Probabilités conditionnelles et probabilités totales

Un club sportif compte $180$ adhérents, répartis selon l’âge et l’activité principale. On choisit un adhérent au hasard.

1. $P(M)=$
   Le choix se fait au hasard : situation d’équiprobabilité, une probabilité est un quotient d’effectifs. $P(M)={\displaystyle \frac{96}{180}}={\displaystyle \frac{8}{15}}$.
2. $P(M\cap T)=$
   $42$ adhérents sont à la fois mineurs et joueurs de tennis : $P(M\cap T)={\displaystyle \frac{42}{180}}={\displaystyle \frac{7}{30}}$. On divise par le total général.
3. $P_M(T)=$ (nombre décimal)
   On se restreint aux $96$ mineurs : $P_M(T)={\displaystyle \frac{42}{96}}={\displaystyle \frac{7}{16}}=0,4375$. Parmi les mineurs, $43,75\%$ pratiquent principalement le tennis.
4. $P_T(M)=$
   On se restreint aux $93$ joueurs de tennis : $P_T(M)={\displaystyle \frac{42}{93}}={\displaystyle \frac{14}{31}}$, soit environ $45\%$. Même numérateur qu’à la question précédente, mais un autre dénominateur : $P_T(M)\ne P_M(T)$.

$A$ et $B$ sont deux événements tels que $P(A)=0,4$, $P(B)=0,32$ et $P(A\cap B)=0,1$. Donne des nombres décimaux.

1. $P_A(B)=$
   $P(A)\ne 0$, donc $P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{0,1}{0,4}}=0,25$.
2. $P_B(A)=$
   $P(B)\ne 0$, donc $P_B(A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{0,1}{0,32}}=0,3125$. Même numérateur, autre dénominateur : $P_B(A)\ne P_A(B)$.
3. $P_A(\bar{B})=$
   $P_A$ est une probabilité : $P_A(\bar{B})=1-P_A(B)=1-0,25=0,75$.
4. $P_B(\bar{A})=$
   De même, $P_B(\bar{A})=1-P_B(A)=1-0,3125=0,6875$.

Dans un club de randonnée, $35\%$ des membres ont plus de $50$ ans (événement $S$). Parmi eux, $60\%$ possèdent des bâtons de marche (événement $B$). On choisit un membre au hasard. Donne des nombres décimaux.

1. $P_S(B)=$
   « Parmi les plus de $50$ ans » : la condition est $S$, donc $P_S(B)=0,6$. Ce n’est pas $P(B)$, la proportion de tous les membres qui ont des bâtons.
2. $P(S\cap B)=$
   Probabilités composées : $P(S\cap B)=P(S)\times P_S(B)=0,35\times 0,6=0,21$. $21\%$ des membres ont plus de $50$ ans et des bâtons.
3. $P_S(\bar{B})=$
   $P_S$ est une probabilité : $P_S(\bar{B})=1-0,6=0,4$.
4. On sait de plus que $28\%$ des membres possèdent des bâtons. Justifier que, parmi les membres qui ont des bâtons, la proportion de plus de $50$ ans est $P_B(S)=$
   Rédaction attendue. L’énoncé donne $P(B)=0,28\ne 0$. Par définition, $P_B(S)={\displaystyle \frac{P(S\cap B)}{P(B)}}$. Or $P(S\cap B)=0,21$ (probabilités composées). Donc $P_B(S)={\displaystyle \frac{0,21}{0,28}}={\displaystyle \frac{3}{4}}=0,75$ : parmi les membres qui possèdent des bâtons, $75\%$ ont plus de $50$ ans.

Un sac contient $15$ jetons numérotés de $1$ à $15$. On tire un jeton au hasard. $A$ : « le numéro est pair », $B$ : « le numéro est un multiple de $3$ », $C$ : « le numéro est inférieur ou égal à $4$ ». Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5), sous forme irréductible.

