Expérimentations : simuler des échantillons

Donne chaque réponse sous forme décimale ou de fraction (exemple : 3/8).

1. Probabilité que random() < 0.42 soit vrai :
   random() tombe dans $[0;0,42[$ avec une probabilité égale à la longueur de cet intervalle : $0,42$.
2. Probabilité que 0.4 <= random() < 0.9 soit vrai :
   Longueur de l’intervalle $[0,4;0,9[$ : $0,9-0,4=0,5$.
3. Nombre de valeurs différentes que peut renvoyer randint(3, 7) :
   Les deux bornes sont comprises : $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, soit $7-3+1=5$ valeurs.
4. Probabilité que randint(3, 7) renvoie $7$ :
   Les $5$ entiers sont équiprobables : la probabilité vaut ${\displaystyle \frac{1}{5}}=0,2$.
5. Probabilité que la formule de tableur =ALEA.ENTRE.BORNES(1;8)<=2 renvoie VRAI :
   =ALEA.ENTRE.BORNES(1;8) renvoie l’un des $8$ entiers de $1$ à $8$, bornes comprises, comme randint(1, 8) ; $1$ et $2$ rendent le test vrai : ${\displaystyle \frac{2}{8}}=0,25$.

Aux fléchettes, le nombre $Z$ de points marqués par un lancer est simulé par la fonction suivante.

def Z():
    u = random()
    if u < 0.1:
        return 20
    elif u < 0.45:
        return 5
    else:
        return 0

1. $P(Z=20)=$
   La fonction renvoie $20$ quand $u\in [0;0,1[$, intervalle de longueur $0,1$.
2. Justifier la valeur de $P(Z=5)$ :
   Rédaction attendue. La fonction renvoie $5$ lorsque le premier test est faux et le second vrai, c’est-à-dire lorsque $0,1⩽u<0,45$. La probabilité que random() tombe dans $[0,1;0,45[$ est la longueur de cet intervalle : $0,45-0,1=0,35$. Donc $P(Z=5)=0,35$.
3. $P(Z=0)=$
   La fonction renvoie $0$ quand $u\in [0,45;1[$, de longueur $1-0,45=0,55$.

Une variable $W$ prend les valeurs $1$, $2$, $3$, $4$ avec les probabilités $0,15$ ; $0,25$ ; $0,35$ ; $0,25$. Complète les seuils s2 et s3 (écris un nombre décimal).

def W():
    u = random()
    if u < 0.15:
        return 1
    elif u < s2:
        return 2
    elif u < s3:
        return 3
    else:
        return 4

1. s2 =
   Seuil cumulé : $0,15+0,25=0,4$. L’intervalle $[0,15;0,4[$ a bien pour longueur $0,25=P(W=2)$.
2. s3 =
   $0,4+0,35=0,75$ : l’intervalle $[0,4;0,75[$ a pour longueur $0,35=P(W=3)$, et le reste $[0,75;1[$ a pour longueur $0,25=P(W=4)$.
3. Si random() renvoie $0,62$, la fonction renvoie
   $0,62⩾0,15$ et $0,62⩾0,4$, mais $0,62<0,75$ : c’est la branche qui renvoie $3$.

On veut simuler un événement de probabilité $0,3$ à l’aide de randint. Donne les probabilités sous forme décimale ou de fraction.

1. Probabilité que randint(1, 10) < 3 soit vrai :
   Seuls $1$ et $2$ rendent le test vrai (l’inégalité est stricte) : ${\displaystyle \frac{2}{10}}=0,2$, et non $0,3$.
2. Probabilité que randint(0, 10) <= 3 soit vrai :
   randint(0, 10) renvoie l’un des $11$ entiers de $0$ à $10$ ; $0$, $1$, $2$, $3$ rendent le test vrai : ${\displaystyle \frac{4}{11}}$, et non $0,3$.
3. Démontrer que le test randint(1, 20) <= k est vrai avec la probabilité $0,3$ pour un seul entier $k$ : $k=$
   Rédaction attendue. randint(1, 20) renvoie l’un des $20$ entiers de $1$ à $20$, tous avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{20}}$. Pour un entier $k$ entre $1$ et $20$, le test est vrai pour les $k$ entiers $1,2,\dots ,k$ : sa probabilité vaut ${\displaystyle \frac{k}{20}}$. Or ${\displaystyle \frac{k}{20}}$ $=0,3⟺k$ $=20\times 0,3$ $=6$. Le test randint(1, 20) <= 6 simule donc un événement de probabilité $0,3$.

