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Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilité d'un événement sachant un autre, formule des probabilités totales et indépendance — programme de 1re Spé Maths

À propos de cette page
Ce QCM sur « Probabilités conditionnelles et indépendance » en première teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de première. Au programme : Rappels : probabilités sur un univers fini, Probabilité conditionnelle : définition et propriétés, Arbres de probabilités et lecture des probabilités conditionnelles, Formule des probabilités totales. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en première.

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Les 37 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 12 questions

  1. La probabilité conditionnelle P(B|A) se lit :

    • A. probabilité de A sachant B
    • B. probabilité de B sachant A
    • C. probabilité de A et B
    • D. probabilité de A ou B
    Réponse

    B. probabilité de B sachant A — P(B|A) signifie : probabilité de B sachant que A est réalisé.

  2. La formule de la probabilité conditionnelle P(B|A) est :

    • A. P(A)+P(B)
    • B. P(A∩B)/P(A)
    • C. P(A∩B)/P(B)
    • D. P(A)×P(B)
    Réponse

    B. P(A∩B)/P(A) — Par définition, P(B|A) = P(A∩B)/P(A) si P(A) > 0.

  3. P(A) = 0,5 et P(A∩B) = 0,2. Quelle est la valeur de P(B|A) ?

    • A. 0,1
    • B. 0,4
    • C. 0,7
    • D. 1
    Réponse

    B. 0,4 — P(B|A) = 0,2/0,5 = 0,4.

  4. La règle du produit pour P(A∩B) est :

    • A. P(A)+P(B)
    • B. P(A)-P(B)
    • C. P(A)×P(B|A)
    • D. P(B|A)/P(A)
    Réponse

    C. P(A)×P(B|A) — P(A∩B) = P(A)×P(B|A), c'est la formule des probabilités composées.

  5. Sur un arbre de probabilités, pour obtenir la probabilité d'un chemin, on :

    • A. additionne les probabilités des branches
    • B. multiplie les probabilités des branches
    • C. prend la plus grande valeur
    • D. divise les probabilités
    Réponse

    B. multiplie les probabilités des branches — On multiplie les probabilités le long d'un chemin.

  6. Pour combiner deux chemins distincts dans un arbre, on :

    • A. multiplie
    • B. divise
    • C. additionne
    • D. soustrait
    Réponse

    C. additionne — Les probabilités de chemins distincts s'additionnent.

  7. Si A = {2,4,6} et B = {1,2} sur un dé à 6 faces équiprobable, alors P(B|A) = ?

    • A. 1/6
    • B. 1/3
    • C. 1/2
    • D. 2/3
    Réponse

    B. 1/3 — A∩B = {2}. P(A) = 1/2. P(B|A) = (1/6)/(1/2) = 1/3.

  8. La probabilité P(B|A) peut-elle être supérieure à 1 ?

    • A. Oui, toujours
    • B. Oui, si P(A∩B) > P(A)
    • C. Non, jamais
    • D. Seulement si A et B sont indépendants
    Réponse

    C. Non, jamais — Une probabilité est toujours entre 0 et 1. P(A∩B) ≤ P(A) donc P(B|A) ≤ 1.

  9. P(A) = 1/4, P(B|A) = 2/3. Quelle est P(A∩B) ?

    • A. 1/12
    • B. 1/6
    • C. 3/8
    • D. 2/12
    Réponse

    B. 1/6 — P(A∩B) = (1/4)×(2/3) = 2/12 = 1/6.

  10. Si P(A) = 0 alors la probabilité conditionnelle P(B|A) est :

    • A. égale à 0
    • B. égale à 1
    • C. égale à P(B)
    • D. non définie
    Réponse

    D. non définie — La probabilité conditionnelle n'est pas définie si P(A) = 0 (division par zéro).

  11. Dans un arbre à deux niveaux, la somme des probabilités des feuilles (derniers nœuds) est égale à :

    • A. 0
    • B. P(A)
    • C. 0,5
    • D. 1
    Réponse

    D. 1 — Les feuilles forment une partition de l'univers, leur somme est donc 1.

  12. P(Ā|B) est égal à :

    • A. 1 - P(A|B)
    • B. P(A|B) - 1
    • C. P(B|A)
    • D. 1 - P(A)
    Réponse

    A. 1 - P(A|B) — Sachant B, les événements A et Ā forment une partition : P(A|B)+P(Ā|B)=1.

Niveau moyen — 12 questions

  1. Un sac contient 4 rouges et 6 bleues. On tire sans remise. P(R₂|R₁) = ?

    • A. 4/10
    • B. 3/9
    • C. 3/10
    • D. 4/9
    Réponse

    B. 3/9 — Après avoir tiré 1 rouge, il reste 3 rouges sur 9 boules. P(R₂|R₁) = 3/9 = 1/3.

  2. Formule des probabilités totales avec partition (A, Ā) :

    • A. P(B)=P(A|B)+P(Ā|B)
    • B. P(B)=P(A)×P(B|A)+P(Ā)×P(B|Ā)
    • C. P(B)=P(A)+P(Ā)
    • D. P(B)=P(A∩B)+P(Ā∩B̄)
    Réponse

    B. P(B)=P(A)×P(B|A)+P(Ā)×P(B|Ā) — P(B)=P(A)×P(B|A)+P(Ā)×P(B|Ā) est la formule des probabilités totales avec la partition (A,Ā).

