Expérimentations : simuler des échantillons

1. a)Les entiers de $2$ à $9$, bornes comprises : $9-2+1=8$ valeurs. (0,5)
2. b)Avec la probabilité $0,62$, longueur de l’intervalle $[0;0,62[$. (0,5)
3. c)${\displaystyle \frac{2\times 3}{25}}$ $={\displaystyle \frac{6}{25}}$ $=0,24$. (0,5)
4. d)$6,8⩽m⩽7,2$. (0,5)
5. e)Par $\sqrt{25}=5$. (0,5)
6. f)$\sigma =\sqrt{0,8\times 0,2}$ $=\sqrt{0,16}$ $=0,4$. (0,5)

Repère — Bornes de randint comprises, racine carrée de n, écart type et non variance : trois réflexes sans calcul.

1. a)Seuils cumulés : $0,5$ puis $0,5+0,4=0,9$.

   from random import random
   
   def pannes():
       u = random()
       if u < 0.5:
           return 0
       elif u < 0.9:
           return 1
       else:
           return 3

   (1)
2. b)La fonction renvoie $3$ lorsque les deux tests sont faux, c’est-à-dire lorsque $random()$ tombe dans $[0,9;1[$. La probabilité de cet événement est la longueur de l’intervalle : $1-0,9=0,1$. Donc $P(X=3)=0,1$, comme le demande la loi. (1)
3. c)$\mu =0\times 0,5+1\times 0,4+3\times 0,1$ $=0,4+0,3$ $=0,7$ panne par semaine. (1)
4. d)

   def moyenne(n):
       s = 0
       for k in range(n):
           s = s + pannes()
       return s / n

   L’accumulateur $s$ part de $0$, chaque tour ajoute une semaine simulée, et la division par $n$ se fait après la boucle. (1)

Repère — Une loi se simule avec des seuils cumulés ; une moyenne avec un accumulateur divisé par n après la boucle.

1. a)${\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}$ $={\displaystyle \frac{2\times 3,5}{28}}$ $={\displaystyle \frac{7}{28}}$ $=0,25$. (1)
2. b)Dans environ $95\%$ des échantillons de $784$ tiges, la moyenne $m$ vérifie $|m-17,5|⩽0,25$, c’est-à-dire $m\in [17,25;17,75]$ (en cm). (1)
3. c)$|17,82-17,5|=0,32>0,25$ : la moyenne relevée sort de l’intervalle. Un tel écart n’arrive que dans environ $5\%$ des échantillons si $\mu =17,5$ : il est rare, et il invite à contrôler le réglage de la machine. (1)
4. d)$3136=4\times 784$, donc $\sqrt{3136}=56$ et ${\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{7}{56}}=0,125$ : la demi-largeur est divisée par $2$, l’intervalle est $[17,375;17,625]$. Comme $17,82>17,625$, la moyenne sort de l’intervalle, avec un écart de $0,32$ pour une demi-largeur de $0,125$ seulement : sur un échantillon plus grand, le même écart est encore plus surprenant si $\mu =17,5$. (1)

Repère — L’intervalle est centré sur μ ; plus n est grand, plus un même écart à μ devient rare.

1. a)${\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{2\times 4,5}{30}}={\displaystyle \frac{9}{30}}=0,3$. (1)
2. b)Dans environ $95\%$ des échantillons de $900$ pommes, $|m-150|⩽0,3$, c’est-à-dire $m\in [149,7;150,3]$ (en g). (1)
3. c)Règle des carrés : $d(9n)={\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{9n}}}$ $={\displaystyle \frac{2\sigma }{3\sqrt{n}}}$ $={\displaystyle \frac{d(n)}{3}}$. Il faut multiplier la taille par $3^2=9$ : $9\times 900=8100$ pommes. (1)

Repère — Une précision k fois meilleure coûte k² fois plus d’individus.

1. a)$randint(0,1)$ vaut $0$ ou $1$ avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ chacun : $X$ vaut $25$ ou $35$ avec la probabilité $0,5$. Donc $\mu =0,5\times 25+0,5\times 35$ $=30$. Puis $V(X)=0,5\times (25-30{)}^2+0,5\times (35-30{)}^2$ $=25$, d’où $\sigma =\sqrt{25}=5$. (1)
2. b)La condition s’écrit $|m-30|⩽{\displaystyle \frac{10}{\sqrt{n}}}$, où $m$ est la moyenne d’un échantillon de taille $n$. Or $10=2\times 5=2\sigma$ et $30=\mu$ : c’est la condition $|m-\mu |⩽{\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}$. (1)
3. c)L’appel simule $1500$ échantillons de taille $361$ et renvoie la proportion de ceux qui vérifient $|m-\mu |⩽{\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}$, ici $|m-30|⩽{\displaystyle \frac{10}{19}}$. Pour une taille assez grande, environ $95\%$ des échantillons vérifient cette condition : la valeur renvoyée est proche de $0,95$. (1)
4. d)La valeur renvoyée est elle-même une fréquence, calculée sur $1500$ échantillons tirés au hasard : chaque exécution produit de nouveaux tirages, donc une valeur un peu différente. C’est la fluctuation d’échantillonnage, à l’échelle des échantillons ; elle diminue si l’on augmente $N$. (1)

Repère — Lire un programme : traduire le test en mathématiques, puis interpréter c / N comme une proportion d’échantillons.

1. a)Le dénominateur est $\sqrt{n}$, pas $n$ : l’intervalle correct est $[\mu -{\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}};\mu +{\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}]$, bien plus large (pour $n=100$ : ${\displaystyle \frac{2\sigma }{10}}$ au lieu de ${\displaystyle \frac{2\sigma }{100}}$). (0,5)
2. b)Le pourcentage porte sur les échantillons : si le modèle est juste, environ $95$ échantillons sur $100$ ont leur moyenne dans l’intervalle. L’intervalle contient des valeurs de moyenne, pas des individus. (0,5)
3. c)Être dans l’intervalle signifie seulement que l’observation est compatible avec le modèle : cela ne démontre aucune égalité entre $\mu$ et $m$, qui fluctue d’un échantillon à l’autre. (0,5)
4. d)${\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{2n}}}$ $={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\times {\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}$ : la demi-largeur est divisée par $\sqrt{2}\approx 1,41$. Pour la diviser par $2$, il faut multiplier $n$ par $4$. (0,5)

Repère — Racine carrée de n, pourcentage d’échantillons, compatibilité sans preuve : les trois contresens à éviter.