Expérimentations : simuler des échantillons

Deux fonctions du module random. random() renvoie un nombre réel au hasard dans $[0;1[$ : pour $0⩽a⩽b⩽1$, la probabilité qu’il tombe dans $[a;b[$ vaut $b-a$, la longueur de l’intervalle. randint(a, b) renvoie un entier au hasard entre $a$ et $b$, bornes comprises : chacun des $b-a+1$ entiers a la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{b-a+1}}$.

Simuler une variable aléatoire $X$, c’est écrire une fonction qui renvoie, à chaque appel, une valeur de $X$ tirée selon sa loi.

Variable de Bernoulli (elle vaut $1$ avec la probabilité $p$, $0$ sinon) : la fonction renvoie $1$ si random() < p, et $0$ sinon. En effet, random() tombe dans $[0;p[$ avec la probabilité $p$.

Variable à plusieurs valeurs $x_1,x_2,\dots ,x_k$, de probabilités $p_1,p_2,\dots ,p_k$ : on découpe $[0;1[$ en intervalles consécutifs de longueurs $p_1,p_2,\dots ,p_k$. Les seuils du programme sont les probabilités cumulées $p_1$, puis $p_1+p_2$, et ainsi de suite.

Avec un tableur. =ALEA() joue le rôle de random() : =ALEA()<p renvoie VRAI avec la probabilité $p$. =ALEA.ENTRE.BORNES(a;b) joue celui de randint(a, b), bornes comprises. En recopiant la formule sur $n$ lignes, on obtient un échantillon de taille $n$.

Échantillon de taille $n$ de la loi de $X$ : la liste $x_1,x_2,\dots ,x_n$ des valeurs obtenues en répétant $n$ fois, de façon indépendante, l’expérience qui définit $X$. Sa moyenne est $m={\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}}$.

En Python, un accumulateur s additionne les $n$ valeurs simulées ; on divise par $n$ après la boucle.

def moyenne(n):
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + guichet()
    return s / n

Fluctuation d’échantillonnage. L’espérance $\mu =E(X)$ est un nombre fixe : elle ne dépend que de la loi. La moyenne $m$, elle, change d’un échantillon à l’autre : deux appels de moyenne(50) donnent en général deux résultats différents. Ce n’est pas une erreur, c’est l’effet du hasard.

Une fréquence est une moyenne. Si $X$ vaut $1$ quand un caractère est présent et $0$ sinon, la somme $x_1+\cdots +x_n$ compte les $1$ : la moyenne $m$ est la fréquence $f={\displaystyle \frac{k}{n}}$ du caractère dans l’échantillon ($k$ = nombre de $1$).

Distance à l’espérance. On mesure l’écart entre l’échantillon et le modèle par $|m-\mu |$. Les simulations montrent que cet écart devient en général plus petit quand $n$ augmente.

Estimer une espérance. Quand $\mu$ est inconnue (la moyenne d’une grandeur dans une population, la proportion d’un caractère), on l’estime par la moyenne $m$ d’un échantillon tiré au hasard. L’estimation n’est pas exacte, mais elle est en général d’autant plus fiable que $n$ est grand : c’est ce que mesure l’écart ${\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}$ de la partie suivante.

$X$ a pour espérance $\mu$ et pour écart type $\sigma$ ; $m$ est la moyenne d’un échantillon de taille $n$ de la loi de $X$.

Constat des simulations (pour $n$ assez grand) : dans environ $95\%$ des échantillons, $$|m-\mu |⩽{\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}},$$ c’est-à-dire $$\mu -{\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}⩽m⩽\mu +{\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}.$$ En 1^re, ce résultat est observé par simulation ; il n’est pas démontré.

Lire une valeur absolue. Pour $d>0$ : $|m-\mu |⩽d$ $⟺\mu -d⩽m⩽\mu +d$.

Variable de Bernoulli de paramètre $p$ : $\mu =p$ et $\sigma =\sqrt{p(1-p)}$.

Décider (approfondissement, hors programme 2026). Si une moyenne observée sort de l’intervalle, l’écart est surprenant pour le modèle (il n’arrive que dans environ $5\%$ des échantillons) : on met en doute le modèle. Si elle est dans l’intervalle, l’observation est compatible avec le modèle, sans le prouver.

Demi-largeur de l’intervalle : $d(n)={\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}$ (sa largeur vaut $2d(n)$). Elle dépend de $\sigma$ et de $n$, pas de $\mu$, et elle diminue quand $n$ augmente.

Règle des carrés. Pour tout entier $k⩾1$ : $d(k^{2}n)={\displaystyle \frac{d(n)}{k}}$. Multiplier $n$ par $4$ divise $d$ par $2$ ; multiplier $n$ par $100$ divise $d$ par $10$. La précision progresse lentement.

Taille minimale (approfondissement, hors programme 2026). Pour une demi-largeur au plus égale à $a>0$ : ${\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}⩽a$ $⟺\sqrt{n}⩾{\displaystyle \frac{2\sigma }{a}}$ $⟺n⩾{\left({\displaystyle \frac{2\sigma }{a}}\right)}^2$, et l’on prend le plus petit entier qui convient.

Le programme. On simule $N$ échantillons de taille $n$ ; pour chacun, on calcule sa moyenne $m$ et on teste si $|m-\mu |⩽{\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}$ ; on renvoie la proportion des échantillons qui passent le test. Pour le guichet ($\mu =0,9$ et, avec la formule de la variance, $V(X)=0,49$, donc $\sigma =0,7$) :

from math import sqrt

def proportion(N, n):
    mu = 0.9
    sigma = 0.7
    c = 0
    for i in range(N):
        m = moyenne(n)
        e = 2 * sigma / sqrt(n)
        if abs(m - mu) <= e:
            c = c + 1
    return c / N

Ce qu’on observe. Pour $n$ assez grand, la valeur renvoyée est proche de $0,95$. Elle change d’une exécution à l’autre : c’est elle-même une fréquence, calculée sur $N$ échantillons, qui se stabilise quand $N$ augmente.

Deux tailles à ne pas confondre. $n$ = taille de chaque échantillon ; $N$ = nombre d’échantillons simulés. Le programme tire $N\times n$ valeurs de $X$ en tout.