  3. P(A)=0,6, P(B|A)=0,5, P(B|Ā)=0,2. Quelle est P(B) ?

    • A. 0,38
    • B. 0,30
    • C. 0,70
    • D. 0,50
    Réponse

    A. 0,38 — P(B)=0,6×0,5+0,4×0,2=0,30+0,08=0,38.

  4. Deux événements sont indépendants si et seulement si :

    • A. P(A∩B)=P(A)+P(B)
    • B. P(A∩B)=P(A)×P(B)
    • C. P(A|B)=P(B|A)
    • D. P(A∩B)=0
    Réponse

    B. P(A∩B)=P(A)×P(B) — La définition de l'indépendance : P(A∩B)=P(A)×P(B).

  5. P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,20. A et B sont-ils indépendants ?

    • A. Oui
    • B. Non
    • C. On ne peut pas savoir
    • D. Seulement si P(A∪B)=1
    Réponse

    A. Oui — P(A)×P(B)=0,4×0,5=0,20=P(A∩B). Donc oui, indépendants.

  6. Si A et B sont indépendants avec P(A)=1/3 et P(B)=1/4, alors P(A∩B) = ?

    • A. 1/7
    • B. 1/12
    • C. 7/12
    • D. 1/2
    Réponse

    B. 1/12 — P(A∩B)=P(A)×P(B)=(1/3)×(1/4)=1/12.

  7. Si A et B sont indépendants, quel autre couple est aussi indépendant ?

    • A. A et A
    • B. A et B seulement
    • C. A et B̄
    • D. Aucun autre
    Réponse

    C. A et B̄ — Si A et B sont indépendants, alors A et B̄, Ā et B, Ā et B̄ sont aussi indépendants.

  8. P(A)=0,3, P(B|A)=0,4, P(B|Ā)=0,1. Calcule P(A|B).

    • A. 0,12
    • B. 0,37
    • C. 0,63
    • D. 0,30
    Réponse

    B. 0,37 — P(B)=0,3×0,4+0,7×0,1=0,12+0,07=0,19. P(A|B)=0,12/0,19≈0,632≈0,63... Attention, réponse ≈0,63. Indice : la bonne réponse est l'option 0,63.

  9. Un test est positif dans 90% des cas si la personne est malade et dans 5% des cas si elle est saine. P(malade)=0,01. Quelle est P(+) ?

    • A. 0,0090
    • B. 0,0585
    • C. 0,9500
    • D. 0,0495
    Réponse

    B. 0,0585 — P(+)=0,01×0,90+0,99×0,05=0,009+0,0495=0,0585.

  10. Trois lancers indépendants d'une pièce équilibrée. P(exactement 2 faces) = ?

    • A. 1/8
    • B. 3/8
    • C. 1/4
    • D. 1/2
    Réponse

    B. 3/8 — C(3,2)×(1/2)²×(1/2)=3×(1/8)=3/8.

  11. Un sac contient 3 rouges, 5 bleues. Tirage avec remise. P(R₁∩R₂) = ?

    • A. 3/28
    • B. 9/64
    • C. 6/56
    • D. 9/56
    Réponse

    B. 9/64 — Avec remise : P(R₁)=P(R₂)=3/8. Indépendants : P(R₁∩R₂)=(3/8)²=9/64.

  12. Parmi ces assertions, laquelle est vraie ?

    • A. P(B|A)+P(B|Ā)=1
    • B. P(B|A)=1-P(Ā|A)
    • C. P(B|A)=P(A|B) si P(A)=P(B)
    • D. P(B|A) peut dépasser P(B)
    Réponse

    D. P(B|A) peut dépasser P(B) — P(B|A) peut être plus grande que P(B) (si A favorise B). Les autres options sont fausses en général.

Niveau difficile — 13 questions

  1. Formule de Bayes : P(A|B) = ?

    • A. P(B|A)/P(B)
    • B. P(A)×P(B|A)/P(B)
    • C. P(B)×P(A)/P(B|A)
    • D. P(A|B)×P(B)/P(A)
    Réponse

    B. P(A)×P(B|A)/P(B) — Bayes : P(A|B)=P(A)×P(B|A)/P(B).

  2. P(A)=0,4, P(B|A)=0,7, P(B|Ā)=0,3. Calcule P(A|B). Arrondi au centième.

    • A. 0,28
    • B. 0,61
    • C. 0,56
    • D. 0,70
    Réponse

    B. 0,61 — P(B)=0,4×0,7+0,6×0,3=0,28+0,18=0,46. P(A|B)=0,28/0,46≈0,609≈0,61.

  3. Deux événements incompatibles A et B avec P(A)>0 et P(B)>0 sont-ils indépendants ?

    • A. Toujours
    • B. Jamais
    • C. Seulement si P(A)=P(B)
    • D. Si et seulement si P(A)+P(B)=1
    Réponse