Une usine contrôle ses pièces par échantillons de $400$ pièces prises au hasard. Le premier échantillon contient $46$ pièces défectueuses, le second $61$.

1. Fréquence de pièces défectueuses du premier échantillon :
   $f_1={\displaystyle \frac{46}{400}}=0,115$, soit $11,5\%$.
2. Fréquence du second échantillon :
   $f_2={\displaystyle \frac{61}{400}}=0,1525$, soit $15,25\%$.
3. Le responsable conclut que la qualité s’est dégradée. Le phénomène qu’il oublie s’appelle la fluctuation d’
   Deux échantillons tirés au hasard dans la même production n’ont aucune raison d’avoir la même fréquence : c’est la fluctuation d’échantillonnage. Un écart de $0,0375$ entre deux échantillons de $400$ pièces n’a rien d’anormal ; pour juger, il faudrait comparer chaque fréquence au modèle (la proportion annoncée par l’usine), pas les deux échantillons entre eux.
4. La proportion de pièces défectueuses de toute la production est inconnue. Son estimation à partir des deux échantillons réunis ($800$ pièces) :
   On réunit les deux échantillons : ${\displaystyle \frac{46+61}{800}}={\displaystyle \frac{107}{800}}=0,13375$. C’est une estimation de la proportion de la production, pas sa valeur exacte ; un échantillon plus grand donne en général une estimation plus fiable.

On lance un dé équilibré à quatre faces, numérotées de $1$ à $4$. La fonction suivante simule un échantillon de lancers.

from random import randint

def moyenne(n):
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + randint(1, 4)
    return s / n

1. Nombre total de lancers simulés par moyenne(30) puis moyenne(50) :
   Chaque appel fait $n$ tours de boucle, un lancer par tour : $30+50=80$ lancers.
2. Si les lancers simulés sont $2$, $4$, $4$, $1$, $3$, alors moyenne(5) renvoie
   $s=2+4+4+1+3=14$, puis $m={\displaystyle \frac{14}{5}}=2,8$.
3. Espérance de la variable simulée : $\mu =$
   Les quatre faces ont la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ : $\mu ={\displaystyle \frac{1+2+3+4}{4}}=2,5$. Les moyennes d’échantillons fluctuent autour de cette valeur fixe.

La fonction suivante doit renvoyer la fréquence des « succès » sur $n$ essais, un succès ayant la probabilité $0,15$. Deux lignes sont à compléter (écris le code Python).

def freq(n):
    c = 0
    for k in range(n):
        if random() < 0.15:
            c = ...
    return ...

1. Ligne 5 : c =
   À chaque succès, le compteur augmente de $1$ : c = c + 1.
2. Dernière ligne : return
   La fréquence est le nombre de succès divisé par le nombre d’essais : return c / n, écrit après la boucle.
3. Justifier que freq(200) est la moyenne d’un échantillon. Elle a renvoyé $0,17$ : nombre de succès dans cet échantillon :
   Rédaction attendue. Notons $X$ la variable qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon. Chaque tour de boucle simule une valeur de $X$, et c compte les valeurs égales à $1$ : c’est la somme $x_1+\cdots +x_{200}$. Donc freq(200) $={\displaystyle \frac{x_1+\cdots +x_{200}}{200}}$ est la moyenne d’un échantillon de taille $200$ de la loi de $X$. Comme ${\displaystyle \frac{c}{200}}=0,17$, on obtient $c=0,17\times 200=34$ succès.

On simule des échantillons de la variable $X$ égale à randint(1, 9) (entier au hasard de $1$ à $9$). Une exécution a donné les moyennes suivantes.

1. Espérance de $X$ : $\mu =$
   Les entiers de $1$ à $9$ sont équiprobables : $\mu ={\displaystyle \frac{1+2+\cdots +9}{9}}$ $={\displaystyle \frac{45}{9}}$ $=5$.
2. Écart $|m-\mu |$ pour $n=100$ :
   $|5,34-5|=0,34$. Pour $n=10000$, l’écart n’est plus que $0,0028$ : il se resserre quand $n$ augmente.
3. Démontrer que, pour tout échantillon, $|m-\mu |$ ne peut pas dépasser une certaine valeur, et donner la plus grande valeur possible :
   Rédaction attendue. Chaque valeur vérifie $1⩽x_i⩽9$. En additionnant ces $n$ encadrements puis en divisant par $n>0$ : $1⩽m⩽9$. Donc $1-5⩽m-5⩽9-5$, soit $-4⩽m-\mu ⩽4$ : $|m-\mu |⩽4$. La valeur $4$ est atteinte quand toutes les valeurs tirées valent $1$ (ou toutes $9$). C’est rarissime pour $n$ grand : en pratique, l’écart est bien plus petit.

