Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Variables aléatoires discrètes
Loi de probabilité, espérance et variance d'une variable aléatoire (programme Spé Maths 1ère)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Une variable aléatoire discrète est…
- A. une constante
- B. une fonction de l'univers vers $\mathbb{R}$
- C. un événement
- D. une probabilité
Réponse
B. une fonction de l'univers vers $\mathbb{R}$ — C'est bien une fonction $X:\Omega\to\mathbb{R}$.
Pour que $p_1=0{,}3$, $p_2=0{,}5$, $p_3=p$ forment une loi de probabilité, $p$ vaut…
- A. 0
- B. 0,1
- C. 0,2
- D. 0,3
Réponse
C. 0,2 — $0{,}3+0{,}5+p=1$ donc $p=0{,}2$.
L'espérance $E(X)$ est…
- A. toujours un entier
- B. la valeur la plus probable
- C. la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités
- D. toujours positive
Réponse
C. la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités — $E(X)=\sum x_i p_i$, moyenne pondérée.
Si $X$ prend les valeurs 0 et 1 avec probabilités $\frac{1}{3}$ et $\frac{2}{3}$, alors $E(X)=$
- A. $\frac{1}{3}$
- B. $\frac{2}{3}$
- C. $\frac{1}{2}$
- D. $1$
Réponse
B. $\frac{2}{3}$ — $E(X)=0\times\frac{1}{3}+1\times\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$.
La variance $V(X)$ est toujours…
- A. négative
- B. nulle
- C. positive ou nulle
- D. égale à $E(X)$
Réponse
C. positive ou nulle — $V(X)=E((X-E(X))^2)\ge 0$.
$\sigma(X)$ désigne…
- A. la variance
- B. l'écart-type
- C. l'espérance
- D. la médiane
Réponse
B. l'écart-type — $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ est l'écart-type.
$E(3) =$
- A. $3E$
- B. $0$
- C. $3$
- D. $1$
Réponse
C. $3$ — L'espérance d'une constante est cette constante : $E(3)=3$.
Un jeu est équitable si…
- A. $E(G)\gt 0$
- B. $E(G)=0$
- C. $E(G)\lt 0$
- D. $V(G)=0$
Réponse
B. $E(G)=0$ — Équitable signifie espérance de gain nulle.
La somme $\sum_{i=1}^{k} P(X=x_i)$ vaut toujours…
- A. $0$
- B. $k$
- C. $1$
- D. $E(X)$
Réponse
C. $1$ — La somme des probabilités d'une loi vaut 1.
Si $P(X=2)=\frac{3}{8}$ et $P(X=5)=\frac{5}{8}$, alors $E(X)=$
- A. $3{,}5$
- B. $3{,}875$
- C. $4$
- D. $2$
Réponse
B. $3{,}875$ — $E(X)=2\times\frac{3}{8}+5\times\frac{5}{8}=\frac{6+25}{8}=\frac{31}{8}=3{,}875$.
$\{X=3\}$ désigne…
- A. la valeur 3
- B. la probabilité que $X$ vaille 3
- C. l'ensemble des issues où $X$ vaut 3
- D. l'espérance de $X$
Réponse
C. l'ensemble des issues où $X$ vaut 3 — $\{X=3\}$ est un événement : l'ensemble des issues $\omega$ telles que $X(\omega)=3$.
