs.
X prend les valeurs −2, 0 et 6 avec P(X = −2) = 0,3 et P(X = 0) = 0,45. Que vaut P(X = 6) ?
- A. 0,75
- B. 0,15
- C. 0,35
- D. 0,25
Réponse
D. 0,25 — La somme des probabilités vaut 1 : P(X = 6) = 1 − 0,3 − 0,45 = 0,25.
On sait que E(X) = 4 et E(X²) = 21. Que vaut V(X) ?
- A. 5
- B. 17
- C. 37
- D. −5
Réponse
A. 5 — König-Huygens : V(X) = E(X²) − E(X)² = 21 − 16 = 5. Retrancher E(X) au lieu de E(X)² donnerait 17.
Approfondissement : une variable X vérifie E(X) = 3,5 et V(X) = 2. On pose Y = 4X − 1. Que vaut V(Y) ?
- A. 8
- B. 7
- C. 32
- D. 31
Réponse
C. 32 — V(4X − 1) = 4² × V(X) = 16 × 2 = 32. La constante −1 n’intervient pas et le coefficient 4 est élevé au carré.
On lance un dé équilibré à quatre faces numérotées 2, 4, 6 et 8 ; X est le numéro obtenu. Que vaut V(X) ?
- A. 30
- B. 25
- C. 5
- D. 2,24
Réponse
C. 5 — E(X) = (2 + 4 + 6 + 8)/4 = 5 et E(X²) = (4 + 16 + 36 + 64)/4 = 30, donc V(X) = 30 − 5² = 5. Le choix 2,24 est l’écart type √5.
Un billet de loterie coûte 5 €. Il rapporte 40 € avec une probabilité de 1/20 et rien sinon. Espérance du gain net ?
- A. −3 €
- B. 2 €
- C. −5 €
- D. 35 €
Réponse
A. −3 € — Gain brut moyen : 40 × 1/20 = 2 €. Gain net moyen : 2 − 5 = −3 €. Le jeu est défavorable au joueur.
Approfondissement : une variable X a pour écart type σ(X) = 3. On pose Y = −2X + 7. Que vaut σ(Y) ?
- A. −6
- B. 36
- C. 13
- D. 6
Réponse
D. 6 — σ(aX + b) = |a| σ(X) = |−2| × 3 = 6. Un écart type est toujours positif ; 36 est V(Y) = 4 × 9.
X prend les valeurs 0, 10 et 20 avec les probabilités 0,5 ; 0,3 et 0,2. Que vaut P(X ≤ 10) ?
- A. 0,3
- B. 0,8
- C. 0,5
- D. 0,2
Réponse
B. 0,8 — {X ≤ 10} regroupe les valeurs 0 et 10 : P(X ≤ 10) = 0,5 + 0,3 = 0,8 (ou 1 − P(X = 20) = 1 − 0,2).
X prend les valeurs 1 et 3, chacune avec la probabilité 0,5. Que vaut V(X) ?
- A. 1
- B. 2
- C. 4
- D. 0,5
Réponse
A. 1 — E(X) = 2 et E(X²) = (1 + 9)/2 = 5, donc V(X) = 5 − 2² = 1. Chaque valeur est à distance 1 de l’espérance.
On sait que E(X) = 2. On pose Y = 5 − 3X. Que vaut E(Y) ?
- A. 11
- B. −6
- C. −1
- D. 1
Réponse
C. −1 — Y = −3X + 5 : par linéarité, E(Y) = −3 × 2 + 5 = −1.
Pour une mise de 4 €, le gain brut moyen d’un jeu est 3,40 €. L’espérance du gain net est…
- A. 0,60 €
- B. −0,60 €
- C. 3,40 €
- D. −7,40 €
Réponse
B. −0,60 € — E(gain net) = E(gain brut) − mise = 3,40 − 4 = −0,60 € : le jeu est défavorable au joueur.
X ne prend que des valeurs entières, P(X ≤ 2) = 0,6 et P(X ≤ 1) = 0,45. Que vaut P(X = 2) ?
- A. 0,6
- B. 0,45
- C. 0,27
- D. 0,15
Réponse
D. 0,15 — {X ≤ 2} est la réunion de {X ≤ 1} et de {X = 2}, incompatibles : P(X = 2) = 0,6 − 0,45 = 0,15.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Pour toute variable aléatoire X, quelle affirmation est toujours vraie ?
- A. E(X) est l’une des valeurs prises par X
- B. V(X) est positive ou nulle
- C. σ(X) est inférieur ou égal à E(X)
- D. E(X²) est égal à E(X)²
Réponse
B. V(X) est positive ou nulle — V(X) est une somme de termes pᵢ(xᵢ − E(X))² ≥ 0. Les trois autres affirmations sont fausses en général (E(X) = 1/6 pour un gain valant −2, 1 ou 5, par exemple).
Si V(X) = 0, alors nécessairement…
- A. X ne prend qu’une valeur, avec probabilité 1
- B. E(X) = 0
- C. X prend deux valeurs équiprobables
- D. la loi de X ne peut pas être connue
Réponse
A. X ne prend qu’une valeur, avec probabilité 1 — V(X) = 0 impose que chaque terme pᵢ(xᵢ − E(X))² soit nul, donc que toutes les valeurs soient égales à E(X) : X est constante.
