Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : échantillonnage et estimation

Simuler une variable aléatoire en Python, moyenne d’un échantillon de taille n et fluctuation, proportion des échantillons tels que |m − μ| ⩽ 2σ/√n, effet de la taille de l’échantillon.

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benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Première

Expérimentations : simuler des échantillons

Fiche méthode

(Spécialité maths 1re · Probabilités · Expérimentations)

La démarche pour étudier une simulation

1. Je relis la loi simulée : valeurs, probabilités (seuils cumulés), puis $μ$ et $σ$ .

2. Je repère les tailles : $n$ (taille d’un échantillon) et, s’il y a lieu, $N$ (nombre d’échantillons).

3. Je calcule $\frac{2 σ}{\sqrt{n}}$ et j’écris l’intervalle centré sur $μ$ .

4. Je conclus dans le contexte : moyenne dans l’intervalle ou non ; proportion de l’ordre de $0, 95$ , qui fluctue. En approfondissement : « compatible avec le modèle » ou « modèle mis en doute ».

Le réflexe — une conclusion se rédige avec les bons mots : « compatible avec le modèle » ou « le modèle est mis en doute », jamais « le modèle est démontré » ou « le modèle est faux ».

Cas 1 · Simuler une loi

Réflexe — seuils = probabilités cumulées ; la dernière valeur va dans le else ; randint(a, b) inclut b.

Exemple. Question type : « Écrire une fonction qui simule $Y$ ». Exemple : $Y$ vaut $- 1$ , $2$ ou $5$ avec les probabilités $0, 25$ ; $0, 6$ ; $0, 15$ .

Seuils cumulés : $0, 25$ puis $0, 25 + 0, 6 = 0, 85$ .

def Y():
    u = random()
    if u < 0.25:
        return -1
    elif u < 0.85:
        return 2
    else:
        return 5

$Y = 2$ quand $u \in [0, 25; 0, 85 [$ , de longueur $0, 6$ ; $Y = 5$ quand $u \in [0, 85; 1 [$ , de longueur $0, 15$ .

Attention — écrire elif u < 0.6 donnerait une longueur 0,35 au lieu de 0,6.

Cas 2 · Moyenne ou fréquence d’un échantillon

Réflexe — accumulateur à 0 avant la boucle, une valeur ajoutée par tour, division par n après la boucle.

Exemple. Question type : « Écrire une fonction qui renvoie la fréquence de pile sur $n$ lancers ». Exemple : pièce truquée, pile avec la probabilité $0, 6$ .

def freq(n):
    c = 0
    for k in range(n):
        if random() < 0.6:
            c = c + 1
    return c / n

Le compteur c ajoute $1$ à chaque pile : freq(n) est la moyenne d’un échantillon de taille $n$ de la variable de Bernoulli de paramètre $0, 6$ , d’espérance $μ = 0, 6$ .

Attention — return indenté dans la boucle = la fonction s’arrête au premier tour.

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Cas 3 · Situer une moyenne observée

Réflexe — μ, σ, n → 2σ/√n → intervalle centré sur μ → phrase de conclusion dans le contexte.

Exemple. Question type : « L’observation remet-elle en cause l’annonce ? ». Exemple : une enseigne annonce $90 %$ de clients satisfaits ; sur $900$ clients, $783$ le sont.

Bernoulli : $μ = 0, 9$ et $σ = \sqrt{0, 9 \times 0, 1}$ $= \sqrt{0, 09}$ $= 0, 3$ .

$\frac{2 \times 0, 3}{\sqrt{900}}$ $= \frac{0, 6}{30}$ $= 0, 02$ : intervalle $[0, 88; 0, 92]$ .

$f = \frac{783}{900} = 0, 87 < 0, 88$ : la fréquence sort de l’intervalle ; en approfondissement, l’annonce de l’enseigne est mise en doute.

Attention — intervalle centré sur μ, pas sur la fréquence observée ; σ et non σ².

Cas 4 · Choisir la taille de l’échantillon (approfondissement)

Réflexe — 2σ/√n ≤ a, puis √n ≥ 2σ/a, puis n ≥ (2σ/a)², arrondi à l’entier supérieur.

Exemple. Question type : « Quelle taille minimale pour une demi-largeur au plus égale à $a$ ? ». Exemple : $σ = 7$ et $a = 1$ .

$\frac{14}{\sqrt{n}} ⩽ 1$ $⟺ \sqrt{n} ⩾ 14$ $⟺ n ⩾ 196$ (les deux membres sont positifs).

Taille minimale : $196$ . Pour diviser cette demi-largeur par $2$ , il faudrait $4$ fois plus d’individus.

Attention — arrondir n à l’entier supérieur, jamais au plus proche.

Cas 5 · Lire le résultat d’une simulation

Réflexe — le test abs(m - mu) <= e s’écrit |m − μ| ≤ 2σ/√n ; c / N est une proportion d’échantillons.

Exemple. Question type : « Interpréter la valeur renvoyée ». Exemple : proportion(500, 64) renvoie $0, 954$ .

Sur $500$ échantillons de taille $64$ , $0, 954 \times 500 = 477$ vérifient $| m - μ | ⩽ \frac{2 σ}{8}$ .

C’est proche de $0, 95$ , comme l’annonce le cours ; une autre exécution donnerait une valeur un peu différente.

Attention — N = nombre d’échantillons, n = taille de chacun ; 95 % porte sur les échantillons.

Les pièges

Seuils non cumulés dans une simulation : la loi simulée n’est plus la bonne.
randint(1, 6) peut renvoyer 6 : les deux bornes sont comprises.
Confondre μ (fixe, le modèle) et m (la moyenne observée, qui fluctue).
Prendre la variance au lieu de l’écart type dans 2σ/√n.
Doubler n ne divise pas la demi-largeur par 2 : il faut multiplier n par 4.
Une moyenne dans l’intervalle ne démontre pas le modèle ; une moyenne hors de l’intervalle le met en doute, avec un risque d’erreur d’environ 5 %.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour étudier une simulation, puis, pour chaque cas, une question type et sa réponse rédigée : seuils cumulés d’une loi, fonction de fréquence, enquête de satisfaction mise en doute, taille minimale d’un échantillon, lecture du résultat d’un programme. Les pièges à éviter (variance au lieu de l’écart type, doubler n) sont regroupés à la fin.

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