1. $P_A(B)=$
   $A=\{2;4;6;8;10;12;14\}$ compte $7$ issues ; parmi elles, $6$ et $12$ sont des multiples de $3$. $P_A(B)={\displaystyle \frac{2}{7}}$.
2. $P_B(A)=$
   $B=\{3;6;9;12;15\}$ compte $5$ issues, dont $2$ paires : $P_B(A)={\displaystyle \frac{2}{5}}$.
3. $P_{A\cup B}(C)=$
   $A\cup B$ compte $7+5-2=10$ issues : $2,3,4,6,8,9,10,12,14,15$. Parmi elles, $2$, $3$ et $4$ sont inférieurs ou égaux à $4$ : $P_{A\cup B}(C)={\displaystyle \frac{3}{10}}$. La condition peut être n’importe quel événement de probabilité non nulle.
4. Calculer $P_{\bar{A}}(B)$ et justifier qu’on ne peut pas l’obtenir par $1-P_A(B)$ : $P_{\bar{A}}(B)=$
   Rédaction attendue. $\bar{A}$ est l’ensemble des numéros impairs : $\{1;3;5;7;9;11;13;15\}$, soit $8$ issues. Parmi elles, $3$, $9$ et $15$ sont des multiples de $3$. Par équiprobabilité, $P_{\bar{A}}(B)={\displaystyle \frac{3}{8}}$. Le nombre $1-P_A(B)=1-{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$ est $P_A(\bar{B})$ : il concerne les numéros pairs, pas les impairs. Le complément à $1$ ne relie que des probabilités sachant la même condition.

Un jour donné, la probabilité qu’il pleuve est $0,3$. S’il pleut, le bus scolaire est en retard avec la probabilité $0,45$ ; s’il ne pleut pas, avec la probabilité $0,1$. $R$ : « il pleut », $T$ : « le bus est en retard ». Donne des nombres décimaux.

1. Sur l’arbre pondéré, la branche de $\bar{R}$ vers $\bar{T}$ porte
   Premier niveau : $P(R)=0,3$ et $P(\bar{R})=0,7$. Depuis $R$ : $0,45$ vers $T$ et $0,55$ vers $\bar{T}$. Depuis $\bar{R}$ : $P_{\bar{R}}(T)=0,1$, donc $P_{\bar{R}}(\bar{T})=1-0,1=0,9$.
2. $P(R\cap T)=$
   On suit le chemin $R$ puis $T$ : $P(R\cap T)=P(R)\times P_R(T)=0,3\times 0,45=0,135$.
3. $P(\bar{R}\cap \bar{T})=$
   Chemin $\bar{R}$ puis $\bar{T}$ : $0,7\times 0,9=0,63$. Il ne pleut pas et le bus est à l’heure $63$ jours sur $100$ en moyenne.
4. $P(T)=$
   Deux chemins mènent à $T$ : $P(T)=P(R\cap T)+P(\bar{R}\cap T)=0,135+0,7\times 0,1=0,135+0,07=0,205$. Le bus est en retard environ un jour sur cinq.

Dans une ville, $70\%$ des foyers sont raccordés à la fibre (événement $F$). Parmi les foyers raccordés, $20\%$ ont aussi une ligne fixe (événement $L$) ; parmi les autres foyers, $50\%$. On choisit un foyer au hasard. Donne des nombres décimaux.

1. $P_{\bar{F}}(L)=$
   « Parmi les autres foyers » = parmi les foyers non raccordés : c’est une branche du second niveau partant de $\bar{F}$, $P_{\bar{F}}(L)=0,5$.
2. $P(F\cap \bar{L})=$
   $P_F(\bar{L})=1-0,2=0,8$, donc $P(F\cap \bar{L})=0,7\times 0,8=0,56$.
3. $P(\bar{F}\cap L)=$
   $P(\bar{F})=0,3$, donc $P(\bar{F}\cap L)=0,3\times 0,5=0,15$.
4. Probabilité que le foyer ait une ligne fixe :
   Deux chemins mènent à $L$ : $0,7\times 0,2+0,15=0,14+0,15=0,29$.

Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire successivement deux boules, sans remise. $R_1$ (resp. $R_2$) : « la première (resp. la deuxième) boule est rouge ». Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5), sous forme irréductible.

