Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilité d'un événement sachant un autre, formule des probabilités totales et indépendance — programme de 1re Spé Maths

Mettre à jour une probabilité grâce à une information (« sachant que »), lire et construire un arbre pondéré, appliquer la formule des probabilités totales et décider si deux événements sont indépendants.

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Définitions

Probabilité conditionnelle ( $P (A) \neq 0$ ) : $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ , probabilité de $B$ sachant $A$ .
Indépendance : $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ , soit $P_{A} (B) = P (B)$ .
Partition de $Ω$ : événements deux à deux incompatibles, de réunion $Ω$ (ex. ${A, \overset{―}{A}}$ ).
Épreuve de Bernoulli : succès ( $p$ ), échec ( $1 - p$ ).

Formules

Probabilités composées : $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B)$ .
Probabilités totales : $P (B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overset{―}{A}) P_{\overset{―}{A}} (B)$ .
Remonter l'arbre : $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ .
$P_{A} (\overset{―}{B}) = 1 - P_{A} (B)$ .
$n$ épreuves indépendantes : un chemin à $k$ succès vaut $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ; « au moins un succès » $= 1 - (1 - p)^{n}$ .

Arbre pondéré

Niveau 1 : probabilités simples ; niveaux suivants : conditionnelles.
Somme 1 à chaque nœud ; produit le long d'un chemin ; somme des chemins menant à l'événement.
Sans remise : le dénominateur diminue de 1 à chaque niveau.

Méthodes

Tableau croisé : compléter les totaux, restreindre à la ligne ou colonne connue, diviser.
Arbre : « parmi les $A$ , $x$ % sont $B$ » se traduit par $P_{A} (B) = x / 100$ ; probabilités totales pour $P (B)$ , quotient pour $P_{B} (A)$ .
Indépendance : comparer $P (A \cap B)$ (via $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ si besoin) et $P (A) P (B)$ .
Épreuves répétées : nombre de chemins à $k$ succès $\times p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ; contraire pour « au moins un ».

Pièges

« Parmi », « sachant » annoncent $P_{A} (B)$ , pas $P (A \cap B)$ .
$P_{A} (B) \neq P_{B} (A)$ : même numérateur, dénominateurs différents (faux positifs).
Incompatibles de probabilités non nulles $\Rightarrow$ jamais indépendants.
« Exactement $k$ succès » : ne pas oublier le nombre de chemins.

L'essentiel

$P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ et $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B)$ .
Arbre : somme 1 par nœud, produit sur un chemin, somme des chemins.
$P (B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overset{―}{A}) P_{\overset{―}{A}} (B)$ .
Indépendants ⟺ $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ ⟺ $P_{A} (B) = P (B)$ ; alors $\overset{―}{A}$ et $B$ aussi.
Incompatibles ≠ indépendants ; $P_{A} (B) \neq P_{B} (A)$ .

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