Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Expérimentations : simuler des échantillons

Simuler une variable aléatoire en Python, moyenne d’un échantillon de taille n et fluctuation, proportion des échantillons tels que |m − μ| ⩽ 2σ/√n, effet de la taille de l’échantillon.

À propos de cette page

Quatre problèmes corrigés dans l’esprit de l’épreuve anticipée de 1re, sans calculatrice : une ligne de conditionnement de sachets, un sondage électoral où le même écart change de sens avec la taille, l’attente à une borne de recharge simulée en Python, et une garantie de germination testée par le calcul et par simulation.

4 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis l’énoncé en variable aléatoire : que vaut X pour un individu ? Pour un « oui / non », X vaut 1 ou 0.
Je relève μ et σ (donnés, ou calculés : pour une variable de Bernoulli, μ = p et σ = √(p(1 − p))) et la taille n.
Je calcule 2σ/√n et l’intervalle centré sur μ, avec les valeurs données (pas de calculatrice).
Je situe la moyenne ou la fréquence observée et je calcule son écart à μ ; en approfondissement, je conclus : compatible avec le modèle, ou modèle mis en doute.
Je lis une simulation comme une proportion d’échantillons, proche de 0,95, qui fluctue.

Problème 1 · Contrôle d’une ligne de conditionnement★★★Facile

Une machine remplit des sachets. La masse

X

(en g) d’un sachet a pour espérance

μ = 480

et pour écart type

σ = 12

. Chaque jour, le service qualité prélève

64

sachets au hasard et calcule leur masse moyenne

m

. La machine est signalée au réglage quand

m

sort de l’intervalle

[μ - \frac{2 σ}{\sqrt{n}}; μ + \frac{2 σ}{\sqrt{n}}]

Jour	1	2	3	4
$m$ (g)	$481, 2$	$478, 5$	$484, 1$	$479, 8$

1. $\frac{2 σ}{\sqrt{n}}$ pour $n = 64$ : g
$\sqrt{64} = 8$ et $\frac{2 \times 12}{8} = \frac{24}{8} = 3$ .
2. L’intervalle va de g à g.
$[480 - 3; 480 + 3] = [477; 483]$ : dans environ $95 %$ des échantillons de $64$ sachets, la masse moyenne y appartient.
3. Nombre de jours, parmi les quatre, où la machine est signalée :
Jours 1, 2 et 4 : $477 ⩽ m ⩽ 483$ , pas de signalement. Jour 3 : $484, 1 > 483$ , la machine est signalée. Un seul jour.
4. Le service passe à des échantillons de $2 304$ sachets. Justifier que la demi-largeur est divisée par $6$ ; nouvelle demi-largeur : g
Rédaction attendue. On a $2 304 = 36 \times 64$ et $\sqrt{2 304}$ $= \sqrt{36} \times \sqrt{64}$ $= 6 \times 8$ $= 48$ . Donc $\frac{2 σ}{\sqrt{2 304}}$ $= \frac{24}{48}$ $= 0, 5$ g, soit $\frac{3}{6}$ : la demi-largeur est divisée par $6 = \sqrt{36}$ , car la taille est multipliée par $36$ . Le nouvel intervalle est $[479, 5; 480, 5]$ .
5. Avec ce protocole et les mêmes moyennes, nombre de jours signalés :
Jour 1 : $481, 2 > 480, 5$ , signalé. Jour 2 : $478, 5 < 479, 5$ , signalé. Jour 3 : signalé. Jour 4 : $479, 5 ⩽ 479, 8 ⩽ 480, 5$ , pas de signalement. Trois jours : le contrôle détecte des dérives plus petites, mais peser $2 304$ sachets par jour coûte du temps et immobilise la production.

Problème 2 · Un sondage dans une circonscription★★★Moyen

Approfondissement (approfondissement, hors programme 2026) : prise de décision et taille minimale. Un candidat affirme que

50 %

des électeurs de sa circonscription voteront pour lui. Pour un électeur pris au hasard,

X

vaut

1

s’il compte voter pour ce candidat et

0

sinon. Un institut interroge

1 225

électeurs pris au hasard :

588

déclarent voter pour lui. On donne :

\sqrt{1 225} = 35

\frac{1}{35} \approx 0, 029

1. Fréquence observée : $f =$
$f = \frac{588}{1 225}$ $= \frac{12}{25}$ $= 0, 48$ (on simplifie par $49$ ). C’est la moyenne de l’échantillon des $X$ .
2. Justifier la valeur de l’écart type de $X$ si l’affirmation est juste : $σ =$
Rédaction attendue. Si l’affirmation est juste, $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p = 0, 5$ : $μ = 0, 5$ et $V (X) = p (1 - p)$ $= 0, 5 \times 0, 5$ $= 0, 25$ , donc $σ = \sqrt{0, 25} = 0, 5$ .
3. Ici $\frac{2 σ}{\sqrt{n}}$ $= \frac{1}{35}$ $\approx 0, 029$ . Écart observé $| f - μ | =$
$| 0, 48 - 0, 5 | = 0, 02 < 0, 029$ : la fréquence est dans l’intervalle. Le sondage est compatible avec l’affirmation du candidat ; il ne la démontre pas.
4. L’institut veut une largeur totale $2 \times \frac{2 σ}{\sqrt{n}}$ au plus égale à $0, 025$ . Démontrer la plus petite taille : $n =$
Rédaction attendue. Avec $σ = 0, 5$ , la largeur vaut $2 \times \frac{1}{\sqrt{n}}$ $= \frac{2}{\sqrt{n}}$ . Pour $n ⩾ 1$ : $\frac{2}{\sqrt{n}} ⩽ 0, 025$ $⟺ \sqrt{n} ⩾ \frac{2}{0, 025}$ $= 80$ . Les deux membres étant positifs, on élève au carré : $n ⩾ 80^{2} = 6 400$ . La plus petite taille est $6 400$ électeurs.
5. Avec la plus petite taille trouvée et la même fréquence observée, demi-largeur $\frac{2 σ}{\sqrt{n}} =$
$\frac{2 \times 0, 5}{80}$ $= \frac{1}{80}$ $= 0, 0125$ . Cette fois, $| 0, 48 - 0, 5 | = 0, 02 > 0, 0125$ : la fréquence sort de l’intervalle et l’affirmation est mise en doute. Le même écart de $0, 02$ , banal sur $1 225$ électeurs, devient surprenant sur $6 400$ , car l’intervalle se resserre quand $n$ augmente.

