Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Fiche de révision : probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilité d’un événement et événement contraire, probabilité conditionnelle avec un tableau croisé, probabilités composées, arbres pondérés, tests de dépistage, indépendance et répétition de n ⩽ 4 épreuves de Bernoulli, sans calculatrice.

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Probabilités conditionnelles et indépendance

Fiche méthode

(Maths 1re (tronc commun) · Phénomènes aléatoires · Épreuve anticipée)

La démarche pour une question de probabilités

1. Je nomme les événements et je traduis l’énoncé : « parmi … », « sachant … », « chez les … » donnent une probabilité conditionnelle ; une proportion de l’ensemble, une probabilité simple.

2. Je choisis l’outil : tableau croisé (effectifs), arbre pondéré (pourcentages en cascade), arbre à $n$ niveaux (épreuves répétées).

3. Je calcule à la main : quotient pour $P_{A} (B)$ , produit le long d’un chemin, somme des chemins, contraire pour « au moins un ».

4. Je contrôle et je conclus : chaque probabilité est entre $0$ et $1$ , chaque nœud fait $1$ , et ma phrase nomme la condition.

Le réflexe — savoir, à chaque calcul, ce que l’on sait déjà (la condition) et sur quelle population on raisonne.

Cas 1 · Probabilité, contraire, équiprobabilité

Réflexe — compter les issues favorables ; « pas », « aucun » : passer par le contraire.

Exemple. Exemple : une boîte contient $20$ sachets de thé : $6$ verts, $7$ noirs et $7$ à la menthe. On en prend un au hasard. Probabilité d’un thé noir ? d’un thé qui n’est pas vert ?

$\frac{7}{20} = 0, 35$ . « Pas vert » est le contraire de « vert » : $1 - \frac{6}{20} = 1 - 0, 3 = 0, 7$ .

Attention — Une probabilité est toujours entre 0 et 1 ; « A ou B » compte une seule fois les issues communes.

Cas 2 · Probabilité conditionnelle et tableau croisé

Réflexe — la condition va en indice et son effectif au dénominateur.

Exemple. Exemple : sur $500$ voyageurs d’un train, $180$ voyagent en première classe ( $F$ ), dont $72$ pour le travail ( $T$ ). $P (F)$ , $P (F \cap T)$ et $P_{F} (T)$ ?

$P (F) = \frac{180}{500} = 0, 36$ ; $P (F \cap T) = \frac{72}{500} = 0, 144$ ; $P_{F} (T) = \frac{72}{180} = 0, 4$ : $40 %$ des voyageurs de première classe voyagent pour le travail. Contrôle : $0, 36 \times 0, 4 = 0, 144$ .

Attention — P(A ∩ B) se divise par l’effectif total, P_A(B) par l’effectif de A.

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Cas 3 · Arbre pondéré

Réflexe — multiplier le long d’un chemin, additionner les chemins, diviser pour inverser.

Exemple. Exemple : $P (A) = 0, 3$ , $P_{A} (B) = 0, 6$ et $P_{\overset{―}{A}} (B) = 0, 2$ . $P (B)$ ? $P_{B} (A)$ ?

$P (A \cap B) = 0, 3 \times 0, 6 = 0, 18$ et $P (\overset{―}{A} \cap B) = 0, 7 \times 0, 2 = 0, 14$ , donc $P (B) = 0, 18 + 0, 14 = 0, 32$ . $P_{B} (A) = \frac{0, 18}{0, 32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$ .

Attention — Une branche porte P_A(B) ; le bout d’un chemin donne P(A ∩ B).

Cas 4 · Indépendance et épreuves répétées

Réflexe — comparer P(A ∩ B) et P(A) × P(B) ; compter les chemins ; « au moins un » = 1 − « aucun ».

Exemple. Exemple : $P (A) = 0, 45$ , $P (B) = 0, 2$ et $P (A \cap B) = 0, 09$ : indépendants ? Puis on lance $3$ fois une pièce équilibrée : probabilité d’au moins un pile ? d’exactement deux piles ?

$0, 45 \times 0, 2 = 0, 09 = P (A \cap B)$ : $A$ et $B$ sont indépendants. Pièce : aucun pile, $0, 5^{3} = 0, 125$ , donc au moins un pile, $1 - 0, 125 = 0, 875$ . Exactement deux piles : $3$ chemins de probabilité $0, 125$ , soit $0, 375$ .

Attention — Incompatibles n’est pas indépendants ; « au moins un succès » n’est jamais n × p.

Les pièges

Confondre P_A(B), lue sur une branche, et P(A ∩ B), au bout d’un chemin.
Inverser la condition : P_A(B) n’est pas P_B(A) (piège des faux positifs).
Additionner des probabilités conditionnelles qui n’ont pas la même condition.
Écrire P(A ∩ B) = P(A) × P(B) sans que l’indépendance soit donnée ou démontrée.
Croire que des événements incompatibles sont indépendants.
Calculer « au moins un succès » par n × p au lieu de 1 − (1 − p)ⁿ.
Oublier que, sans remise, les probabilités du second tirage changent.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour toute question de probabilités (nommer les événements, choisir entre tableau croisé et arbre, calculer à la main, contrôler), avec un exemple rédigé par cas : sachets de thé, voyageurs de première classe, arbre à deux niveaux, test d’indépendance et pièce lancée trois fois. Elle se termine par les sept pièges les plus fréquents.

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