Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : probabilités conditionnelles et probabilités totales

Partition de l’univers et formule des probabilités totales, donnée manquante à retrouver ; rappels de 2nde : probabilité de B sachant A, tableau croisé, arbres pondérés ; inversion du conditionnement et faux positifs (automatismes).

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Probabilités conditionnelles et probabilités totales

Fiche méthode

(Spécialité maths 1re · Probabilités et statistiques)

La démarche face à un exercice de probabilités conditionnelles

1. Je nomme les événements par des lettres et je traduis chaque donnée : proportion de toute la population → $P (\dots)$ ; « parmi les $A$ » → $P_{A} (\dots)$ .

2. Je construis l’arbre (ou le tableau) et je complète chaque nœud à $1$ .

3. Je calcule : produit le long d’un chemin, somme des chemins (probabilités totales), quotient pour une probabilité « sachant ».

4. Je conclus par une phrase qui dit « parmi qui ».

Le réflexe — avant d’écrire la formule des probabilités totales, on écrit « … forment une partition de l’univers » : c’est la justification attendue.

Cas 1 · Calculer une probabilité conditionnelle (rappel de 2nde)

Réflexe — la condition (« sachant », « parmi ») va en indice et au dénominateur ; dans un tableau, total de sa ligne ou de sa colonne.

Exemple. Questions types : « Calculer $P_{A} (B)$ », « Quelle est la probabilité que …, sachant que … ? ». Exemple : sur $120$ spectateurs, $45$ sont venus en groupe ( $G$ ) et $18$ d’entre eux ont acheté un programme ( $P$ ). On choisit un spectateur au hasard.

« Parmi les spectateurs venus en groupe » : la condition est $G$ .

$P_{G} (P) = \frac{effectif de G \cap P}{effectif de G} = \frac{18}{45} = 0, 4$ .

Parmi les spectateurs venus en groupe, $40 %$ ont acheté un programme.

Attention — diviser par le total général donne $P (G \cap P)$ , pas $P_{G} (P)$ .

Cas 2 · Construire et lire un arbre pondéré (rappel de 2nde)

Réflexe — premier niveau = proportions de toute la population ; second niveau = « parmi les … » ; chemin = produit.

Exemple. Questions types : « Construire un arbre pondéré », « Calculer la probabilité que … et que … ». Exemple : $45 %$ des réservations d’un hôtel se font par téléphone ( $T$ ) ; $10 %$ d’entre elles sont annulées ( $A$ ), contre $20 %$ des autres réservations.

$P (T) = 0, 45$ , $P (\overset{―}{T}) = 0, 55$ ; $P_{T} (A) = 0, 1$ , $P_{T} (\overset{―}{A}) = 0, 9$ ; $P_{\overset{―}{T}} (A) = 0, 2$ , $P_{\overset{―}{T}} (\overset{―}{A}) = 0, 8$ .

$P (T \cap A) = 0, 45 \times 0, 1 = 0, 045$ et $P (\overset{―}{T} \cap \overset{―}{A}) = 0, 55 \times 0, 8 = 0, 44$ .

Attention — la branche porte $P_{T} (A)$ ; le produit du chemin donne $P (T \cap A)$ .

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Cas 3 · Formule des probabilités totales

Réflexe — je justifie la partition, j’écris la formule avec les lettres, puis les nombres.

Exemple. Question type : « Montrer que la probabilité de … vaut … ». Exemple : même hôtel, calculer $P (A)$ .

$T$ et $\overset{―}{T}$ forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

$P (A) = P (T) P_{T} (A) + P (\overset{―}{T}) P_{\overset{―}{T}} (A)$

$P (A) = 0, 045 + 0, 55 \times 0, 2 = 0, 045 + 0, 11 = 0, 155$ .

Attention — la moyenne simple des taux ( $15 %$ ) est fausse : on pondère par $P (T)$ et $P (\overset{―}{T})$ .

Cas 4 · Retrouver une donnée manquante

Réflexe — probabilités totales écrites avec l’inconnue, puis résolution ; résultat entre 0 et 1.

Exemple. Questions types : « En déduire $P (\overset{―}{A} \cap B)$ », « Déterminer $P_{\overset{―}{A}} (B)$ », « Pour quelle valeur de $x$ … ». Exemple : $P (A) = 0, 5$ , $P_{A} (B) = 0, 3$ et $P (B) = 0, 4$ .

$P (A \cap B) = 0, 5 \times 0, 3 = 0, 15$ .

$P (\overset{―}{A} \cap B) = P (B) - P (A \cap B) = 0, 4 - 0, 15 = 0, 25$ .

$P_{\overset{―}{A}} (B) = \frac{0, 25}{0, 5} = 0, 5$ .

Attention — $P (\overset{―}{A} \cap B)$ est un chemin : il reste à diviser par $P (\overset{―}{A})$ pour obtenir la branche.

Cas 5 · Inverser le conditionnement (automatisme)

Réflexe — chemin, puis total, puis quotient : $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ .

Exemple. Question type : « Sachant que …, quelle est la probabilité que … ? » (dans l’ordre inverse de l’arbre). Exemple : même hôtel, une réservation est annulée ; probabilité qu’elle ait été faite par téléphone.

On cherche $P_{A} (T) = \frac{P (T \cap A)}{P (A)} = \frac{0, 045}{0, 155} = \frac{45}{155} = \frac{9}{31}$ .

Parmi les réservations annulées, la proportion de réservations par téléphone est $\frac{9}{31}$ , soit environ $29 %$ .

Attention — $P_{T} (A) = 0, 1$ et $P_{A} (T) \approx 0, 29$ : on ne divise pas par la même probabilité.

Les pièges

Confondre $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ : « parmi qui ? » décide du dénominateur.
Confondre une branche $P_{A} (B)$ et un chemin $P (A \cap B)$ .
Écrire $P_{\overset{―}{A}} (B) = 1 - P_{A} (B)$ : ces deux nombres ne sont pas sur le même nœud.
Faire la moyenne simple des taux au lieu de pondérer par les $P (A_{i})$ .
Utiliser les probabilités totales sans vraie partition (chevauchement ou cas oublié).
Oublier de vérifier qu’une probabilité trouvée par une équation est entre 0 et 1.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à un exercice de probabilités conditionnelles, puis, pour chacun des cinq cas, une question type de l’épreuve anticipée avec sa réponse rédigée, autour d’un exemple d’hôtel et de réservations annulées. Elle finit par six pièges classiques, dont le complément mal placé et la moyenne non pondérée.

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