1. $P_{R_1}(R_2)=$
   Si la première boule est rouge, il reste $4$ rouges parmi $7$ boules : $P_{R_1}(R_2)={\displaystyle \frac{4}{7}}$.
2. $P_{\overline{R_1}}(R_2)=$
   Si la première boule est verte, il reste $5$ rouges parmi $7$ boules : $P_{\overline{R_1}}(R_2)={\displaystyle \frac{5}{7}}$.
3. Probabilité de tirer deux boules rouges :
   Probabilités composées, avec $P(R_1)={\displaystyle \frac{5}{8}}$ : $P(R_1\cap R_2)={\displaystyle \frac{5}{8}}\times {\displaystyle \frac{4}{7}}={\displaystyle \frac{20}{56}}={\displaystyle \frac{5}{14}}$.
4. Démontrer que $P(R_2)=$
   Rédaction attendue. Deux chemins de l’arbre mènent à $R_2$ : $R_1$ puis $R_2$, et $\overline{R_1}$ puis $R_2$. On additionne leurs probabilités : $P(R_2)$ $={\displaystyle \frac{5}{8}}\times {\displaystyle \frac{4}{7}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}\times {\displaystyle \frac{5}{7}}$ $={\displaystyle \frac{20}{56}}+{\displaystyle \frac{15}{56}}$ $={\displaystyle \frac{35}{56}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$. Sans information sur la première boule, la deuxième a la même probabilité d’être rouge que la première.
5. Probabilité que les deux boules soient de couleurs différentes :
   Chemins $R_1$ puis $\overline{R_2}$ et $\overline{R_1}$ puis $R_2$ : ${\displaystyle \frac{5}{8}}\times {\displaystyle \frac{3}{7}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}\times {\displaystyle \frac{5}{7}}={\displaystyle \frac{15}{56}}+{\displaystyle \frac{15}{56}}={\displaystyle \frac{30}{56}}={\displaystyle \frac{15}{28}}$.

Une joueuse de basket tente trois lancers francs. Elle réussit le premier avec la probabilité $0,6$. Ensuite, si elle a réussi le lancer précédent, elle réussit le suivant avec la probabilité $0,75$ ; si elle l’a manqué, avec la probabilité $0,45$. $R_k$ : « le $k$-ième lancer est réussi ». L’arbre a trois niveaux. Donne des nombres décimaux.

1. Probabilité de réussir les trois lancers :
   Chemin $R_1$, $R_2$, $R_3$ : chaque branche porte la probabilité sachant ce qui précède. $P(R_1\cap R_2\cap R_3)=0,6\times 0,75\times 0,75=0,3375$.
2. $P(R_2)=$
   Deux chemins mènent à $R_2$ : $0,6\times 0,75+0,4\times 0,45=0,45+0,18=0,63$.
3. Démontrer que $P(R_3)=$
   Rédaction attendue. Quatre chemins de l’arbre mènent à $R_3$ ; la probabilité de chacun est le produit de ses branches. $R_1{R}_2{R}_3$ : $0,6\times 0,75\times 0,75=0,3375$. $R_1\overline{R_2}{R}_3$ : $0,6\times 0,25\times 0,45=0,0675$. $\overline{R_1}{R}_2{R}_3$ : $0,4\times 0,45\times 0,75=0,135$. $\overline{R_1}\overline{R_2}{R}_3$ : $0,4\times 0,55\times 0,45=0,099$. Donc $P(R_3)$ $=0,3375+0,0675+0,135+0,099$ $=0,639$. On peut aussi regrouper selon le deuxième lancer : $0,63\times 0,75+0,37\times 0,45=0,4725+0,1665=0,639$.
4. $P(R_1\cap R_3)=$
   Deux chemins passent par $R_1$ et finissent par $R_3$ : $0,3375+0,0675=0,405$.

Calcule $P(B)$ avec la formule des probabilités totales. Donne un nombre décimal.

1. $P(A)=0,25$, $P_A(B)=0,6$, $P_{\bar{A}}(B)=0,24$ : $P(B)=$
   $P(\bar{A})=0,75$. $P(B)=0,25\times 0,6+0,75\times 0,24=0,15+0,18=0,33$.
2. $A_1,A_2,A_3$ partition ; $P(A_1)=0,1$, $P(A_2)=0,6$, $P(A_3)=0,3$ ; $P_{A_1}(B)=0,5$, $P_{A_2}(B)=0,25$, $P_{A_3}(B)=0,1$ : $P(B)=$
   $P(B)$ $=0,1\times 0,5+0,6\times 0,25+0,3\times 0,1$ $=0,05+0,15+0,03$ $=0,23$.
3. $P(A)=0,45$, $P_A(B)=0,8$, $P_{\bar{A}}(B)=0,4$ : $P(B)=$
   $P(B)=0,45\times 0,8+0,55\times 0,4=0,36+0,22=0,58$.