Si $V(X)=9$, alors $\sigma(X)=$
- A. $81$
- B. $3$
- C. $4{,}5$
- D. $\sqrt{3}$
Réponse
B. $3$ — $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{9}=3$.
Niveau moyen — 12 questions
$E(2X-1)$ vaut…
- A. $2E(X)+1$
- B. $2E(X)-1$
- C. $E(X)-1$
- D. $(2E(X)-1)^2$
Réponse
B. $2E(X)-1$ — Linéarité : $E(aX+b)=aE(X)+b$, donc $E(2X-1)=2E(X)-1$.
$V(2X-1)$ vaut…
- A. $2V(X)-1$
- B. $4V(X)-1$
- C. $4V(X)$
- D. $2V(X)$
Réponse
C. $4V(X)$ — $V(aX+b)=a^2V(X)$ : $V(2X-1)=4V(X)$.
Si $E(X)=3$ et $E(X^2)=13$, alors $V(X)=$
- A. $4$
- B. $10$
- C. $13$
- D. $2$
Réponse
A. $4$ — $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2=13-9=4$.
Soit $X$ de loi : $P(X=-1)=0{,}5$, $P(X=1)=0{,}5$. Alors $E(X)=$
- A. $1$
- B. $0$
- C. $0{,}5$
- D. $-0{,}5$
Réponse
B. $0$ — $E(X)=(-1)(0{,}5)+(1)(0{,}5)=0$.
Avec la même loi que la question précédente, $V(X)=$
- A. $0$
- B. $1$
- C. $0{,}5$
- D. $2$
Réponse
B. $1$ — $E(X^2)=1\times 0{,}5+1\times 0{,}5=1$. $V(X)=1-0=1$.
On tire un entier au hasard dans $\{1,2,3,4\}$ (équiprobable). $E(X)=$
- A. $2$
- B. $2{,}5$
- C. $3$
- D. $4$
Réponse
B. $2{,}5$ — $E(X)=\frac{1+2+3+4}{4}=\frac{10}{4}=2{,}5$.
Si $E(X)=5$, quelle est la valeur de $E(-X+10)$ ?
- A. $5$
- B. $-5$
- C. $15$
- D. $-15$
Réponse
A. $5$ — $E(-X+10)=-E(X)+10=-5+10=5$.
Formule de König-Huygens : $V(X)=$
- A. $E(X^2)+E(X)^2$
- B. $E(X^2)-E(X)^2$
- C. $E(X-E(X))$
- D. $(E(X))^2$
Réponse
B. $E(X^2)-E(X)^2$ — $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2$.
Soit $X$ : $P(X=0)=0{,}6$, $P(X=5)=0{,}4$. Alors $E(X)=$
- A. $2$
- B. $3$
- C. $2{,}5$
- D. $5$
Réponse
A. $2$ — $E(X)=0\times 0{,}6+5\times 0{,}4=2$.
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $V(X+Y)=$
- A. $V(X)\times V(Y)$
- B. $V(X)+V(Y)$
- C. $V(X)-V(Y)$
- D. $(V(X)+V(Y))^2$
Réponse
B. $V(X)+V(Y)$ — Pour des variables indépendantes, les variances s'additionnent.
$\sigma(aX)= $ (pour $a\gt 0$)
- A. $a\sigma(X)$
- B. $a^2\sigma(X)$
- C. $\sigma(X)/a$
- D. $\sqrt{a}\sigma(X)$
Réponse
A. $a\sigma(X)$ — $\sigma(aX)=|a|\sigma(X)=a\sigma(X)$ pour $a\gt 0$.
Un jeu donne $G=10$ avec $p=0{,}1$ et $G=-1$ avec $p=0{,}9$. L'espérance $E(G)$ vaut…
- A. $1$
- B. $0$
- C. $-0{,}1$
- D. $9$
Réponse
A. $1$ — $E(G)=10\times 0{,}1+(-1)\times 0{,}9=1-0{,}9=0{,}1\approx 0$. Le jeu est légèrement favorable au joueur.
Niveau difficile — 13 questions
Soit $X$ de loi : $P(X=a)=\frac{1}{3}$, $P(X=2a)=\frac{2}{3}$. Si $E(X)=10$, alors $a=$