Dans une exploitation, la hauteur $X$ (en cm) d’un plant de maïs a pour espérance $\mu =68$ et pour écart type $\sigma =4,5$. On mesure des échantillons de $225$ plants.

1. ${\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}=$
   $\sqrt{225}=15$, donc ${\displaystyle \frac{2\times 4,5}{15}}$ $={\displaystyle \frac{9}{15}}$ $=0,6$.
2. Dans environ $95\%$ des échantillons, la hauteur moyenne est comprise entre et cm.
   $[68-0,6;68+0,6]$ $=[67,4;68,6]$.
3. La hauteur moyenne relevée sur un échantillon est $67,1$ cm. Écart $|m-\mu |=$ cm
   $|67,1-68|=0,9>0,6$ : la moyenne sort de l’intervalle. Un tel écart n’arrive que dans environ $5\%$ des échantillons si $\mu =68$ : en approfondissement, l’exploitant met en doute cette valeur pour la parcelle, ou vérifie la façon dont les plants ont été choisis.

Traduis chaque condition. Écris des nombres décimaux.

1. $|m-50|⩽3$ équivaut à $⩽m⩽$
   $-3⩽m-50⩽3$, puis on ajoute $50$ : $47⩽m⩽53$.
2. $11,5⩽m⩽13,1$ s’écrit $|m-c|⩽d$ avec $c=$ et $d=$
   Le centre est le milieu : $c={\displaystyle \frac{11,5+13,1}{2}}=12,3$ ; la demi-largeur est $d=13,1-12,3=0,8$.

Un fabricant annonce que $10\%$ de ses ampoules présentent un défaut. Pour une ampoule prise au hasard, $X$ vaut $1$ si elle a un défaut et $0$ sinon. On contrôle un échantillon de $100$ ampoules.

1. Démontrer la valeur de l’écart type de $X$ : $\sigma =$
   Rédaction attendue. $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p=0,1$, donc $\mu =p=0,1$ et $V(X)=p(1-p)$ $=0,1\times 0,9$ $=0,09$. L’écart type est $\sigma =\sqrt{0,09}=0,3$.
2. ${\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}=$
   ${\displaystyle \frac{2\times 0,3}{\sqrt{100}}}$ $={\displaystyle \frac{0,6}{10}}$ $=0,06$ : l’intervalle est $[0,04;0,16]$.
3. L’échantillon contient $17$ ampoules défectueuses. Fréquence observée :
   $f={\displaystyle \frac{17}{100}}=0,17>0,16$ : la fréquence sort de l’intervalle. En approfondissement, l’annonce du fabricant est mise en doute (avec un risque de se tromper d’environ $5\%$).

Le temps $X$ (en minutes) passé par un visiteur sur un site a pour espérance $\mu =20$ et pour écart type $\sigma =6$. Pour des échantillons d’une certaine taille $n$, la moyenne se trouve, dans environ $95\%$ des cas, dans $[19,5;20,5]$.

1. Demi-largeur de cet intervalle :
   $20,5-20=0,5$.
2. Démontrer la valeur de la taille : $n=$
   Rédaction attendue. La demi-largeur vaut ${\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}$ $={\displaystyle \frac{12}{\sqrt{n}}}$. Donc ${\displaystyle \frac{12}{\sqrt{n}}}$ $=0,5⟺\sqrt{n}$ $={\displaystyle \frac{12}{0,5}}$ $=24⟺n$ $={24}^2=576$.
3. Avec cette même taille, quel écart type donnerait une demi-largeur de $0,25$ ? $\sigma =$
   ${\displaystyle \frac{2\sigma }{24}}$ $=0,25⟺2\sigma$ $=6⟺\sigma$ $=3$ : à taille fixée, la demi-largeur est proportionnelle à $\sigma$.

Une variable $X$ a pour écart type $\sigma =5$. On note $d(n)={\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}$.

1. $d(25)=$
   ${\displaystyle \frac{10}{\sqrt{25}}}={\displaystyle \frac{10}{5}}=2$.
2. $d(100)=$
   ${\displaystyle \frac{10}{10}}=1$.
3. $d(400)=$
   ${\displaystyle \frac{10}{20}}=0,5$.
4. De $n=25$ à $n=400$, $n$ est multiplié par $16$ et $d$ est divisé par
   ${\displaystyle \frac{2}{0,5}}=4=\sqrt{16}$ : la demi-largeur est divisée par la racine carrée du facteur.

Le temps de cuisson $X$ (en minutes) d’un produit a pour espérance $\mu =5,6$ et pour écart type $\sigma =2,4$. On contrôle la production par échantillons de taille $n$.

1. La demi-largeur s’écrit ${\displaystyle \frac{k}{\sqrt{n}}}$ avec $k=$
   ${\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}$ $={\displaystyle \frac{2\times 2,4}{\sqrt{n}}}$ $={\displaystyle \frac{4,8}{\sqrt{n}}}$.
2. Approfondissement : plus petite taille pour une demi-largeur au plus égale à $0,3$ min :
   ${\displaystyle \frac{4,8}{\sqrt{n}}}⩽0,3$ $⟺\sqrt{n}⩾{\displaystyle \frac{4,8}{0,3}}$ $=16⟺n⩾256$.
3. Pour cette taille, intervalle : entre et minutes
   $[5,6-0,3;5,6+0,3]$ $=[5,3;5,9]$ : dans environ $95\%$ des échantillons, la moyenne y appartient.

On note $d(n)={\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}$. On donne $\sqrt{2}\approx 1,414$.

1. Démontrer que $d(9n)={\displaystyle \frac{d(n)}{k}}$ pour un entier $k$ : $k=$
   Rédaction attendue. Pour tout entier $n⩾1$, $\sqrt{9n}$ $=\sqrt{9}\times \sqrt{n}$ $=3\sqrt{n}$. Donc $d(9n)={\displaystyle \frac{2\sigma }{3\sqrt{n}}}$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}$ $={\displaystyle \frac{d(n)}{3}}$.
2. Pour diviser la demi-largeur par $5$, on multiplie $n$ par
   Règle des carrés : $d(5^{2}n)={\displaystyle \frac{d(n)}{5}}$, donc on multiplie $n$ par $25$.
3. Si l’on double $n$, $d$ est multiplié par environ (au centième)
   $d(2n)={\displaystyle \frac{d(n)}{\sqrt{2}}}$ $\approx {\displaystyle \frac{d(n)}{1,414}}$ $\approx 0,71\times d(n)$ : une baisse d’environ $29\%$ seulement, et non de moitié.

Le temps de réponse $X$ (en ms) d’un serveur a pour espérance $\mu =41,5$ et pour écart type $\sigma =9,8$, selon l’hébergeur. On mesure des échantillons de $n$ requêtes. Les questions 3 à 5 (taille minimale) sont un approfondissement.

1. Pour des échantillons de $49$ requêtes : ${\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}=$ ms
   $\sqrt{49}=7$ et ${\displaystyle \frac{2\times 9,8}{7}}={\displaystyle \frac{19,6}{7}}=2,8$ : l’intervalle est $[38,7;44,3]$.
2. Sur $49$ requêtes, le temps moyen relevé est $44,9$ ms. Écart $|m-\mu |=$ ms
   $|44,9-41,5|=3,4>2,8$ : la moyenne sort de l’intervalle ; un tel écart n’arrive que dans environ $5\%$ des échantillons. En approfondissement, l’annonce de l’hébergeur est mise en doute (le serveur semble plus lent qu’annoncé).
3. Pour une demi-largeur au plus égale à $0,8$ ms : $\sqrt{n}⩾$
   ${\displaystyle \frac{19,6}{\sqrt{n}}}⩽0,8$ $⟺\sqrt{n}⩾{\displaystyle \frac{19,6}{0,8}}$ $=24,5$.
4. Démontrer la valeur de la plus petite taille : $n=$
   Rédaction attendue. Pour $n⩾1$, ${\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}$ $={\displaystyle \frac{19,6}{\sqrt{n}}}$, et ${\displaystyle \frac{19,6}{\sqrt{n}}}⩽0,8$ $⟺\sqrt{n}⩾24,5$. Les deux membres sont positifs et la fonction carré est croissante sur $[0;+\infty [$ : $\sqrt{n}⩾24,5$ $⟺n⩾24,5^2$ $=600,25$. Le plus petit entier qui convient est $n=601$ (et non $600$, qui ne vérifie pas l’inégalité).
5. Plus petite taille pour une demi-largeur au plus égale à $1,6$ ms :
   $\sqrt{n}⩾{\displaystyle \frac{19,6}{1,6}}$ $=12,25$, donc $n⩾12,{25}^2=150,0625$ : le plus petit entier est $151$.

