Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Probabilités conditionnelles et indépendance
Probabilité sachant un événement, arbres pondérés et indépendance — 1re sans spé maths
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Probabilité sachant un événement et arbre
/ 4 pts- Une urne contient 5 boules blanches (B) et 3 boules noires (N). On tire deux boules successivement et sans remise.
- 1. Représente la situation par un arbre pondéré en indiquant toutes les probabilités sur les branches.
- 2. Calcule $P(B_1\cap N_2)$ (première blanche, deuxième noire).
- 3. Calcule $P(N_2)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.
Exercice 2 — Formule des probabilités totales
/ 4 pts- Une boulangerie reçoit ses farines de deux fournisseurs : 70 % du fournisseur F₁ et 30 % du fournisseur F₂. Une livraison est non conforme dans 5 % des cas pour F₁ et dans 10 % des cas pour F₂.
- On choisit une livraison au hasard.
- 1. Représente la situation par un arbre pondéré.
- 2. Calcule la probabilité $P(N)$ qu'une livraison soit non conforme.
- 3. Sachant qu'une livraison est non conforme, calcule la probabilité qu'elle provienne de F₂. Arrondis au centième.
Exercice 3 — Indépendance d'événements
/ 4 pts- On lance deux dés équilibrés à 6 faces. Soit $A$ = « le premier dé donne un 5 » et $B$ = « le second dé donne un nombre pair ».
- 1. Calcule $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$.
- 2. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifie.
- 3. Explique pourquoi ce résultat est logique dans cette situation.
Exercice 4 — Problème concret — application
/ 4 pts- Dans un club, 40 % des membres sont des juniors (J) et 60 % des seniors. Parmi les juniors, 30 % participent au tournoi (T) ; parmi les seniors, 50 % y participent.
- On choisit un membre au hasard.
- 1. Calcule la probabilité qu'il soit junior et participe au tournoi.
- 2. Calcule la probabilité $P(T)$ qu'un membre participe au tournoi.
- 3. Sachant qu'un membre participe au tournoi, calcule la probabilité qu'il soit senior. Arrondis au centième.
Exercice 5 — Synthèse — dépistage d'une maladie rare
/ 4 pts- Une maladie touche 1 % d'une population. Un test est positif (+) dans 90 % des cas si la personne est malade (M), et positif dans 5 % des cas si elle est saine.
- On teste une personne au hasard.
- 1. Calcule $P(+)$, la probabilité que le test soit positif.
- 2. Sachant que le test est positif, calcule la probabilité que la personne soit réellement malade. Arrondis au centième.
- 3. Commente : que penses-tu de la fiabilité du test pour une maladie aussi rare ?
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Probabilité sachant un événement et arbre
Corrigé :
1. Niveau 1 : $B_1$ (proba $\frac{5}{8}$), $N_1$ (proba $\frac{3}{8}$). Après $B_1$ : $B_2$ ($\frac{4}{7}$), $N_2$ ($\frac{3}{7}$). Après $N_1$ : $B_2$ ($\frac{5}{7}$), $N_2$ ($\frac{2}{7}$).
2. $P(B_1\cap N_2)=\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}=\frac{15}{56}$.
3. $P(N_2)=\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}+\frac{3}{8}\times\frac{2}{7}=\frac{15}{56}+\frac{6}{56}=\frac{21}{56}=\frac{3}{8}$.
Exercice 2 — Formule des probabilités totales
Corrigé :
1. Branches : $F_1$ (0,7) puis non conforme (0,05) ; $F_2$ (0,3) puis non conforme (0,10).
2. $P(N)=0{,}7\times 0{,}05+0{,}3\times 0{,}10=0{,}035+0{,}030=0{,}065$ soit $6{,}5\,\%$.
3. $P_N(F_2)=\dfrac{P(F_2)\times P_{F_2}(N)}{P(N)}=\dfrac{0{,}3\times 0{,}10}{0{,}065}=\dfrac{0{,}030}{0{,}065}\approx 0{,}46$, soit environ 46 %.
Exercice 3 — Indépendance d'événements
Corrigé :
1. $P(A)=\frac{1}{6}$, $P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. $A\cap B$ = « premier dé 5 et second pair » = 3 issues sur 36, donc $P(A\cap B)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.
2. $P(A)\times P(B)=\frac{1}{6}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{12}=P(A\cap B)$. Donc $A$ et $B$ sont indépendants.
3. C'est logique : les deux dés n'ont aucune influence l'un sur l'autre, le résultat de l'un ne change pas les probabilités de l'autre.
Exercice 4 — Problème concret — application
Corrigé :
1. $P(J\cap T)=P(J)\times P_J(T)=0{,}4\times 0{,}30=0{,}12$.
2. $P(T)=0{,}4\times 0{,}30+0{,}6\times 0{,}50=0{,}12+0{,}30=0{,}42$.
3. $P_T(\text{senior})=\dfrac{0{,}6\times 0{,}50}{0{,}42}=\dfrac{0{,}30}{0{,}42}\approx 0{,}71$, soit environ 71 %.
Exercice 5 — Synthèse — dépistage d'une maladie rare
Corrigé :
1. $P(+)=P(M)\times P_M(+)+P(\bar{M})\times P_{\bar{M}}(+)=0{,}01\times 0{,}90+0{,}99\times 0{,}05=0{,}009+0{,}0495=0{,}0585$.
2. $P_+(M)=\dfrac{0{,}01\times 0{,}90}{0{,}0585}=\dfrac{0{,}009}{0{,}0585}\approx 0{,}15$, soit environ 15 %.
3. Même avec un test plutôt bon, comme la maladie est très rare, une personne testée positive n'a qu'environ 15 % de chances d'être réellement malade : les faux positifs (personnes saines testées +) sont bien plus nombreux que les vrais malades. Un test positif doit donc être confirmé.
Ce contrôle de mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Probabilités conditionnelles et indépendance » : 5 exercices, 55 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Probabilité sachant un événement et arbre/ 4 pts
- Exercice 2 — Formule des probabilités totales/ 4 pts
- Exercice 3 — Indépendance d'événements/ 4 pts
- Exercice 4 — Problème concret — application/ 4 pts
- Exercice 5 — Synthèse — dépistage d'une maladie rare/ 4 pts
Notions évaluées
Rappels de probabilités, Probabilité conditionnelle : P sachant A, Arbres pondérés : multiplier et additionner, Formule des probabilités totales (cas simples), Indépendance de deux événements, Méthode : choisir le bon outil.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 55 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
Voir tous les contrôles de mathématiques 1ʳᵉ · tous les devoirs surveillés corrigés
Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Probabilités conditionnelles et indépendance » ?
- 55 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 55 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Probabilités conditionnelles et indépendance » du programme officiel de mathématiques en première, soit Rappels de probabilités, Probabilité conditionnelle : P sachant A, Arbres pondérés : multiplier et additionner, Formule des probabilités totales (cas simples).
Cours particuliers de mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs