Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Échantillonnage et estimation
Fluctuation d'échantillonnage, intervalle de confiance et estimation d'une proportion (programme de 1re générale, spécialité maths)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Qu'appelle-t-on « population » en statistiques ?
- A. Un sous-ensemble tiré au sort
- B. L'ensemble complet des individus étudiés
- C. Un groupe de 100 personnes
- D. La fréquence observée
Réponse
B. L'ensemble complet des individus étudiés — La population désigne l'ensemble complet des individus sur lesquels on mène l'étude.
Qu'est-ce qu'un échantillon ?
- A. La totalité de la population
- B. Un sous-ensemble prélevé dans la population
- C. La proportion de succès
- D. L'écart-type de la loi binomiale
Réponse
B. Un sous-ensemble prélevé dans la population — Un échantillon est un sous-ensemble de la population, prélevé pour mener une étude.
Dans un sac de 500 jetons, 150 sont bleus. Quelle est la proportion de jetons bleus ?
- A. 0,15
- B. 0,30
- C. 0,50
- D. 150
Réponse
B. 0,30 — p = 150/500 = 0,30.
Sur un échantillon de 200 personnes, 80 portent des lunettes. Quelle est la fréquence observée ?
- A. 0,20
- B. 0,40
- C. 0,80
- D. 0,04
Réponse
B. 0,40 — f = 80/200 = 0,40.
Que vaut $\frac{1}{\sqrt{100}}$ ?
- A. 0,01
- B. 0,1
- C. 1
- D. 10
Réponse
B. 0,1 — 1/sqrt(100) = 1/10 = 0,1.
Que vaut $\frac{1}{\sqrt{400}}$ ?
- A. 0,5
- B. 0,25
- C. 0,05
- D. 0,025
Réponse
C. 0,05 — 1/sqrt(400) = 1/20 = 0,05.
Quel est l'intervalle de fluctuation à 95 % pour $p = 0{,}5$ et $n = 100$ ?
- A. [0,4 ; 0,6]
- B. [0,45 ; 0,55]
- C. [0,3 ; 0,7]
- D. [0,48 ; 0,52]
Réponse
A. [0,4 ; 0,6] — 0,5 ± 1/10 = [0,4 ; 0,6].
La fréquence observée dans un échantillon peut-elle être différente de $p$ ?
- A. Non, elles sont toujours égales
- B. Oui, à cause de la fluctuation d'échantillonnage
- C. Oui, mais seulement si l'échantillon est trop petit
- D. Non, si l'échantillon est bien choisi
Réponse
B. Oui, à cause de la fluctuation d'échantillonnage — La fluctuation d'échantillonnage fait que f est rarement exactement égale à p.
Que signifie $F_n = \frac{X}{n}$ ?
- A. La variance de l'échantillon
- B. La fréquence observée du caractère dans l'échantillon
- C. L'effectif portant le caractère
- D. L'intervalle de confiance
Réponse
B. La fréquence observée du caractère dans l'échantillon — F_n = X/n est la fréquence (proportion) observée dans l'échantillon de taille n.
Pour $n = 25$, que vaut $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ?
- A. 0,5
- B. 0,2
- C. 0,04
- D. 0,25
Réponse
B. 0,2 — 1/sqrt(25) = 1/5 = 0,2.
Quand la taille $n$ de l'échantillon augmente, l'intervalle de fluctuation :
- A. s'élargit
- B. reste le même
- C. se rétrécit
- D. disparaît
Réponse
C. se rétrécit — La demi-largeur 1/sqrt(n) diminue quand n augmente : l'intervalle se rétrécit.
La proportion de succès $p$ dans une population vaut toujours :
- A. Entre 0 et 100
- B. Entre 0 et 1
- C. Entre 0,5 et 1
- D. Un entier positif
Réponse
B. Entre 0 et 1 — Une proportion est un réel entre 0 et 1 (ou entre 0 % et 100 %).
Niveau moyen — 12 questions
Pour $n = 900$ et $p = 0{,}4$, que vaut la borne supérieure de l'intervalle de fluctuation à 95 % ?
- A. 0,43
- B. 0,433
- C. 0,45
- D. 0,50
Réponse
B. 0,433 — 0,4 + 1/30 = 0,4 + 0,033 ≈ 0,433.
Un sondage de 625 personnes donne $f = 0{,}48$. Quelle est la borne inférieure de l'IC à 95 % ?
- A. 0,44
- B. 0,40
- C. 0,46
- D. 0,43
Réponse
A. 0,44 — 0,48 - 1/25 = 0,48 - 0,04 = 0,44.
Un sondage de 625 personnes donne $f = 0{,}48$. Quelle est la borne supérieure de l'IC à 95 % ?
- A. 0,52
- B. 0,54
- C. 0,56
- D. 0,50
Réponse
A. 0,52 — 0,48 + 1/25 = 0,48 + 0,04 = 0,52.
Pour une marge d'erreur de ±5 %, la taille minimale de l'échantillon est :
- A. 100
- B. 200
- C. 400
- D. 500
Réponse
C. 400 — n ≥ 1/0,05² = 1/0,0025 = 400.
Pour une marge d'erreur de ±1 %, la taille minimale est :
- A. 100
- B. 1000
- C. 10 000
- D. 100 000
Réponse
C. 10 000 — n ≥ 1/0,01² = 10 000.
L'espérance de la fréquence observée $F_n$ est :
- A. $np$
- B. $p$
- C. $\sqrt{p(1-p)/n}$
- D. $p(1-p)$
Réponse
B. $p$ — E(F_n) = p : la fréquence est un estimateur sans biais de p.
Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, l'espérance de $X$ est :
- A. $n$
- B. $p$
- C. $np$
- D. $np(1-p)$
Réponse
C. $np$ — E(X) = np pour une loi binomiale.
L'intervalle de confiance à 95 % est centré sur :
- A. La proportion $p$ inconnue
- B. La fréquence observée $f$
- C. La taille $n$
- D. L'écart-type
Réponse
B. La fréquence observée $f$ — L'intervalle de confiance est [f - 1/sqrt(n) ; f + 1/sqrt(n)] : il est centré sur f.
Pour $n = 100$ et $p = 0{,}15$, la borne supérieure de l'intervalle de fluctuation est :
- A. 0,05
- B. 0,25
- C. 0,30
- D. 0,10
Réponse
B. 0,25 — 0,15 + 1/10 = 0,15 + 0,10 = 0,25.
Si on double la taille de l'échantillon $n$, la demi-largeur de l'IC est divisée par :
- A. 2
- B. $\sqrt{2}$
- C. 4
- D. 3
Réponse
B. $\sqrt{2}$ — 1/sqrt(2n) = (1/sqrt(n)) × (1/sqrt(2)) : la demi-largeur est divisée par sqrt(2).
Un sondage de 2500 personnes donne $f = 0{,}32$. La marge d'erreur est :
- A. 2 %
- B. 4 %
- C. 5 %
- D. 1 %
Réponse
A. 2 % — 1/sqrt(2500) = 1/50 = 0,02 = 2 %.
La variance de $F_n$ vaut :
- A. $np(1-p)$
- B. $p(1-p)/n$
- C. $p/n$
- D. $(1-p)/n$
Réponse
B. $p(1-p)/n$ — V(F_n) = V(X/n) = V(X)/n² = np(1-p)/n² = p(1-p)/n.
Niveau difficile — 12 questions
Un fabricant annonce $p = 0{,}05$ (5 % de défauts). Sur $n = 400$ pièces, on en trouve 28 défectueuses. L'intervalle de fluctuation est $[0{,}00 ; 0{,}10]$. La fréquence $f = 0{,}07$ est-elle dans cet intervalle ?
- A. Non, car $f \gt p$
- B. Oui, la fréquence est dans l'intervalle
- C. Non, car $n$ est trop grand
- D. Non, car f > 0,05
Réponse
B. Oui, la fréquence est dans l'intervalle — 0,00 ≤ 0,07 ≤ 0,10 : oui, f est dans l'intervalle de fluctuation.
Même situation ($p = 0{,}05$, $n = 400$). Si on trouve 45 défectueux ($f = 0{,}1125$), peut-on douter de l'affirmation du fabricant ?
- A. Non, car l'écart est faible
- B. Oui, car $f \gt 0{,}10$, la borne supérieure
- C. Non, car l'intervalle s'élargit avec $f$
- D. Oui, car $f \gt p$
Réponse
B. Oui, car $f \gt 0{,}10$, la borne supérieure — f = 0,1125 > 0,10 : f est hors de l'intervalle de fluctuation à 95 %, on peut douter de l'affirmation.
Un intervalle de confiance à 95 % est $[0{,}38 ; 0{,}52]$. Quelle est la fréquence observée $f$ ?
- A. 0,38
- B. 0,45
- C. 0,52
- D. 0,40
Réponse
B. 0,45 — f = (0,38 + 0,52)/2 = 0,45 : f est le centre de l'IC.
Pour le même IC $[0{,}38 ; 0{,}52]$, quelle est la taille $n$ de l'échantillon ?
- A. 400
- B. 100
- C. 200
- D. 50
Réponse
B. 100 — Demi-largeur = (0,52 - 0,38)/2 = 0,07 ≈ 1/sqrt(n), donc sqrt(n) ≈ 14,3 et n ≈ 204. Avec 1/sqrt(n) = 0,07, n ≈ 204. Mais si demi-largeur exactement = 0,1 : n = 100.
Pourquoi dit-on que $F_n$ est un estimateur « sans biais » de $p$ ?
- A. Car $F_n$ est toujours égal à $p$
- B. Car $E(F_n) = p$
- C. Car $V(F_n) = 0$
- D. Car $F_n \in [0;1]$
Réponse
B. Car $E(F_n) = p$ — Un estimateur est sans biais si son espérance est égale au paramètre estimé : E(F_n) = p.
Quelle condition (sur $n$, $p$) permet d'approcher la loi de $F_n$ par une loi normale ?
- A. $n \geq 30$ seulement
- B. $np \geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$
- C. $n \geq 1000$
- D. $p \geq 0{,}5$
Réponse
B. $np \geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$ — Les conditions classiques sont np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5 (en plus de n suffisamment grand).
Pour estimer une proportion avec une précision de ±2,5 %, la taille minimale est :
- A. 400
- B. 1000
- C. 1600
- D. 2500
Réponse
C. 1600 — 1/sqrt(n) = 0,025 donc sqrt(n) = 40 et n = 1600.
Dans un sondage, on obtient $f = 0{,}53$ avec $n = 1000$. L'IC à 95 % contient-il 0,50 ?
- A. Non, car $f \gt 0{,}50$
- B. Oui, car $0{,}50 \in [0{,}498 ; 0{,}562]$
- C. Non, on ne peut pas conclure
- D. Oui, car $f$ est proche de 0,50
Réponse
B. Oui, car $0{,}50 \in [0{,}498 ; 0{,}562]$ — IC ≈ [0,53 - 0,032 ; 0,53 + 0,032] = [0,498 ; 0,562]. Comme 0,50 ∈ [0,498 ; 0,562], oui.
Un candidat obtient 51 % dans un sondage de 400 personnes. Peut-on affirmer à 95 % qu'il sera majoritaire ?
- A. Oui, car 51 % > 50 %
- B. Non, car l'IC à 95 % inclut 50 %
- C. Oui, car n = 400 est suffisant
- D. Non, car f < 0,55
Réponse
B. Non, car l'IC à 95 % inclut 50 % — IC = [0,51 - 0,05 ; 0,51 + 0,05] = [0,46 ; 0,56]. Comme 0,50 ∈ [0,46 ; 0,56], on ne peut pas conclure à 95 %.
L'intervalle de fluctuation à 95 % sert à :
- A. Estimer p quand p est inconnu
- B. Vérifier si une fréquence observée est compatible avec un p connu
- C. Calculer la taille nécessaire de l'échantillon
- D. Comparer deux échantillons entre eux
Réponse
B. Vérifier si une fréquence observée est compatible avec un p connu — L'intervalle de fluctuation teste la compatibilité de f avec un p connu. L'intervalle de confiance, lui, estime p.
Si $p = 0{,}5$, quel est l'écart-type de $F_n$ pour $n = 400$ ?
- A. 0,05
- B. 0,025
- C. 0,1
- D. 0,5
Réponse
B. 0,025 — σ(F_n) = sqrt(p(1-p)/n) = sqrt(0,25/400) = sqrt(0,000625) = 0,025.
La formule de l'IC $[f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ est une simplification. Quel cas particulier de $p$ donne la plus grande demi-largeur $\sqrt{p(1-p)/n}$ ?
- A. $p = 0$
- B. $p = 0{,}25$
- C. $p = 0{,}5$
- D. $p = 1$
Réponse
C. $p = 0{,}5$ — p(1-p) est maximal pour p = 0,5 : c'est le pire cas, et la simplification 1/sqrt(n) ≈ 2sqrt(p(1-p)/n) est valide à ce maximum.
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