Problème 3 · L’attente à une borne de recharge★★★Moyen

À une borne de recharge, le temps d’attente

X

(en minutes) d’un usager vaut

0

1

5

, avec les probabilités

0, 2

;

0, 5

;

0, 3

. On simule

X

avec la fonction ci-dessous, dont un seuil est à compléter. On admet que

σ (X) = 2

from random import random

def attente():
    u = random()
    if u < 0.2:
        return 0
    elif u < ...:
        return 1
    else:
        return 5

1. Seuil à écrire à la place des points de suspension :
Seuil cumulé : $0, 2 + 0, 5 = 0, 7$ . L’intervalle $[0, 2; 0, 7 [$ a pour longueur $0, 5 = P (X = 1)$ et $[0, 7; 1 [$ a pour longueur $0, 3 = P (X = 5)$ .
2. Espérance : $μ =$ min
$μ = 0 \times 0, 2 + 1 \times 0, 5 + 5 \times 0, 3$ $= 0, 5 + 1, 5$ $= 2$ .
3. Pour des échantillons de $100$ usagers, $\frac{2 σ}{\sqrt{n}} =$
$\frac{2 \times 2}{10} = 0, 4$ : dans environ $95 %$ des échantillons, $1, 6 ⩽ m ⩽ 2, 4$ .
4. Une fonction proportion simule $1 000$ échantillons de $100$ usagers et renvoie $0, 961$ . Nombre d’échantillons dont la moyenne est dans l’intervalle :
$0, 961 \times 1 000 = 961$ échantillons : la proportion est proche de $0, 95$ , comme l’annonce le cours. Une autre exécution donnerait une valeur un peu différente.
5. Un usager relève, sur $100$ recharges, une attente moyenne de $2, 7$ min. Justifier la conclusion ; écart $| m - μ | =$ min
Rédaction attendue. L’écart vaut $| 2, 7 - 2 | = 0, 7$ . Or, si le modèle est juste, environ $95 %$ des échantillons de $100$ usagers vérifient $| m - 2 | ⩽ 0, 4$ . Comme $0, 7 > 0, 4$ , la moyenne observée est surprenante pour ce modèle : on met en doute la loi annoncée (par exemple, la borne est plus fréquentée que prévu). Ce n’est pas une preuve : un tel écart reste possible, dans environ $5 %$ des échantillons.

Problème 4 · Taux de germination : décision et simulation★★★Difficile

Approfondissement (approfondissement, hors programme 2026) : prise de décision et taille minimale. Un semencier garantit que

90 %

de ses graines germent. Pour une graine prise au hasard,

X

vaut

1

si elle germe et

0

sinon. Un maraîcher sème

324

graines prises au hasard :

279

germent. On donne

\sqrt{324} = 18

1. Justifier la valeur de l’écart type de $X$ si la garantie est exacte : $σ =$
Rédaction attendue. Si la garantie est exacte, $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p = 0, 9$ : $μ = 0, 9$ et $V (X) = 0, 9 \times 0, 1 = 0, 09$ , d’où $σ = \sqrt{0, 09} = 0, 3$ .
2. Démontrer que $\frac{2 σ}{\sqrt{n}} = \frac{1}{k}$ pour un entier $k$ : $k =$
Rédaction attendue. $\frac{2 σ}{\sqrt{n}}$ $= \frac{2 \times 0, 3}{18}$ $= \frac{0, 6}{18}$ $= \frac{6}{180}$ $= \frac{1}{30}$ .
3. Fréquence de germination observée, en fraction irréductible :
$f = \frac{279}{324}$ $= \frac{31 \times 9}{36 \times 9}$ $= \frac{31}{36}$ .
4. Borne inférieure de l’intervalle, en fraction irréductible :
$0, 9 - \frac{1}{30}$ $= \frac{27}{30} - \frac{1}{30}$ $= \frac{26}{30}$ $= \frac{13}{15}$ . Comparaison : $31 \times 15 = 465$ et $13 \times 36 = 468$ , donc $\frac{31}{36} < \frac{13}{15}$ . La fréquence sort de l’intervalle : le maraîcher met en doute la garantie du semencier.
5. Le semencier simule $800$ échantillons de $324$ graines en supposant $p = 0, 9$ : $761$ passent le test $| f - 0, 9 | ⩽ \frac{1}{30}$ . Proportion :
$\frac{761}{800} = 0, 951 25$ , proche de $0, 95$ : la simulation retrouve le constat du cours. Attention : ce nombre porte sur des échantillons simulés, pas sur des graines. Conclure que « $95, 1 %$ des graines germent » serait faux : le modèle simulé suppose $90 %$ .
6. Pour détecter un écart de $0, 03$ , le semencier veut $\frac{2 σ}{\sqrt{n}} ⩽ 0, 03$ . Plus petite taille : $n =$
$\frac{0, 6}{\sqrt{n}} ⩽ 0, 03$ $⟺ \sqrt{n} ⩾ \frac{0, 6}{0, 03}$ $= 20 ⟺ n ⩾ 400$ .

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