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Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

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Probabilités conditionnelles et probabilités totales

Partition de l’univers et formule des probabilités totales, donnée manquante à retrouver ; rappels de 2nde : probabilité de B sachant A, tableau croisé, arbres pondérés ; inversion du conditionnement et faux positifs (automatismes).

À propos de cette page
Un QCM sur les probabilités conditionnelles en trois niveaux de douze questions : définition et traduction d’un énoncé, règles de l’arbre pondéré, probabilités composées et totales, branche manquante, inversion du conditionnement et pièges des faux positifs. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Si P(A) ≠ 0, le nombre PA(B) est égal à :

    • A. P(A ∩ B) ÷ P(B)
    • B. P(A ∩ B) ÷ P(A)
    • C. P(A) × P(B)
    • D. P(A) ÷ P(A ∩ B)
    Réponse

    B. P(A ∩ B) ÷ P(A) — Par définition, PA(B) = P(A ∩ B) ÷ P(A) : on divise par la probabilité de la condition A.

  2. Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut :

    • A. 0
    • B. 0,5
    • C. 1
    • D. le nombre de branches
    Réponse

    C. 1 — Les branches issues d’un nœud décrivent tous les cas possibles à cette étape : leurs probabilités ont pour somme 1.

  3. Sur un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin s’obtient en :

    • A. additionnant les probabilités des branches
    • B. prenant la plus grande des branches
    • C. divisant la dernière branche par la première
    • D. multipliant les probabilités des branches
    Réponse

    D. multipliant les probabilités des branches — C’est la formule des probabilités composées : P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).

  4. I : « l’élève est interne », E : « l’élève est en 1re ». La phrase « 30 % des internes sont en 1re » se traduit par :

    • A. PI(E) = 0,3
    • B. PE(I) = 0,3
    • C. P(I ∩ E) = 0,3
    • D. P(E) = 0,3
    Réponse

    A. PI(E) = 0,3 — « Parmi les internes » : la condition est I, placée en indice. On a donc PI(E) = 0,3.

  5. Si PA(B) = 0,72, alors PA(B̄) vaut :

    • A. 0,72
    • B. 0,28
    • C. 1,72
    • D. on ne peut pas savoir
    Réponse

    B. 0,28 — PA(…) est une probabilité, donc PA(B̄) = 1 − 0,72 = 0,28.

  6. Les événements A₁, A₂, A₃ forment une partition de l’univers Ω si :

    • A. ils sont deux à deux disjoints et de réunion Ω
    • B. ils sont deux à deux disjoints, quelle que soit leur réunion
    • C. leurs probabilités sont égales et ont pour somme 1
    • D. leur réunion est Ω, même s’ils se chevauchent
    Réponse

    A. ils sont deux à deux disjoints et de réunion Ω — Une partition : deux à deux disjoints ET de réunion Ω ; chaque issue est dans un et un seul Aᵢ. Une seule des deux conditions ne suffit pas, et les probabilités n’ont pas à être égales.

  7. Dans un tableau croisé d’effectifs (équiprobabilité), PA(B) se calcule comme :

    • A. effectif de B sur effectif total
    • B. effectif de A ∩ B sur effectif de A
    • C. effectif de A ∩ B sur effectif total
    • D. effectif de A ∩ B sur effectif de B
    Réponse

    B. effectif de A ∩ B sur effectif de A — Sachant A, on se restreint à la ligne (ou colonne) de A : effectif de A ∩ B divisé par effectif de A.

  8. La formule des probabilités composées s’écrit :

    • A. P(A ∩ B) = P(A) + PA(B)
    • B. P(A ∩ B) = PA(B) × PB(A)
    • C. P(A ∩ B) = P(B) × PA(B)
    • D. P(A ∩ B) = P(A) × PA(B)
    Réponse

    D. P(A ∩ B) = P(A) × PA(B) — On multiplie la probabilité de la condition par la probabilité conditionnelle : P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).

