Probabilités conditionnelles et probabilités totales

1. a)Probabilités composées : $P(A\cap B)=0,5\times 0,3=0,15$. (0,5)
2. b)« Parmi les végétariens » : la condition est $V$. $P_V(R)=0,25$. (0,5)
3. c)$P_A$ est une probabilité : $P_A(\bar{B})=1-0,35=0,65$. (0,5)
4. d)Probabilités totales : $P(B)=0,8\times 0,5+0,2\times 0,45=0,4+0,09=0,49$. (0,5)

Repère — Traduire, multiplier le long d’un chemin, compléter à 1, additionner les chemins : quatre gestes à faire sans hésiter.

1. a)Chaque abonné a un âge, qui est dans une et une seule des trois tranches : $J$, $A$, $S$ sont deux à deux disjoints et leur réunion est l’univers. Ils forment donc une partition, et $P(J)+P(A)+P(S)=1$, d’où $P(S)=1-0,3-0,5=0,2$. (1)
2. b)$J$, $A$, $S$ forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales : $P(B)=P(J)P_J(B)+P(A)P_A(B)+P(S)P_S(B)$ $=0,3\times 0,6+0,5\times 0,4+0,2\times 0,25$ $=0,18+0,2+0,05$ $=0,43$. (1)
3. c)Non. $J$ et $E$ sont bien disjoints (on ne peut pas avoir moins de $18$ ans et au moins $30$ ans), mais leur réunion n’est pas l’univers : un abonné de $25$ ans n’est ni dans $J$ ni dans $E$. Les deux conditions sont nécessaires. (1)

Repère — Avant d’écrire la formule des probabilités totales, on justifie la partition : deux à deux disjoints ET de réunion l’univers.

1. a)Premier niveau : $P(R)=0,58$, $P(\bar{R})=1-0,58=0,42$. Depuis $R$ : $P_R(L)=0,07$ et $P_R(\bar{L})=0,93$. Depuis $\bar{R}$ : $P_{\bar{R}}(L)=0,11$ et $P_{\bar{R}}(\bar{L})=0,89$. Les branches issues de chaque nœud ont pour somme $1$. (1)
2. b)Probabilités composées (chemin $R$ puis $L$) : $P(R\cap L)=P(R)\times P_R(L)=0,58\times 0,07=0,0406$. (1)
3. c)$R$ et $\bar{R}$ forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales : $P(L)=P(R\cap L)+P(\bar{R}\cap L)$, soit $P(L)$ $=0,0406+0,42\times 0,11$ $=0,0406+0,0462$ $=0,0868$. (1)
4. d)On cherche $P_L(R)={\displaystyle \frac{P(R\cap L)}{P(L)}}={\displaystyle \frac{0,0406}{0,0868}}={\displaystyle \frac{406}{868}}$. On simplifie par $14$ : $406=14\times 29$ et $868=14\times 62$, donc $P_L(R)={\displaystyle \frac{29}{62}}$. Parmi les colis en retard, la proportion de colis livrés en point relais est ${\displaystyle \frac{29}{62}}$, un peu moins de la moitié. (1)

Repère — Chemin, total, quotient : la question « sachant L » remonte l’arbre.

1. a)Probabilités composées : $P(A\cap B)=0,35\times 0,4=0,14$. $\{A,\bar{A}\}$ est une partition, donc $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar{A}\cap B)$, d’où $P(\bar{A}\cap B)=0,27-0,14=0,13$. (1)
2. b)$P(\bar{A})=1-0,35=0,65\ne 0$, donc $P_{\bar{A}}(B)={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\cap B)}{P(\bar{A})}}={\displaystyle \frac{0,13}{0,65}}={\displaystyle \frac{13}{65}}={\displaystyle \frac{1}{5}}=0,2$. (1)
3. c)$P(B)=0,27\ne 0$, donc $P_B(\bar{A})={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{0,13}{0,27}}={\displaystyle \frac{13}{27}}$. (1)

Repère — Un total connu et un chemin connu donnent l’autre chemin par soustraction, puis la branche par division.

1. a)Chaque élève vient d’un et d’un seul collège : $C_1$, $C_2$, $C_3$ forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales : $P(L)$ $=0,4\times 0,05+0,35\times 0,08+0,25\times 0,12$ $=0,02+0,028+0,03$ $=0,078$. (1)
2. b)$P_L(C_3)={\displaystyle \frac{P(C_3\cap L)}{P(L)}}={\displaystyle \frac{0,03}{0,078}}={\displaystyle \frac{30}{78}}={\displaystyle \frac{5}{13}}$. Les élèves de $C_3$ forment le quart des secondes, mais plus du tiers des latinistes. (1)
3. c)$P(C_1\cap \bar{L})=0,4\times 0,95=0,38$ et $P(\bar{L})=1-0,078=0,922$. Donc $P_{\bar{L}}(C_1)={\displaystyle \frac{0,38}{0,922}}={\displaystyle \frac{380}{922}}={\displaystyle \frac{190}{461}}$. (1)
4. d)${\displaystyle \frac{5+8+12}{3}}={\displaystyle \frac{25}{3}}\approx 8,3$, soit environ $8,3\%$. C’est une moyenne simple des taux, comme si les trois collèges fournissaient autant d’élèves. Il faut pondérer chaque taux par $P(C_i)$ : on obtient $7,8\%$ et non $8,3\%$. (1)

Repère — La formule des probabilités totales est une moyenne pondérée : un groupe nombreux pèse plus qu’un petit groupe.

1. a)$I$ et $\bar{I}$ forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales : $P(S)$ $=0,005\times 0,97+0,995\times 0,06$ $=0,00485+0,0597$ $=0,06455$. (1)
2. b)$P_S(I)={\displaystyle \frac{P(I\cap S)}{P(S)}}={\displaystyle \frac{0,00485}{0,06455}}={\displaystyle \frac{485}{6455}}$. On simplifie par $5$ : $P_S(I)={\displaystyle \frac{97}{1291}}\approx 0,075$. Quand le portique sonne, le voyageur transporte un objet interdit dans environ $7,5\%$ des cas seulement. (1)
3. c)$P(I\cap \bar{S})=0,005\times 0,03=0,00015$ et $P(\bar{S})=1-0,06455=0,93545$. Donc $P_{\bar{S}}(I)={\displaystyle \frac{0,00015}{0,93545}}={\displaystyle \frac{15}{93545}}={\displaystyle \frac{3}{18709}}\approx 0,00016$ : un objet interdit passe sans sonnerie environ $16$ fois sur $100000$ voyageurs non arrêtés. (1)
4. d)$P_S$ est une probabilité : $P_S(\bar{I})=1-{\displaystyle \frac{97}{1291}}={\displaystyle \frac{1194}{1291}}$. Or $0,92\times 1291=1187,72<1194$, donc $P_S(\bar{I})>0,92$. Les porteurs d’objets interdits sont très rares : les fausses alertes ($6\%$ de $99,5\%$ des voyageurs, soit $0,0597$) sont plus de douze fois plus nombreuses que les vraies ($0,00485$). Le nombre $97\%$ est $P_I(S)$, pas $P_S(I)$. (1)

Repère — Quand la condition est rare, les fausses alertes l’emportent : un portique qui détecte presque tous les objets peut sonner surtout pour rien.