Sur une plateforme de vidéos, $55\%$ des vidéos lancées sont des épisodes de séries ($S$), $25\%$ des films ($F$) et les autres des documentaires ($D$). Sont regardés jusqu’au bout (événement $V$) : $80\%$ des épisodes, $50\%$ des films et $95\%$ des documentaires. On choisit une vidéo lancée au hasard.

1. $P(D)=$
   Les trois genres se partagent toutes les vidéos : $P(D)=1-0,55-0,25=0,2$.
2. Démontrer que la probabilité qu’une vidéo soit regardée jusqu’au bout est $P(V)=$
   Rédaction attendue. Chaque vidéo lancée est d’un et d’un seul genre : $S$, $F$ et $D$ forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales, $P(V)=P(S)P_S(V)+P(F)P_F(V)+P(D)P_D(V)$, soit $P(V)$ $=0,55\times 0,8+0,25\times 0,5+0,2\times 0,95$ $=0,44+0,125+0,19$ $=0,755$.
3. Un élève calcule la moyenne simple des trois taux. Il obtient %
   ${\displaystyle \frac{80+50+95}{3}}={\displaystyle \frac{225}{3}}=75$. C’est faux : les trois genres n’ont pas le même poids. Les séries, plus de la moitié des vidéos, comptent plus que les documentaires. La bonne valeur est la moyenne pondérée : $75,5\%$.

Une salle de sport propose quatre formules : $A$ choisie par $40\%$ des clients, $B$ par $30\%$, $C$ par $20\%$ et $D$ par les autres. Prennent un coach (événement $K$) : $5\%$ des clients de la formule $A$, $10\%$ de ceux de $B$, $20\%$ de ceux de $C$ et $40\%$ de ceux de $D$. Donne des nombres décimaux.

1. $P(D\cap K)=$
   $P(D)=1-0,4-0,3-0,2=0,1$, donc $P(D\cap K)=0,1\times 0,4=0,04$.
2. $P(K)=$
   Les quatre formules forment une partition : $P(K)$ $=0,4\times 0,05+0,3\times 0,1+0,2\times 0,2+0,04$ $=0,02+0,03+0,04+0,04$ $=0,13$.
3. $P(A\cap \bar{K})=$
   $P_A(\bar{K})=1-0,05=0,95$, donc $P(A\cap \bar{K})=0,4\times 0,95=0,38$.
4. $P(\bar{K})=$
   $P(\bar{K})=1-P(K)=1-0,13=0,87$. On obtiendrait la même valeur en additionnant les quatre chemins qui mènent à $\bar{K}$.

Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules bleues. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet et on ajoute $2$ boules de la même couleur ; puis on tire une seconde boule. $R_1$ : « la première boule est rouge », $R_2$ : « la seconde boule est rouge ». Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5), sous forme irréductible.

1. $P_{R_1}(R_2)=$
   Si la première est rouge, l’urne contient $4$ rouges et $3$ bleues : $P_{R_1}(R_2)={\displaystyle \frac{4}{7}}$.
2. $P_{\overline{R_1}}(R_2)=$
   Si la première est bleue, l’urne contient $2$ rouges et $5$ bleues : $P_{\overline{R_1}}(R_2)={\displaystyle \frac{2}{7}}$.
3. Démontrer que $P(R_2)=$
   Rédaction attendue. $R_1$ et $\overline{R_1}$ forment une partition de l’univers, avec $P(R_1)={\displaystyle \frac{2}{5}}$ et $P(\overline{R_1})={\displaystyle \frac{3}{5}}$. D’après la formule des probabilités totales : $P(R_2)$ $={\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{4}{7}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{2}{7}}$ $={\displaystyle \frac{8}{35}}+{\displaystyle \frac{6}{35}}$ $={\displaystyle \frac{14}{35}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$. Malgré les boules ajoutées, $P(R_2)=P(R_1)$.
4. Même expérience avec $3$ boules rouges et $5$ bleues au départ (on ajoute toujours $2$ boules) : $P(R_2)=$
   $P(R_2)$ $={\displaystyle \frac{3}{8}}\times {\displaystyle \frac{5}{10}}+{\displaystyle \frac{5}{8}}\times {\displaystyle \frac{3}{10}}$ $={\displaystyle \frac{15}{80}}+{\displaystyle \frac{15}{80}}$ $={\displaystyle \frac{30}{80}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$. Encore la proportion de boules rouges du départ.

On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $P(A)=0,6$, $P_A(B)=0,7$ et $P(B)=0,5$. Donne des nombres décimaux.

