Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Probabilités conditionnelles et indépendance
Probabilité d'un événement sachant un autre, formule des probabilités totales et indépendance — programme de 1re Spé Maths
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Probabilité conditionnelle et arbre
/ 4 pts- Une urne contient 5 boules blanches (B) et 3 boules noires (N). On effectue deux tirages successifs sans remise.
- 1. Représente la situation par un arbre de probabilités. Indique toutes les probabilités sur les branches.
- 2. Calcule $P(B_1 \cap N_2)$ (première blanche, deuxième noire).
- 3. Calcule $P(N_2)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.
- 4. Sachant que la deuxième boule est noire, quelle est la probabilité que la première ait été blanche ?
Exercice 2 — Formule des probabilités totales
/ 4 pts- Trois fournisseurs F₁, F₂, F₃ livrent respectivement 50 %, 30 % et 20 % des composants électroniques d'une entreprise. Les taux de pièces défectueuses sont : 1 % pour F₁, 4 % pour F₂ et 8 % pour F₃.
- On prélève une pièce au hasard dans le stock.
- 1. Calcule la probabilité $P(D)$ que la pièce soit défectueuse.
- 2. Sachant que la pièce est défectueuse, calcule la probabilité qu'elle provienne de F₃.
- 3. Sachant que la pièce est défectueuse, quel fournisseur est le plus probablement responsable ?
Exercice 3 — Indépendance d'événements
/ 4 pts- On lance simultanément deux dés équilibrés à 6 faces.
- Soit $A$ = « la somme des deux dés est 8 » et $B$ = « le premier dé affiche un nombre pair ».
- 1. Calcule $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$.
- 2. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifie.
- 3. Calcule $P(A|B)$ et interprète le résultat.
Exercice 4 — Répétition d'épreuves indépendantes
/ 4 pts- Un archer atteint la cible avec une probabilité de $\frac{2}{3}$ à chaque tir, indépendamment des autres tirs.
- Il effectue 4 tirs.
- 1. Quelle est la probabilité qu'il rate tous ses tirs ?
- 2. Quelle est la probabilité qu'il réussisse exactement 3 tirs sur 4 ?
- 3. Quelle est la probabilité qu'il réussisse au moins un tir ?
Exercice 5 — Problème de synthèse — dépistage
/ 4 pts- Une maladie touchant 0,5 % de la population est dépistée par un test tel que :
- • $P(+\mid\text{malade})=0{,}99$ (sensibilité du test)
- • $P(-\mid\text{sain})=0{,}95$ (spécificité du test, donc $P(+\mid\text{sain})=0{,}05$).
- On choisit une personne au hasard dans la population et le test est positif.
- 1. Calcule $P(+)$.
- 2. Calcule $P(\text{malade}\mid+)$, c'est-à-dire la probabilité que la personne soit réellement malade sachant que le test est positif. Arrondis au centième.
- 3. Commente ce résultat : que dit-il de la fiabilité du test pour une maladie rare ?
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Probabilité conditionnelle et arbre
Corrigé :
1. Arbre niveau 1 : B₁ (prob. 5/8), N₁ (prob. 3/8). Niveau 2 après B₁ : B₂ (4/7), N₂ (3/7) ; après N₁ : B₂ (5/7), N₂ (2/7).
2. $P(B_1\cap N_2)=\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}=\frac{15}{56}$
3. $P(N_2)=P(B_1)\times P(N_2|B_1)+P(N_1)\times P(N_2|N_1)=\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}+\frac{3}{8}\times\frac{2}{7}=\frac{15}{56}+\frac{6}{56}=\frac{21}{56}=\frac{3}{8}$
4. $P(B_1|N_2)=\dfrac{P(B_1\cap N_2)}{P(N_2)}=\dfrac{15/56}{3/8}=\dfrac{15}{56}\times\frac{8}{3}=\frac{120}{168}=\frac{5}{7}$
Exercice 2 — Formule des probabilités totales
Corrigé :
1. $P(D)=0{,}5\times 0{,}01+0{,}3\times 0{,}04+0{,}2\times 0{,}08=0{,}005+0{,}012+0{,}016=0{,}033$ soit $3{,}3\,\%$
2. $P(F_3|D)=\dfrac{P(F_3)\times P(D|F_3)}{P(D)}=\dfrac{0{,}2\times 0{,}08}{0{,}033}=\dfrac{0{,}016}{0{,}033}\approx 0{,}485$ soit environ $48{,}5\,\%$
3. $P(F_1|D)=0{,}005/0{,}033\approx 15{,}2\%$ ; $P(F_2|D)=0{,}012/0{,}033\approx 36{,}4\%$ ; $P(F_3|D)\approx 48{,}5\%$. C'est F₃ qui est le plus probablement responsable, malgré sa faible part de livraison.
