Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Expérimentations : simuler des échantillons
Simuler une variable aléatoire en Python, moyenne d’un échantillon de taille n et fluctuation, proportion des échantillons tels que |m − μ| ⩽ 2σ/√n, effet de la taille de l’échantillon.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Un échantillon de taille n de la loi de X est :
- A. la liste de toutes les valeurs que X peut prendre
- B. n valeurs de X, obtenues par n répétitions indépendantes
- C. la probabilité que X prenne exactement n valeurs
- D. les n plus grandes valeurs que X peut prendre
Réponse
B. n valeurs de X, obtenues par n répétitions indépendantes — Un échantillon de taille n s’obtient en répétant n fois, de façon indépendante, l’expérience qui définit X.
La fluctuation d’échantillonnage désigne :
- A. le changement de l’espérance μ d’un tirage à l’autre
- B. l’erreur commise en arrondissant la moyenne observée
- C. un défaut du programme Python de simulation
- D. la variation de la moyenne m d’un échantillon à l’autre
Réponse
D. la variation de la moyenne m d’un échantillon à l’autre — L’espérance μ est fixe ; c’est la moyenne m qui change d’un échantillon à l’autre, à cause du hasard du tirage.
En Python, random() renvoie :
- A. un réel au hasard dans [0 ; 1[
- B. un entier au hasard égal à 0 ou à 1
- C. un réel au hasard dans [0 ; 100]
- D. un entier au hasard de 1 à 10
Réponse
A. un réel au hasard dans [0 ; 1[ — random() renvoie un nombre réel de l’intervalle [0 ; 1[ ; pour un entier, on utilise randint(a, b).
randint(1, 6) peut renvoyer :
- A. les entiers de 1 à 5 seulement
- B. tous les réels compris entre 1 et 6
- C. les entiers de 1 à 6, 6 compris
- D. les entiers de 0 à 6, 0 compris
Réponse
C. les entiers de 1 à 6, 6 compris — Les deux bornes de randint sont comprises : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Le test random() < 0.25 est vrai avec la probabilité :
- A. 0,75
- B. 0,25
- C. 0,5
- D. 0,025
Réponse
B. 0,25 — random() tombe dans [0 ; 0,25[ avec une probabilité égale à la longueur de l’intervalle : 0,25.
L’intervalle qui contient la moyenne d’environ 95 % des échantillons est :
- A. [μ − σ/(2√n) ; μ + σ/(2√n)]
- B. [μ − 2σ/n ; μ + 2σ/n]
- C. [μ − σ√n ; μ + σ√n]
- D. [μ − 2σ/√n ; μ + 2σ/√n]
Réponse
D. [μ − 2σ/√n ; μ + 2σ/√n] — C’est la règle du chapitre : |m − μ| ≤ 2σ/√n dans environ 95 % des échantillons, avec la racine carrée de n au dénominateur.
Pour μ = 45,2, σ = 6,4 et n = 1 024, l’intervalle est :
- A. [44,8 ; 45,6]
- B. [44,6 ; 45,8]
- C. [45,0 ; 45,4]
- D. [38,8 ; 51,6]
Réponse
A. [44,8 ; 45,6] — √1 024 = 32, donc 2 × 6,4 / 32 = 12,8 / 32 = 0,4 : l’intervalle est [45,2 − 0,4 ; 45,2 + 0,4].
Quand la taille n est multipliée par 4, la demi-largeur 2σ/√n :
- A. est multipliée par 2
- B. est divisée par 4
- C. est divisée par 2
- D. ne change pas du tout
Réponse
C. est divisée par 2 — 2σ/√(4n) = 2σ/(2√n) : elle est divisée par √4 = 2, et non par 4.
Pour une variable de Bernoulli de paramètre 0,5, l’écart type vaut :
- A. 0,25
- B. 1
- C. 0,75
- D. 0,5
Réponse
D. 0,5 — σ = √(0,5 × 0,5) = √0,25 = 0,5. La valeur 0,25 est la variance.
Deux échantillons de même taille donnent des moyennes différentes. C’est :
- A. le signe d’une erreur dans le protocole
- B. normal : c’est la fluctuation d’échantillonnage
- C. impossible si le tirage est vraiment au hasard
- D. la preuve que l’espérance μ a changé
Réponse
B. normal : c’est la fluctuation d’échantillonnage — Deux échantillons tirés au hasard ont en général des moyennes différentes : c’est attendu, et c’est ce que la règle des 2σ/√n mesure.
La fréquence d’un caractère dans un échantillon est :
- A. l’espérance de la variable aléatoire étudiée
- B. l’écart type d’un échantillon de 0 et de 1
- C. la moyenne d’un échantillon de 0 et de 1
- D. la probabilité p fixée par le modèle
Réponse
C. la moyenne d’un échantillon de 0 et de 1 — En codant 1 la présence du caractère et 0 son absence, la somme compte les 1 : la moyenne est la fréquence.