  9. Dans un tableau croisé d’effectifs, P(A ∩ B) s’obtient en divisant l’effectif de A ∩ B par :

    • A. l’effectif de A
    • B. l’effectif total
    • C. l’effectif de B
    • D. l’effectif de Ā
    Réponse

    B. l’effectif total — Sans condition, on divise par le total général. Diviser par l’effectif de A donnerait PA(B).

  10. Sur un arbre pondéré à deux niveaux, la branche qui va de A vers B porte :

    • A. PA(B)
    • B. P(B)
    • C. P(A ∩ B)
    • D. PB(A)
    Réponse

    A. PA(B) — Les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles : PA(B). Le produit le long du chemin donne P(A ∩ B).

  11. P(A) = 0,4 et PA(B) = 0,5. Alors P(A ∩ B) vaut :

    • A. 0,9
    • B. 0,8
    • C. 0,1
    • D. 0,2
    Réponse

    D. 0,2 — Probabilités composées : P(A ∩ B) = 0,4 × 0,5 = 0,2.

  12. A₁, A₂, A₃ forment une partition de l’univers, avec P(A₁) = 0,2 et P(A₂) = 0,5. Alors P(A₃) vaut :

    • A. 0,7
    • B. 0,3
    • C. 0,1
    • D. on ne peut pas savoir
    Réponse

    B. 0,3 — Les trois événements se partagent l’univers : P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) = 1, donc P(A₃) = 1 − 0,2 − 0,5 = 0,3.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. P(A) = 0,25 et P(A ∩ B) = 0,09. Alors PA(B) vaut :

    • A. 0,0225
    • B. 0,34
    • C. 0,16
    • D. 0,36
    Réponse

    D. 0,36 — PA(B) = 0,09 ÷ 0,25 = 0,36.

  2. P(B) = 0,64 et PB(A) = 0,15. Alors P(A ∩ B) vaut :

    • A. 0,79
    • B. 0,096
    • C. 0,49
    • D. 0,2344
    Réponse

    B. 0,096 — P(A ∩ B) = P(B) × PB(A) = 0,64 × 0,15 = 0,096.

  3. P(A) = 0,7, PA(B) = 0,2 et PĀ(B) = 0,5. Alors P(B) vaut :

    • A. 0,29
    • B. 0,35
    • C. 0,10
    • D. 0,7
    Réponse

    A. 0,29 — Probabilités totales : 0,7 × 0,2 + 0,3 × 0,5 = 0,14 + 0,15 = 0,29.

  4. Sur 320 salariés, 96 font du télétravail, dont 60 sont cadres. La probabilité qu’un télétravailleur pris au hasard soit cadre est :

    • A. 0,625
    • B. 0,3
    • C. 0,1875
    • D. 0,5
    Réponse

    A. 0,625 — On se restreint aux 96 télétravailleurs : 60 ÷ 96 = 0,625. Le nombre 0,1875 = 60 ÷ 320 est la probabilité d’être cadre et télétravailleur.

  5. A₁, A₂, A₃ partition, P(A₁) = 0,2, P(A₂) = 0,5, P(A₃) = 0,3 ; PA₁(B) = 0,1, PA₂(B) = 0,4, PA₃(B) = 0,6. Alors P(B) vaut :

    • A. 1,1
    • B. 0,367
    • C. 0,4
    • D. 0,5
    Réponse

    C. 0,4 — 0,2 × 0,1 + 0,5 × 0,4 + 0,3 × 0,6 = 0,02 + 0,2 + 0,18 = 0,4. La moyenne simple 0,367 oublie les pondérations.

  6. P(A) = 0,1, PA(B) = 0,9 et P(B) = 0,18. Alors PB(A) vaut :

    • A. 0,9
    • B. 0,09
    • C. 0,5
    • D. 0,1
    Réponse

    C. 0,5 — P(A ∩ B) = 0,1 × 0,9 = 0,09, donc PB(A) = 0,09 ÷ 0,18 = 0,5.

  7. Une urne contient 5 boules blanches et 2 noires. On tire deux boules sans remise. La probabilité d’obtenir deux boules blanches est :

    • A. 25/49
    • B. 10/21
    • C. 20/49
    • D. 5/7
    Réponse

    B. 10/21 — 5/7 × 4/6 = 20/42 = 10/21. La valeur 25/49 correspondrait à des tirages avec remise ; 20/49 oublie qu’il ne reste que 6 boules.

