Probabilités conditionnelles et indépendance

1. a)$P(\bar{A})=1-0,58=0,42$. (0,5)
2. b)Le mot a $11$ lettres, dont $5$ voyelles (O, A, I, I, É) : la probabilité vaut ${\displaystyle \frac{5}{11}}$. (0,5)
3. c)On se restreint aux $24$ internes : ${\displaystyle \frac{9}{24}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$. (0,5)
4. d)$P(A\cap B)=0,25\times 0,8=0,2$. (0,5)
5. e)$P_A(B)={\displaystyle \frac{0,12}{0,15}}={\displaystyle \frac{12}{15}}=0,8$. (0,5)
6. f)$P(B)=0,4\times 0,5+0,6\times 0,1=0,2+0,06=0,26$. (0,5)
7. g)Par indépendance, $P(A\cap B)=0,5\times 0,7=0,35$. (0,5)
8. h)${\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{36}}$. (0,5)

Repère — La condition va en indice et au dénominateur ; sur un arbre, on multiplie le long d’un chemin et on additionne les chemins.

1. a)Abonnés en numérique : $315-189=126$ ; non abonnés : $900-315=585$, dont $450-189=261$ en papier et $585-261=324$ en numérique ; total numérique : $126+324=450$. $P(A)={\displaystyle \frac{315}{900}}=0,35$ et $P(A\cap V)={\displaystyle \frac{189}{900}}=0,21$. (1)
2. b)$P_A(V)={\displaystyle \frac{189}{315}}=0,6$ : $60\%$ des abonnés lisent la version papier. (1)
3. c)$P_V(A)={\displaystyle \frac{189}{450}}=0,42$. Le numérateur est le même, mais la condition a changé : on divise par les $450$ lecteurs de la version papier, et non par les $315$ abonnés. (1)
4. d)$P(A)\times P(V)=0,35\times 0,5=0,175$, alors que $P(A\cap V)=0,21$ : les événements ne sont pas indépendants. Autrement dit, $P_A(V)=0,6$ n’est pas égal à $P(V)=0,5$. (1)

Méthode — Avant chaque division, se demander « sachant quoi ? » : la réponse désigne la ligne ou la colonne du dénominateur.

1. a)Premier niveau : $P(C)=0,55$ et $P(E)=0,45$. Second niveau : $P_C(G)=0,08$ et $P_C(\bar{G})=0,92$ ; $P_E(G)=0,14$ et $P_E(\bar{G})=0,86$. (1)
2. b)$P(C\cap G)=0,55\times 0,08=0,044$. (1)
3. c)Deux chemins mènent à $G$ : $P(E\cap G)=0,45\times 0,14=0,063$, donc $P(G)=0,044+0,063=0,107$. (1)
4. d)$P_G(E)={\displaystyle \frac{0,063}{0,107}}={\displaystyle \frac{63}{107}}$. Comme $2\times 63=126$ dépasse $107$, ${\displaystyle \frac{63}{107}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ : plus de la moitié des retours sous garantie concernent des vélos électriques, qui ne font pourtant que $45\%$ des ventes. (1)

Piège — Additionner 8 % et 14 % n’a aucun sens : ce sont des probabilités sachant deux conditions différentes.

1. a)Chaque paiement a deux issues : carte acceptée du premier coup (succès, $p=0,7$) ou refusée (échec, $0,3$). Les trois paiements ont la même probabilité de succès et sont indépendants : c’est une répétition de $3$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. L’arbre compte $2^3=8$ chemins. (1)
2. b)Un seul chemin : $0,7^3=0,343$. (1)
3. c)$3$ chemins (le refus concerne le 1er, le 2e ou le 3e automobiliste), chacun de probabilité $0,7^2\times 0,3=0,147$ : $3\times 0,147=0,441$. (1)
4. d)C’est le contraire de « les trois cartes sont acceptées » : $1-0,343=0,657$. (1)

À retenir — « Au moins un » se calcule presque toujours par l’événement contraire, qui ne correspond qu’à un seul chemin.

1. a)$P(M\cap R)=0,3\times 0,95=0,285$ et $P(\bar{M}\cap R)=0,7\times 0,06=0,042$. (1)
2. b)Deux chemins mènent à $R$ : $P(R)=0,285+0,042=0,327$. (1)
3. c)$P_R(M)={\displaystyle \frac{0,285}{0,327}}={\displaystyle \frac{285}{327}}={\displaystyle \frac{95}{109}}$. Comme $0,8\times 109=87,2$ est inférieur à $95$, ${\displaystyle \frac{95}{109}}>0,8$ : quand l’application répond « merle », c’est bien un merle dans plus de $80\%$ des cas. (1)
4. d)Le nombre $6\%$ est $P_{\bar{M}}(R)$ : l’erreur commise sur les seuls chants qui ne sont pas des merles. Un enregistrement est mal reconnu s’il est un merle non reconnu ou un autre chant pris pour un merle : $0,3\times 0,05+0,7\times 0,06=0,015+0,042=0,057$, soit $5,7\%$ des enregistrements. (1)

Contrôle — Un taux d’erreur se calcule sur toute la population : il faut additionner les chemins des deux sortes d’erreurs.