1. $P(A\cap B)=$
   Probabilités composées : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0,6\times 0,7=0,42$.
2. Démontrer que $P_{\bar{A}}(B)=$
   Rédaction attendue. $\{A,\bar{A}\}$ est une partition de l’univers, donc $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar{A}\cap B)$, d’où $P(\bar{A}\cap B)=0,5-0,42=0,08$. Comme $P(\bar{A})=1-0,6=0,4\ne 0$ : $P_{\bar{A}}(B)={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\cap B)}{P(\bar{A})}}={\displaystyle \frac{0,08}{0,4}}=0,2$.
3. $P_B(A)=$
   $P_B(A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{0,42}{0,5}}=0,84$.
4. $P_{\bar{B}}(\bar{A})=$
   $P(\bar{A}\cap \bar{B})=P(\bar{A})\times P_{\bar{A}}(\bar{B})=0,4\times (1-0,2)=0,32$ et $P(\bar{B})=1-0,5=0,5$. Donc $P_{\bar{B}}(\bar{A})={\displaystyle \frac{0,32}{0,5}}=0,64$.

On donne $P(A)=0,25$, $P(B)=0,45$ et $P(A\cap B)=0,12$. Complète le tableau de probabilités (lignes $A$, $\bar{A}$ ; colonnes $B$, $\bar{B}$). Donne des nombres décimaux.

1. Case de la ligne $A$ et de la colonne $\bar{B}$ :
   La ligne $A$ s’additionne : $P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)=0,25-0,12=0,13$.
2. Case de la ligne $\bar{A}$ et de la colonne $B$ :
   La colonne $B$ s’additionne : $P(\bar{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=0,45-0,12=0,33$.
3. Case de la ligne $\bar{A}$ et de la colonne $\bar{B}$ :
   $P(\bar{A})=0,75$, donc $P(\bar{A}\cap \bar{B})=0,75-0,33=0,42$. Contrôle par la colonne $\bar{B}$ : $0,13+0,42=0,55=1-0,45$.
4. $P_{\bar{A}}(B)=$
   $P_{\bar{A}}(B)={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\cap B)}{P(\bar{A})}}={\displaystyle \frac{0,33}{0,75}}=0,44$, à comparer à $P_A(B)={\displaystyle \frac{0,12}{0,25}}=0,48$.

Lors d’un concert, $70\%$ des spectateurs ont un billet « fosse » (événement $F$), les autres un billet « gradins ». Parmi les spectateurs en fosse, $30\%$ achètent un T-shirt (événement $T$). Au total, $25\%$ des spectateurs achètent un T-shirt. On choisit un spectateur au hasard.

1. $P(F\cap T)=$ (nombre décimal)
   $P(F\cap T)=P(F)\times P_F(T)=0,7\times 0,3=0,21$.
2. $P(\bar{F}\cap T)=$ (nombre décimal)
   L’énoncé donne $P(T)=0,25$ (« au total »). Avec la partition $\{F,\bar{F}\}$ : $P(\bar{F}\cap T)=P(T)-P(F\cap T)=0,25-0,21=0,04$.
3. Déterminer la probabilité qu’un spectateur en gradins achète un T-shirt : (fraction irréductible)
   Rédaction attendue. On cherche $P_{\bar{F}}(T)$. $F$ et $\bar{F}$ forment une partition de l’univers, donc $P(T)=P(F\cap T)+P(\bar{F}\cap T)$, d’où $P(\bar{F}\cap T)=0,25-0,21=0,04$. Comme $P(\bar{F})=1-0,7=0,3$ : $P_{\bar{F}}(T)={\displaystyle \frac{0,04}{0,3}}={\displaystyle \frac{4}{30}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$. Environ $13\%$ des spectateurs en gradins achètent un T-shirt.

Dans une boulangerie, on note $x$ la proportion des clients qui viennent le matin (événement $M$), avec $0⩽x⩽1$. $95\%$ des clients du matin achètent du pain (événement $P$), contre $35\%$ des clients de l’après-midi. On choisit un client au hasard. Donne des nombres décimaux.