Sur 289 personnes, 102 possèdent le caractère. La fréquence vaut environ :
- A. 0,353
- B. 0,289
- C. 0,102
- D. 2,833
Réponse
A. 0,353 — 102 / 289 ≈ 0,352 9, soit 0,353 au millième. 2,833 correspond au quotient inversé.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
Pour μ = 7, σ = 2 et n = 100, la moyenne est, dans environ 95 % des échantillons, dans :
- A. [6,8 ; 7,2]
- B. [5 ; 9]
- C. [6,6 ; 7,4]
- D. [6,96 ; 7,04]
Réponse
C. [6,6 ; 7,4] — 2σ/√n = 4 / 10 = 0,4 : l’intervalle est [7 − 0,4 ; 7 + 0,4].
Une simulation de 600 échantillons en place 571 dans l’intervalle. Cela fait environ :
- A. 94,2 %
- B. 95,2 %
- C. 96,2 %
- D. 57,1 %
Réponse
B. 95,2 % — 571 / 600 ≈ 0,951 7, soit environ 95,2 % : la simulation retrouve le constat des 95 %.
Si l’on double n, la demi-largeur 2σ/√n est :
- A. divisée par 2 : baisse de 50 %
- B. multipliée par √2, soit 1,41 fois
- C. inchangée, car σ ne change pas
- D. divisée par √2 : baisse d’environ 29 %
Réponse
D. divisée par √2 : baisse d’environ 29 % — 2σ/√(2n) = (1/√2) × 2σ/√n ≈ 0,707 × 2σ/√n : la baisse est d’environ 29 %, pas de 50 %.
Approfondissement : avec σ = 3, la plus petite taille n telle que 2σ/√n ≤ 0,2 est :
- A. 900
- B. 30
- C. 225
- D. 15
Réponse
A. 900 — 6/√n ≤ 0,2 donne √n ≥ 30, donc n ≥ 900. 30 est la valeur de √n ; 225 vient d’un oubli du facteur 2.
Dans une fonction moyenne(n), la ligne s = s + X() se place :
- A. avant la boucle, pour initialiser s
- B. après la boucle, avant le return
- C. dans la boucle, une fois par valeur
- D. dans le return, divisée par n
Réponse
C. dans la boucle, une fois par valeur — L’accumulateur s est initialisé avant la boucle ; chaque tour ajoute une valeur simulée ; on divise par n après la boucle.
X vaut 0, 1 ou 2 avec les probabilités 0,1 ; 0,6 ; 0,3. Les deux seuils du programme sont :
- A. 0,1 puis 0,6
- B. 0,1 puis 0,7
- C. 0,6 puis 0,3
- D. 0,1 puis 0,3
Réponse
B. 0,1 puis 0,7 — Les seuils sont cumulés : 0,1 puis 0,1 + 0,6 = 0,7. Le reste [0,7 ; 1[ a bien pour longueur 0,3.
Pour une variable de Bernoulli de paramètre 0,2 et n = 100, la demi-largeur 2σ/√n vaut :
- A. 0,04
- B. 0,16
- C. 0,8
- D. 0,08
Réponse
D. 0,08 — σ = √(0,2 × 0,8) = √0,16 = 0,4, puis 2 × 0,4 / 10 = 0,08.
Approfondissement : une moyenne observée sort de [μ − 2σ/√n ; μ + 2σ/√n]. On conclut :
- A. l’écart est surprenant : on doute du modèle
- B. le modèle est faux, c’est démontré
- C. le calcul de m est forcément faux
- D. l’échantillon est trop grand pour conclure
Réponse
A. l’écart est surprenant : on doute du modèle — Un tel écart n’arrive que dans environ 5 % des échantillons si le modèle est juste : on le met en doute, sans l’avoir démontré faux.
L’espérance de la variable simulée par randint(0, 4) vaut :
- A. 2,5
- B. 1,5
- C. 2
- D. 4
Réponse
C. 2 — Les 5 entiers 0, 1, 2, 3, 4 sont équiprobables : (0 + 1 + 2 + 3 + 4) / 5 = 10 / 5 = 2.
L’appel proportion(200, 50), avec la signature proportion(N, n), simule :
- A. 50 échantillons de taille 200
- B. 200 échantillons de taille 50
- C. 250 échantillons au total
- D. un seul échantillon de taille 200
Réponse
B. 200 échantillons de taille 50 — N = 200 est le nombre d’échantillons, n = 50 la taille de chacun : 10 000 valeurs simulées en tout.