Exercice 3 — Indépendance d'événements
Corrigé :
1. $\Omega$ a $36$ issues équiprobables. $A=\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\}$, donc $P(A)=\frac{5}{36}$. $B=\{(2,y),(4,y),(6,y)\mid y\in\{1,...,6\}\}$, donc $P(B)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$. $A\cap B=\{(2,6),(4,4),(6,2)\}$, donc $P(A\cap B)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.
2. $P(A)\times P(B)=\frac{5}{36}\times\frac{1}{2}=\frac{5}{72}\neq\frac{1}{12}=\frac{6}{72}$. Donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
3. $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1/12}{1/2}=\frac{1}{6}$. Sachant que le premier dé est pair, la probabilité d'obtenir une somme de 8 est $\frac{1}{6}$, soit légèrement plus élevée qu'sans cette information ($\frac{5}{36}\approx 0{,}139$ contre $\frac{1}{6}\approx 0{,}167$).
Exercice 4 — Répétition d'épreuves indépendantes
Corrigé :
On note $p=\frac{2}{3}$ (succès) et $q=1-p=\frac{1}{3}$ (échec).
1. $P(0\text{ succès})=\left(\frac{1}{3}\right)^4=\frac{1}{81}$
2. $P(\text{exactement 3 succès})=\binom{4}{3}\times\left(\frac{2}{3}\right)^3\times\frac{1}{3}=4\times\frac{8}{27}\times\frac{1}{3}=4\times\frac{8}{81}=\frac{32}{81}$
3. $P(\text{au moins 1 succès})=1-P(0\text{ succès})=1-\frac{1}{81}=\frac{80}{81}\approx 98{,}8\,\%$
Exercice 5 — Problème de synthèse — dépistage
Corrigé :
1. $P(+)=P(M)\times P(+|M)+P(\bar{M})\times P(+|\bar{M})=0{,}005\times 0{,}99+0{,}995\times 0{,}05=0{,}00495+0{,}04975=0{,}0547$
2. $P(M|+)=\dfrac{P(M)\times P(+|M)}{P(+)}=\dfrac{0{,}005\times 0{,}99}{0{,}0547}=\dfrac{0{,}00495}{0{,}0547}\approx 0{,}0905\approx 9\,\%$
3. Malgré un test très performant (99 % de sensibilité, 95 % de spécificité), la probabilité d'être réellement malade quand le test est positif n'est que d'environ 9 %. Cela s'explique par la rareté de la maladie (0,5 %) : les faux positifs (personnes saines testées +) sont bien plus nombreux que les vrais positifs. C'est le paradoxe du dépistage de maladies rares.
Ce contrôle de spécialité mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Probabilités conditionnelles et indépendance » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Probabilité conditionnelle et arbre/ 4 pts
- Exercice 2 — Formule des probabilités totales/ 4 pts
- Exercice 3 — Indépendance d'événements/ 4 pts
- Exercice 4 — Répétition d'épreuves indépendantes/ 4 pts
- Exercice 5 — Problème de synthèse — dépistage/ 4 pts
Notions évaluées
Rappels : probabilités sur un univers fini, Probabilité conditionnelle : définition et propriétés, Arbres de probabilités et lecture des probabilités conditionnelles, Formule des probabilités totales, Indépendance de deux événements, Indépendance et répétition d'épreuves.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Probabilités conditionnelles et indépendance » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Probabilités conditionnelles et indépendance » du programme officiel de spécialité mathématiques en première, soit Rappels : probabilités sur un univers fini, Probabilité conditionnelle : définition et propriétés, Arbres de probabilités et lecture des probabilités conditionnelles, Formule des probabilités totales.
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