1. Pour $x=0,5$ : $P(P)=$
   $P(P)=0,5\times 0,95+0,5\times 0,35=0,475+0,175=0,65$.
2. Démontrer que $P(P)=0,35+0,6x$, puis déterminer $x$ pour que $P(P)=0,8$ : $x=$
   Rédaction attendue. $M$ et $\bar{M}$ forment une partition de l’univers, avec $P(M)=x$ et $P(\bar{M})=1-x$. D’après la formule des probabilités totales : $P(P)$ $=0,95x+0,35(1-x)$ $=0,35+0,6x$. Puis $0,35+0,6x=0,8⟺0,6x=0,45⟺x=0,75$, qui est bien dans $[0;1]$ : il faut que $75\%$ des clients viennent le matin.
3. La plus petite valeur de $x$ telle que $P(P)⩾0,77$ est
   $0,35+0,6x⩾0,77⟺0,6x⩾0,42⟺x⩾0,7$ : au moins $70\%$ des clients doivent venir le matin.
4. La plus grande valeur possible de $P(P)$ est
   $0,35+0,6x$ croît avec $x$ et $x⩽1$ : le maximum est $0,35+0,6=0,95$, atteint quand tous les clients viennent le matin. Une valeur comme $0,97$ est donc impossible : l’équation donnerait $x>1$.

Dans un lycée, $55\%$ des élèves sont des filles ($F$). $30\%$ des filles et $20\%$ des garçons portent des lunettes ($L$). Un élève affirme : « un porteur de lunettes pris au hasard est une fille avec une probabilité de $0,3$ ». Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5), sous forme irréductible. Les décimaux s’écrivent avec une virgule.

1. $P(F\cap L)=$
   « $30\%$ des filles » est une proportion parmi les filles : $P_F(L)=0,3$. Donc $P(F\cap L)=0,55\times 0,3=0,165$.
2. $P(L)=$
   Avec la partition $\{F,\bar{F}\}$ : $P(L)=0,165+0,45\times 0,2=0,165+0,09=0,255$.
3. Probabilité qu’un porteur de lunettes soit une fille :
   $P_L(F)={\displaystyle \frac{P(F\cap L)}{P(L)}}={\displaystyle \frac{0,165}{0,255}}={\displaystyle \frac{165}{255}}={\displaystyle \frac{11}{17}}\approx 0,647$. L’élève a confondu $P_F(L)=0,3$ (porteurs de lunettes parmi les filles) et $P_L(F)$ (filles parmi les porteurs de lunettes).
4. Probabilité qu’un porteur de lunettes soit un garçon :
   $P_L(\bar{F})={\displaystyle \frac{0,09}{0,255}}={\displaystyle \frac{6}{17}}$. Contrôle : $P_L$ est une probabilité, et ${\displaystyle \frac{11}{17}}+{\displaystyle \frac{6}{17}}=1$.

Une entreprise achète ses pièces à trois fournisseurs : $F_1$ livre $45\%$ des pièces, $F_2$ en livre $35\%$ et $F_3$ le reste. La proportion de pièces non conformes est de $3\%$ chez $F_1$, $1,5\%$ chez $F_2$ et $6\%$ chez $F_3$. On prélève une pièce au hasard ; $N$ : « la pièce est non conforme ». Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5), sous forme irréductible.

1. Démontrer que $P(N)=$ (nombre décimal)
   Rédaction attendue. Chaque pièce vient d’un et d’un seul fournisseur : $F_1$, $F_2$, $F_3$ forment une partition de l’univers, avec $P(F_3)=1-0,45-0,35=0,2$. D’après la formule des probabilités totales : $P(N)$ $=0,45\times 0,03+0,35\times 0,015+0,2\times 0,06$ $=0,0135+0,00525+0,012$ $=0,03075$.
2. La pièce est non conforme ; probabilité qu’elle vienne de $F_3$ :
   $P_N(F_3)$ $={\displaystyle \frac{0,012}{0,03075}}$ $={\displaystyle \frac{12000}{30750}}$ $={\displaystyle \frac{16}{41}}\approx 0,39$. $F_3$ ne livre que $20\%$ des pièces, mais il est à l’origine d’environ $39\%$ des pièces non conformes.
3. $P_N(F_1)=$
   $P_N(F_1)={\displaystyle \frac{0,0135}{0,03075}}={\displaystyle \frac{13500}{30750}}={\displaystyle \frac{18}{41}}$.
4. Sans nouveau quotient : $P_N(F_2)=$
   $P_N$ est une probabilité et $F_1$, $F_2$, $F_3$ forment une partition : $P_N(F_2)=1-{\displaystyle \frac{16}{41}}-{\displaystyle \frac{18}{41}}={\displaystyle \frac{7}{41}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{0,00525}{0,03075}}={\displaystyle \frac{7}{41}}$.