Avec σ = 1,1, la taille qui donne une demi-largeur de 0,1 est :
- A. 22
- B. 121
- C. 242
- D. 484
Réponse
D. 484 — 2,2 / √n = 0,1 donne √n = 22, donc n = 22² = 484.
|m − 30| ≤ 0,6 équivaut à :
- A. 29,4 ≤ m ≤ 30,6
- B. m ≤ 30,6 seulement
- C. 29,7 ≤ m ≤ 30,3
- D. 30 ≤ m ≤ 30,6
Réponse
A. 29,4 ≤ m ≤ 30,6 — On encadre : −0,6 ≤ m − 30 ≤ 0,6, puis on ajoute 30.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Une simulation sur 100 échantillons seulement donne 0,93 au lieu d’environ 0,95. Le plus probable :
- A. la règle des 2σ/√n est fausse
- B. 100 échantillons, c’est peu : la proportion fluctue
- C. l’espérance du modèle vaut en réalité 0,93
- D. le programme Python contient une erreur
Réponse
B. 100 échantillons, c’est peu : la proportion fluctue — La proportion renvoyée est elle-même une fréquence calculée sur N échantillons : avec N = 100, un écart de 0,02 est courant.
La moyenne observée est dans l’intervalle. On peut affirmer :
- A. l’espérance μ est exactement égale à m
- B. le modèle vient d’être démontré exact
- C. 95 % des individus sont dans l’intervalle
- D. l’observation est compatible avec le modèle
Réponse
D. l’observation est compatible avec le modèle — Être dans l’intervalle signifie seulement que l’écart n’est pas surprenant : on ne rejette pas le modèle, sans le prouver.
Le seuil de 95 % signifie que, si le modèle est juste :
- A. environ 95 % des échantillons ont m dans l’intervalle
- B. 95 % des valeurs de X sont dans l’intervalle
- C. m a 95 % de chances d’être égale à μ
- D. on se trompe dans 95 % des décisions
Réponse
A. environ 95 % des échantillons ont m dans l’intervalle — Le pourcentage porte sur les échantillons, pas sur les valeurs de X ni sur les individus.
L’intervalle [μ − 2σ/√n ; μ + 2σ/√n] devient plus étroit lorsque :
- A. σ augmente, à n fixé
- B. μ diminue, à n fixé
- C. n augmente, à σ fixé
- D. on remplace 2σ par 3σ
Réponse
C. n augmente, à σ fixé — La demi-largeur 2σ/√n diminue quand n augmente. μ ne fait que déplacer l’intervalle.
Pour diviser par 3 la demi-largeur 2σ/√n, il faut multiplier n par :
- A. 3
- B. 6
- C. √3
- D. 9
Réponse
D. 9 — 2σ/√(9n) = 2σ/(3√n) : c’est le facteur 9 = 3² qui divise la demi-largeur par 3.
Code : if u < 0.4: return 0 ; elif u < 0.6: return 1 ; else: return 2. Alors P(X = 1) vaut :
- A. 0,6
- B. 0,2
- C. 0,4
- D. 0,1
Réponse
B. 0,2 — X = 1 quand 0,4 ≤ u < 0,6 : intervalle de longueur 0,6 − 0,4 = 0,2.
Le test randint(0, 9) <= 2 est vrai avec la probabilité :
- A. 0,3
- B. 0,2
- C. 0,25
- D. 2/9
Réponse
A. 0,3 — randint(0, 9) renvoie l’un des 10 entiers de 0 à 9 ; 0, 1 et 2 rendent le test vrai : 3/10.
Pour une variable de Bernoulli de paramètre p, la demi-largeur 2σ/√n est la plus grande quand :
- A. p = 1
- B. p = 0,25
- C. p = 0,5
- D. p = 0,9
Réponse
C. p = 0,5 — σ = √(p(1 − p)) et p(1 − p) ≤ 1/4, avec égalité pour p = 0,5 ; pour p = 1, σ = 0.
Une fonction moyenne(n) dont le return s / n est indenté dans la boucle renvoie :
- A. la moyenne des n valeurs simulées
- B. la somme des n valeurs simulées
- C. la dernière valeur simulée seule
- D. la première valeur divisée par n
Réponse
D. la première valeur divisée par n — Le return s’exécute dès le premier tour : s ne contient alors que la première valeur.
Avec σ = 2 et n = 16, le test du programme s’écrit |m − μ| ≤ :
- A. 0,5
- B. 1
- C. 0,25
- D. 4
Réponse
B. 1 — 2σ/√n = 4 / 4 = 1.
Approfondissement : avec σ = 0,5, la plus petite taille qui donne 2σ/√n ≤ 0,05 est :
- A. 400
- B. 20
- C. 100
- D. 200
Réponse
A. 400 — 1/√n ≤ 0,05 donne √n ≥ 20, donc n ≥ 400.
Pour p = 0,9 et n = 2 500, l’intervalle de la fréquence est :
- A. [0,88 ; 0,92]
- B. [0,894 ; 0,906]
- C. [0,888 ; 0,912]
- D. [0,7 ; 1,1]
Réponse
C. [0,888 ; 0,912] — σ = √(0,9 × 0,1) = 0,3 et √2 500 = 50 : 2 × 0,3 / 50 = 0,012.
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