Une variable $X$ d’espérance $4$ et d’écart type $1,5$ est simulée, et moyenne(n) renvoie la moyenne d’un échantillon de taille $n$. On étudie la fonction suivante.

def proportion(N, n):
    c = 0
    for i in range(N):
        m = moyenne(n)
        e = 2 * 1.5 / sqrt(n)
        if abs(m - 4) <= e:
            c = c + 1
    return c / N

1. Valeur de e pour $n=36$ :
   ${\displaystyle \frac{2\times 1,5}{\sqrt{36}}}$ $={\displaystyle \frac{3}{6}}$ $=0,5$ : c’est ${\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}$.
2. Nombre total de valeurs de $X$ simulées par proportion(500, 36) :
   $500$ échantillons de $36$ valeurs : $500\times 36=18000$.
3. proportion(500, 36) a renvoyé $0,958$. Nombre d’échantillons qui ont passé le test :
   $0,958\times 500=479$ échantillons ont une moyenne entre $3,5$ et $4,5$ : environ $95\%$, comme l’annonce le cours.

Une simulation de $2000$ échantillons place $1906$ moyennes dans l’intervalle $[\mu -{\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}};\mu +{\displaystyle \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}}]$.

1. Proportion des échantillons dans l’intervalle :
   ${\displaystyle \frac{1906}{2000}}=0,953$.
2. Nombre d’échantillons hors de l’intervalle :
   $2000-1906=94$.
3. Pourcentage d’échantillons hors de l’intervalle : %
   ${\displaystyle \frac{94}{2000}}=0,047$, soit $4,7\%$ : proche des $5\%$ attendus.

On considère le programme suivant ($p$ est la probabilité d’un succès).

from random import random
from math import sqrt

def frequence(n, p):
    s = 0
    for k in range(n):
        if random() < p:
            s = s + 1
    return s / n

def etude(N, n, p):
    sigma = sqrt(p * (1 - p))
    e = 2 * sigma / sqrt(n)
    c = 0
    for i in range(N):
        f = frequence(n, p)
        if abs(f - p) <= e:
            c = c + 1
    return c / N

1. Valeur de sigma :
   $\sqrt{0,5\times 0,5}$ $=\sqrt{0,25}$ $=0,5$ : c’est l’écart type d’une variable de Bernoulli de paramètre $0,5$.
2. Valeur de e :
   ${\displaystyle \frac{2\times 0,5}{\sqrt{100}}}$ $={\displaystyle \frac{1}{10}}$ $=0,1$.
3. Justifier que le test abs(f - p) <= e équivaut à « le nombre $s$ de succès vérifie $⩽s⩽60$ ».
   Rédaction attendue. Ici $f={\displaystyle \frac{s}{100}}$, $p=0,5$ et $e=0,1$. Le test s’écrit $|{\displaystyle \frac{s}{100}}-0,5|⩽0,1$, c’est-à-dire $0,4⩽{\displaystyle \frac{s}{100}}⩽0,6$, soit $40⩽s⩽60$ en multipliant par $100>0$. La fonction renvoie donc la proportion des $2000$ échantillons simulés qui comptent entre $40$ et $60$ succès : une valeur de l’ordre de $0,95$ (ici plutôt autour de $0,96$, car $s$ ne prend que des valeurs entières), qui change d’une exécution à l’autre car random() produit de nouveaux tirages à chaque appel.

Avec le programme de l’exercice précédent, on exécute etude(1000, 4, 0.5).

1. Valeur de e :
   ${\displaystyle \frac{2\times 0,5}{\sqrt{4}}}$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}$ $=0,5$.
2. Démontrer que la fonction renvoie toujours la même valeur :
   Rédaction attendue. Une fréquence vérifie toujours $0⩽f⩽1$, donc $-0,5⩽f-0,5⩽0,5$, c’est-à-dire $|f-0,5|⩽0,5$. Tous les échantillons passent le test, $c=N$, et la fonction renvoie $1$ à chaque exécution. Le constat « environ $95\%$ » suppose $n$ assez grand : avec $4$ essais, la demi-largeur $0,5$ est si grande que le test ne sert à rien.