On lance une pièce qui tombe sur Pile avec la probabilité $p$, où $0<p<1$. Si elle tombe sur Pile, on joue avec l’urne $U_1$ et l’on gagne avec la probabilité $0,7$ ; sinon, on joue avec l’urne $U_2$ et l’on gagne avec la probabilité $0,2$. $P_i$ : « la pièce tombe sur Pile », $G$ : « on gagne ».

1. Démontrer que $P(G)=0,5p+0,2$, puis déterminer $p$ pour que $P(G)=0,41$ : $p=$
   Rédaction attendue. $\{P_i,\overline{P_i}\}$ est une partition de l’univers, avec $P(P_i)=p$, $P(\overline{P_i})=1-p$, $P_{P_i}(G)=0,7$ et $P_{\overline{P_i}}(G)=0,2$. D’après la formule des probabilités totales : $P(G)$ $=0,7p+0,2(1-p)$ $=0,5p+0,2$. Puis $0,5p+0,2=0,41⟺0,5p=0,21⟺p=0,42$, qui est bien dans $]0;1[$.
2. Avec cette valeur de $p$, la probabilité que la pièce soit tombée sur Pile sachant que l’on a gagné est (fraction irréductible)
   $P(P_i\cap G)=0,42\times 0,7=0,294$, donc $P_G(P_i)$ $={\displaystyle \frac{0,294}{0,41}}$ $={\displaystyle \frac{294}{410}}$ $={\displaystyle \frac{147}{205}}\approx 0,717$.
3. La plus petite valeur de $p$ telle que $P_G(P_i)⩾0,9$ est
   Dans le cas général, $P_G(P_i)={\displaystyle \frac{0,7p}{0,5p+0,2}}$. Comme $0,5p+0,2>0$ : ${\displaystyle \frac{0,7p}{0,5p+0,2}}⩾0,9$ $⟺0,7p⩾0,45p+0,18$ $⟺0,25p⩾0,18$ $⟺p⩾0,72$. Avec $p<1$ : il faut $0,72⩽p<1$.

Un test de dépistage est positif ($T$) chez $98\%$ des personnes atteintes d’une maladie ($M$) et chez $3\%$ des personnes non atteintes. Dans une population, la proportion de personnes atteintes est $p$, avec $0<p<1$. On note $V(p)=P_T(M)$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5), sous forme irréductible.

1. Pour $p=0,15$ : $P(T)=$ (nombre décimal)
   Avec la partition $\{M,\bar{M}\}$ : $P(T)=0,15\times 0,98+0,85\times 0,03=0,147+0,0255=0,1725$.
2. Démontrer que $V(p)={\displaystyle \frac{0,98p}{0,95p+0,03}}$, puis donner $V(0,15)=$
   Rédaction attendue. Avec la partition $\{M,\bar{M}\}$ : $P(T)$ $=0,98p+0,03(1-p)$ $=0,95p+0,03$, qui est non nul. Et $P(M\cap T)=0,98p$. Donc $V(p)=P_T(M)={\displaystyle \frac{P(M\cap T)}{P(T)}}={\displaystyle \frac{0,98p}{0,95p+0,03}}$. Pour $p=0,15$ : $V(0,15)={\displaystyle \frac{0,147}{0,1725}}={\displaystyle \frac{1470}{1725}}={\displaystyle \frac{98}{115}}\approx 0,852$.
3. $V(0,002)=$
   $V(0,002)$ $={\displaystyle \frac{0,00196}{0,0019+0,03}}$ $={\displaystyle \frac{0,00196}{0,0319}}$ $={\displaystyle \frac{98}{1595}}\approx 0,061$. Pour une maladie très rare, un test positif ne désigne un malade que dans environ $6\%$ des cas : les faux positifs, $0,03\times 0,998\approx 3\%$ de la population, sont environ quinze fois plus nombreux que les vrais positifs ($0,196\%$). Il faut confirmer par un second examen.
4. La plus petite proportion $p$ pour laquelle $V(p)⩾0,5$ est
   Le dénominateur est positif, donc $V(p)⩾0,5$ $⟺0,98p⩾0,475p+0,015$ $⟺0,505p⩾0,015$ $⟺p⩾{\displaystyle \frac{0,015}{0,505}}={\displaystyle \frac{3}{101}}$, soit environ $2,97\%$.