X est une variable aléatoire et Y = 3 − X. Laquelle de ces égalités est vraie ?
- A. V(Y) = −V(X)
- B. V(Y) = 3 − V(X)
- C. V(Y) = V(X)
- D. V(Y) = 9V(X)
Réponse
C. V(Y) = V(X) — Y − E(Y) = (3 − X) − (3 − E(X)) = −(X − E(X)) : les écarts à la moyenne sont opposés, leurs carrés sont égaux, donc V(Y) = V(X). La constante 3 n’a aucun effet sur la variance.
Un élève trouve E(X) = 4,2 pour une variable X à valeurs dans {1 ; 2 ; 3 ; 4}. Que peut-on dire ?
- A. C’est possible si P(X = 4) est assez grande
- B. C’est possible si les probabilités sont inégales
- C. C’est impossible car E(X) doit être un entier
- D. C’est impossible car E(X) est entre 1 et 4
Réponse
D. C’est impossible car E(X) est entre 1 et 4 — L’espérance est une moyenne pondérée des valeurs : elle est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur. 4,2 > 4 est impossible.
Sur 1 000 répétitions, la moyenne des valeurs observées de X est 2,48 alors que E(X) = 2,5. Quelle interprétation est correcte ?
- A. Le modèle est faux, car 2,48 diffère de 2,5
- B. Sur 1 000 autres répétitions, on aura encore 2,48
- C. La variance de X vaut 2,5 − 2,48 = 0,02
- D. Sur un grand nombre de répétitions, la moyenne est proche de E(X)
Réponse
D. Sur un grand nombre de répétitions, la moyenne est proche de E(X) — E(X) est la valeur dont se rapprochent les moyennes observées sur un grand nombre de répétitions ; un écart de 0,02 sur 1 000 répétitions est normal et n’invalide pas le modèle.
Un jeu a une espérance de gain net de −0,20 € par partie pour le joueur. Sur 5 000 parties, l’organisateur peut s’attendre à…
- A. une perte d’environ 1 000 €
- B. un gain garanti de 0,20 € par partie
- C. un gain d’environ 1 000 €
- D. un gain d’exactement 1 000 €
Réponse
C. un gain d’environ 1 000 € — Ce que perd le joueur, l’organisateur le gagne : 5 000 × 0,20 = 1 000 € en moyenne. Le mot « environ » est indispensable : c’est une espérance, pas une certitude.
Si E(X) = 0, que peut-on dire de V(X) ?
- A. V(X) = E(X²)
- B. V(X) = 0
- C. V(X) = −E(X²)
- D. rien sans connaître la loi
Réponse
A. V(X) = E(X²) — König-Huygens : V(X) = E(X²) − E(X)² = E(X²) − 0 = E(X²). Une espérance nulle n’implique pas une variance nulle (−1 et 1 équiprobables : V = 1).
Une variable X ne prend que des valeurs strictement positives. Laquelle de ces propriétés est nécessairement vraie ?
- A. V(X) > 0
- B. E(X) > 0
- C. σ(X) < E(X)
- D. E(X²) < E(X)
Réponse
B. E(X) > 0 — E(X) est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur, donc E(X) > 0. V(X) peut être nulle (X constante), σ(X) peut dépasser E(X), et E(X²) dépasse E(X) dès que les valeurs sont supérieures à 1.
Approfondissement : on sait que σ(X) = 4. Pour quelles valeurs du réel a a-t-on σ(aX) = 12 ?
- A. a = 3 seulement
- B. a = 9 ou a = −9
- C. a = 3 ou a = −3
- D. a = 144 seulement
Réponse
C. a = 3 ou a = −3 — σ(aX) = |a| σ(X) = 4|a|. L’égalité 4|a| = 12 donne |a| = 3, soit a = 3 ou a = −3.
On sait que E(X) = 3 et V(X) = 2. Que vaut E(X²) ?
- A. 7
- B. 11
- C. 13
- D. 5
Réponse
B. 11 — König-Huygens : E(X²) = V(X) + E(X)² = 2 + 9 = 11.
Le gain brut d’un jeu a pour espérance 2,50 €. Le jeu est favorable au joueur exactement quand la mise m vérifie…
- A. m > 2,50 €
- B. m = 2,50 €
- C. m < 0 €
- D. m < 2,50 €
Réponse
D. m < 2,50 € — E(gain net) = 2,50 − m est strictement positive si et seulement si m < 2,50 €. Pour m = 2,50 € le jeu est équitable.
X et Y ont la même espérance 10, avec σ(X) = 1 et σ(Y) = 5. Quelle affirmation est vraie ?
- A. les valeurs de Y s’écartent davantage de 10
- B. Y prend des valeurs plus grandes que X
- C. E(Y) est strictement plus grande que E(X)
- D. V(Y) est égale à 5 fois V(X)
Réponse
A. les valeurs de Y s’écartent davantage de 10 — L’écart type mesure la dispersion autour de l’espérance : les valeurs de Y s’écartent davantage de 10. V(Y) = 25 = 25 V(X), pas 5 V(X).
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