  8. P(A) = 0,45, PA(B) = 0,6 et P(B) = 0,5. Alors PĀ(B) vaut environ :

    • A. 0,418
    • B. 0,511
    • C. 0,23
    • D. 0,4
    Réponse

    A. 0,418 — P(Ā ∩ B) = 0,5 − 0,27 = 0,23, puis PĀ(B) = 0,23 ÷ 0,55 = 23/55 ≈ 0,418.

  9. P(A ∩ B) = 0,12 et PA(B) = 0,4. Alors P(A) vaut :

    • A. 0,048
    • B. 0,3
    • C. 0,52
    • D. 0,28
    Réponse

    B. 0,3 — P(A ∩ B) = P(A) × PA(B), donc P(A) = 0,12 ÷ 0,4 = 0,3.

  10. P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,4. Dans le tableau de probabilités, P(Ā ∩ B̄) vaut :

    • A. 0,1
    • B. 0,2
    • C. 0,3
    • D. 0,4
    Réponse

    C. 0,3 — P(Ā ∩ B) = 0,5 − 0,4 = 0,1 et P(Ā) = 0,4, donc P(Ā ∩ B̄) = 0,4 − 0,1 = 0,3.

  11. P(A) = 0,2, PA(B) = 0,5 et PĀ(B) = 0,25. Alors PB(A) vaut :

    • A. 0,1
    • B. 0,5
    • C. 0,3
    • D. 1/3
    Réponse

    D. 1/3 — P(A ∩ B) = 0,1 et P(Ā ∩ B) = 0,8 × 0,25 = 0,2, donc P(B) = 0,3 et PB(A) = 0,1 ÷ 0,3 = 1/3.

  12. P(A) = x, PA(B) = 0,8 et PĀ(B) = 0,3. Alors P(B) est égal à :

    • A. 0,8x
    • B. 0,3 + 0,5x
    • C. 1,1x
    • D. 0,8 − 0,5x
    Réponse

    B. 0,3 + 0,5x — P(B) = 0,8x + 0,3(1 − x) = 0,3 + 0,5x.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Pour deux événements de probabilités non nulles, laquelle de ces affirmations est toujours vraie ?

    • A. PA(B) = PB(A)
    • B. PA(B) + PĀ(B) = 1
    • C. PA(B) ≥ P(A ∩ B)
    • D. PA(B) ≤ P(A ∩ B)
    Réponse

    C. PA(B) ≥ P(A ∩ B) — PA(B) = P(A ∩ B) ÷ P(A) avec 0 < P(A) ≤ 1 : diviser un nombre positif par un nombre au plus égal à 1 ne le diminue pas.

  2. Un test détecte 99 % des malades et donne 1 % de faux positifs chez les personnes saines. La maladie touche 1 personne sur 1 000. Une personne est testée positive ; la probabilité qu’elle soit malade vaut :

    • A. 99 %
    • B. environ 50 %
    • C. 1 %
    • D. environ 9 %
    Réponse

    D. environ 9 % — P(M ∩ T) = 0,00099 et P(T) = 0,00099 + 0,999 × 0,01 = 0,01098, d’où PT(M) ≈ 0,09.

  3. On sait seulement que PA(B) = 0,3. Que peut-on dire de PĀ(B) ?

    • A. elle vaut 0,7
    • B. elle vaut 0,3
    • C. elle est inférieure à 0,7
    • D. rien sans autre donnée
    Réponse

    D. rien sans autre donnée — Le complément à 1 porte sur les branches d’un même nœud : PA(B̄) = 0,7. PĀ(B) est sur un autre nœud et peut valoir n’importe quel nombre de [0 ; 1].

  4. L’écriture PA(B) n’a de sens que si :

    • A. P(B) ≠ 0
    • B. P(A) ≠ 0
    • C. P(A ∩ B) ≠ 0
    • D. A et B sont disjoints
    Réponse

    B. P(A) ≠ 0 — On divise par P(A) : il faut P(A) ≠ 0. Rien n’est exigé de B ; si P(A ∩ B) = 0, on a simplement PA(B) = 0.

  5. 12 % des clients d’une banque ont un crédit immobilier (I) ; parmi eux, 25 % ont aussi un crédit auto (C). Le nombre 0,12 × 0,25 = 0,03 est :

    • A. P(I ∩ C)
    • B. PI(C)
    • C. PC(I)
    • D. P(C)
    Réponse

    A. P(I ∩ C) — Produit le long du chemin I puis C : P(I) × PI(C) = P(I ∩ C). On ne connaît pas P(C) sans la proportion chez les autres clients.

  6. A et B sont de probabilités non nulles et PA(B) = 1. On peut alors affirmer que :

    • A. P(B) = 1
    • B. PB(A) = 1
    • C. A et B sont incompatibles
    • D. P(A ∩ B) = P(A)
    Réponse

    D. P(A ∩ B) = P(A) — PA(B) = 1 donne P(A ∩ B) = P(A) × 1 = P(A). En revanche P(B) et PB(A) peuvent être inférieurs à 1.

  7. Un élève écrit P(B) = PA(B) + PĀ(B). Quelle est son erreur ?

    • A. il oublie de pondérer chaque terme
    • B. il fallait soustraire les deux termes
    • C. il fallait diviser la somme par 2
    • D. la formule exige P(A) = 0,5
    Réponse

    A. il oublie de pondérer chaque terme — La formule correcte est P(B) = P(A) × PA(B) + P(Ā) × PĀ(B) : chaque taux est pondéré par la probabilité de son cas.

  8. Pour appliquer la formule des probabilités totales avec A₁, A₂, A₃, il faut que ces événements :

    • A. aient tous la même probabilité 1/3
    • B. soient tous inclus dans l’événement B
    • C. forment une partition de l’univers
    • D. aient une réunion non vide, sans plus
    Réponse

    C. forment une partition de l’univers — Il faut une partition : aucun chevauchement (sinon des issues sont comptées deux fois) et aucun cas oublié. Des probabilités égales ne sont pas requises.

  9. PB(A) = 0,5, P(B) = 0,4 et P(A) = 0,25. Alors PA(B) vaut :

    • A. 0,8
    • B. 0,5
    • C. 0,2
    • D. 0,125
    Réponse

    A. 0,8 — P(A ∩ B) = P(B) × PB(A) = 0,4 × 0,5 = 0,2, puis PA(B) = 0,2 ÷ 0,25 = 0,8.

  10. A₁, A₂, A₃ forment une partition et ont la même probabilité ; PA₁(B) = 0,3, PA₂(B) = 0,6 et PA₃(B) = 0,9. Alors P(B) vaut :

    • A. 0,9
    • B. 1,8
    • C. 0,6
    • D. 0,162
    Réponse

    C. 0,6 — Chaque P(Aᵢ) vaut 1/3 : P(B) = (0,3 + 0,6 + 0,9) ÷ 3 = 0,6. C’est le seul cas où la moyenne simple des taux est juste : des groupes de même probabilité.

  11. P(A) = 0,5, PA(B) = 0,8 et P(B) = 0,5. Alors PĀ(B) vaut :

    • A. 0,1
    • B. 0,5
    • C. 0,3
    • D. 0,2
    Réponse

    D. 0,2 — P(A ∩ B) = 0,4, donc P(Ā ∩ B) = 0,5 − 0,4 = 0,1 et PĀ(B) = 0,1 ÷ 0,5 = 0,2.

  12. On applique le même test de dépistage à une population où la maladie est plus rare. Que devient la probabilité PT(M) qu’un positif soit malade ?

    • A. elle augmente
    • B. elle diminue
    • C. elle ne change pas
    • D. elle reste égale à PM(T)
    Réponse

    B. elle diminue — Les vrais positifs deviennent moins nombreux, les faux positifs plus nombreux (il y a plus de non-malades) : la part des malades parmi les positifs diminue, même si PM(T) est la même.

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