- A. $3$
- B. $4$
- C. $6$
- D. $5$
Réponse
C. $6$ — $E(X)=a\cdot\frac{1}{3}+2a\cdot\frac{2}{3}=\frac{a+4a}{3}=\frac{5a}{3}=10$ donc $a=6$.
$V(X)=0$ signifie que…
- A. $X$ est toujours nulle
- B. $X$ prend une seule valeur avec certitude
- C. $E(X)=0$
- D. $X$ est négative
Réponse
B. $X$ prend une seule valeur avec certitude — $V(X)=0 \Leftrightarrow X$ est presque sûrement constante égale à $E(X)$.
Si $E(X)=2$, $V(X)=3$ et $Y=\frac{X-2}{\sqrt{3}}$, alors…
- A. $E(Y)=0$ et $V(Y)=1$
- B. $E(Y)=1$ et $V(Y)=3$
- C. $E(Y)=0$ et $V(Y)=3$
- D. $E(Y)=2$ et $V(Y)=1$
Réponse
A. $E(Y)=0$ et $V(Y)=1$ — $E(Y)=\frac{E(X)-2}{\sqrt{3}}=0$ et $V(Y)=\frac{V(X)}{3}=1$. On a centré et réduit $X$.
$X$ prend les valeurs $1,2,\ldots,n$ équiprobablement. $E(X)=$
- A. $\frac{n}{2}$
- B. $\frac{n+1}{2}$
- C. $\frac{n(n+1)}{2}$
- D. $n$
Réponse
B. $\frac{n+1}{2}$ — $E(X)=\frac{1+2+\cdots+n}{n}=\frac{n(n+1)/2}{n}=\frac{n+1}{2}$.
Si $E(X)=\mu$ et $V(X)=\sigma^2$, alors $V\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)=$
- A. $\sigma^2$
- B. $1$
- C. $0$
- D. $\sigma$
Réponse
B. $1$ — $V\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)=\frac{1}{\sigma^2}V(X)=\frac{\sigma^2}{\sigma^2}=1$.
$X$ et $Y$ sont indépendantes avec $V(X)=2$, $V(Y)=3$. Alors $V(X-Y)=$
- A. $-1$
- B. $1$
- C. $5$
- D. $6$
Réponse
C. $5$ — $V(X-Y)=V(X)+(-1)^2V(Y)=2+3=5$ (les variances s'additionnent même pour $X-Y$).
Pour une variable $X$ avec $E(X)=3$ et $\sigma(X)=2$, on a $E(X^2)=$
- A. $9$
- B. $13$
- C. $4$
- D. $6$
Réponse
B. $13$ — $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2 \Rightarrow 4=E(X^2)-9 \Rightarrow E(X^2)=13$.
Laquelle de ces propriétés est fausse en général ?
- A. $E(aX)=aE(X)$
- B. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
- C. $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$
- D. $E(X+b)=E(X)+b$
Réponse
C. $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ — $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ n'est vraie qu'si $X$ et $Y$ sont indépendantes.
$X$ prend les valeurs 0, 1, 2 avec probabilités $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$. $V(X)=$
- A. $\frac{1}{4}$
- B. $\frac{1}{2}$
- C. $1$
- D. $\frac{3}{4}$
Réponse
B. $\frac{1}{2}$ — $E(X)=1$, $E(X^2)=0+\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$, $V(X)=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$.
Deux jeux A et B ont le même gain espéré positif. Le jeu A a une variance plus grande. En termes de risque financier…
- A. A est préférable
- B. B est préférable
- C. ils sont équivalents
- D. on ne peut pas comparer
Réponse
B. B est préférable — Pour le même gain espéré, on préfère la variance plus faible (moins de risque) : B est préférable.
Si $E(X^2)=E(X)^2$, alors…
- A. $X=0$
- B. $V(X)=0$, $X$ est constante
- C. $X$ ne peut pas exister
- D. $E(X)=0$
Réponse
B. $V(X)=0$, $X$ est constante — $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2=0$ signifie que $X$ est constante (quasi-certaine).
Soit $X$ de loi $P(X=k)=\frac{k}{10}$ pour $k\in\{1,2,3,4\}$. $E(X)=$
- A. $3$
- B. $\frac{10}{3}$
- C. $\frac{10}{4}$
- D. $\frac{30}{10}$
Réponse
A. $3$ — $E(X)=1\cdot\frac{1}{10}+2\cdot\frac{2}{10}+3\cdot\frac{3}{10}+4\cdot\frac{4}{10}=\frac{1+4+9+16}{10}=\frac{30}{10}=3$.
La transformation $Z=aX+b$ ne change pas la variance si…
- A. $a=0$
- B. $b=0$
- C. $a=1$
- D. $a=1$ et $b=0$
Réponse
C. $a=1$ — $V(aX+b)=a^2V(X)=V(X)$ ssi $a^2=1$, i.e., $a=1$ (ou $a=-1$). Ici $a=1$ suffit.
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