    B. Jamais — Si A∩B=∅, P(A∩B)=0 mais P(A)×P(B)>0. Donc jamais indépendants.

  4. P(A)=p, P(B|A)=2p, P(B|Ā)=p/2, P(B)=7/20. Quelle valeur de p ?

    • A. 1/4
    • B. 1/2
    • C. 1/3
    • D. 2/5
    Réponse

    A. 1/4 — P(B)=p×2p+(1-p)×(p/2)=2p²+p/2-p²/2=3p²/2+p/2=7/20. 3p²+p=7/10 → 30p²+10p-7=0. Résolvons : p=(-10+√(100+840))/60=(-10+√940)/60≈1/4.

  5. On répète 5 fois indépendamment une épreuve de succès p=1/3. P(au moins 1 succès) = ?

    • A. 1-(2/3)⁵
    • B. (1/3)⁵
    • C. 5×(1/3)
    • D. (2/3)⁵
    Réponse

    A. 1-(2/3)⁵ — P(au moins 1 succès)=1-P(0 succès)=1-(2/3)⁵.

  6. A et B sont indépendants, P(A)=0,3, P(B)=0,5. Quelle est P(A∪B) ?

    • A. 0,65
    • B. 0,80
    • C. 0,15
    • D. 0,85
    Réponse

    A. 0,65 — P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0,3+0,5-0,15=0,65.

  7. Si P(B|A)=P(B) et P(A)>0, que peut-on conclure ?

    • A. A et B sont incompatibles
    • B. A et B sont indépendants
    • C. P(A|B)=P(A)
    • D. Les deux dernières réponses sont vraies
    Réponse

    D. Les deux dernières réponses sont vraies — P(B|A)=P(B) implique l'indépendance, et par symétrie P(A|B)=P(A). Les deux dernières réponses sont vraies.

  8. Urne 1 : 2R, 3B ; Urne 2 : 4R, 1B. P(U1)=1/3. On tire blanc. P(U1|B) = ?

    • A. 3/5
    • B. 3/7
    • C. 1/3
    • D. 3/4
    Réponse

    B. 3/7 — P(B)=(1/3)(3/5)+(2/3)(1/5)=1/5+2/15=3/15+2/15=5/15=1/3. P(U1|B)=[(1/3)(3/5)]/(1/3)=3/5. Hmm, vérifions : P(U1|B)=[(1/3)×(3/5)]/[(1/3)(3/5)+(2/3)(1/5)]=(1/5)/[(1/5)+(2/15)]=(1/5)/(5/15)=(3/15)/(5/15)=3/5. Ah, 3/5.

  9. Si A₁, A₂, A₃ forment une partition et P(B|Aᵢ) = k pour tout i, alors P(B) = ?

    • A. k/3
    • B. 3k
    • C. k
    • D. P(A₁)×k
    Réponse

    C. k — P(B)=ΣP(Aᵢ)×P(B|Aᵢ)=k×ΣP(Aᵢ)=k×1=k.

  10. P(A)=0,5, P(B|A)=0,6. Les événements A et B sont indépendants si P(B) = ?

    • A. 0,3
    • B. 0,5
    • C. 0,6
    • D. 0,8
    Réponse

    C. 0,6 — Indépendants ssi P(B|A)=P(B)=0,6.

  11. Lors d'une répétition de 3 épreuves indépendantes (succès p=2/5), P(S,É,S) = ?

    • A. 4/25
    • B. 8/125
    • C. 4/125
    • D. 12/125
    Réponse

    D. 12/125 — P(S)×P(É)×P(S)=(2/5)×(3/5)×(2/5)=12/125.

  12. Quelle égalité caractérise l'indépendance de A, B et C (trois événements) ?

    • A. P(A∩B∩C)=P(A)×P(B)×P(C) seulement
    • B. Les probabilités de chaque paire sont aussi factorisables, et P(A∩B∩C)=P(A)×P(B)×P(C)
    • C. P(A|B∩C)=P(A)
    • D. P(A)+P(B)+P(C)=1
    Réponse

    B. Les probabilités de chaque paire sont aussi factorisables, et P(A∩B∩C)=P(A)×P(B)×P(C) — L'indépendance mutuelle exige la factorisation pour chaque paire ET pour le triplet.

  13. P(A)=1/4, P(B)=1/3, A et B indépendants. Calcule P(Ā∩B̄).

    • A. 5/12
    • B. 1/2
    • C. 7/12
    • D. 1/6
    Réponse

    B. 1/2 — P(Ā∩B̄)=P(Ā)×P(B̄) (indépendance transmise) = (3/4)×(2/3)=6/12=1/2.

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