Je réserve ici
Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilité d’un événement et événement contraire, probabilité conditionnelle avec un tableau croisé, probabilités composées, arbres pondérés, tests de dépistage, indépendance et répétition de n ⩽ 4 épreuves de Bernoulli, sans calculatrice.

À propos de cette page
Un QCM sur les probabilités conditionnelles en trois niveaux de douze questions à quatre choix : notations, événement contraire, tableau croisé, probabilités composées, arbres pondérés, tirages sans remise, tests de dépistage, indépendance et épreuves de Bernoulli répétées. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Pour deux événements A et B avec P(A) ≠ 0, on a toujours :

    • A. P(A ∩ B) = P(A) × PA(B)
    • B. P(A ∩ B) = P(A) + PA(B)
    • C. P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
    • D. P(A ∩ B) = PA(B) ÷ P(A)
    Réponse

    A. P(A ∩ B) = P(A) × PA(B) — C’est la formule des probabilités composées : on multiplie la définition PA(B) = P(A ∩ B) ÷ P(A) par P(A). L’égalité P(A ∩ B) = P(A) × P(B) n’est vraie que si A et B sont indépendants.

  2. On donne P(A) = 0,8 et PA(B) = 0,35. Alors P(A ∩ B) vaut :

    • A. 1,15
    • B. 0,28
    • C. 0,4375
    • D. 0,45
    Réponse

    B. 0,28 — P(A ∩ B) = P(A) × PA(B) = 0,8 × 0,35 = 0,28. Le quotient 0,35 ÷ 0,8 = 0,4375 n’a pas de sens ici, et 1,15 dépasse 1.

  3. P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 et P(A ∩ B) = 0,15. Les événements A et B sont :

    • A. incompatibles
    • B. contraires l’un de l’autre
    • C. indépendants
    • D. ni indépendants ni incompatibles
    Réponse

    C. indépendants — P(A) × P(B) = 0,5 × 0,3 = 0,15 = P(A ∩ B) : A et B sont indépendants. Ils ne sont pas incompatibles, puisque P(A ∩ B) n’est pas nul.

  4. On lance deux fois une pièce équilibrée. La probabilité d’obtenir deux fois pile est :

    • A. 1
    • B. 0,75
    • C. 0,5
    • D. 0,25
    Réponse

    D. 0,25 — Les deux lancers sont indépendants : le chemin « pile puis pile » a pour probabilité 0,5 × 0,5 = 0,25. On retrouve les 4 issues équiprobables PP, PF, FP, FF.

  5. Sur 50 clients d’un restaurant, 30 ont une carte de fidélité et, parmi eux, 18 ont pris un dessert. On choisit au hasard un client qui a la carte. La probabilité qu’il ait pris un dessert vaut :

    • A. 0,6
    • B. 0,36
    • C. 0,5
    • D. 0,75
    Réponse

    A. 0,6 — On se restreint aux 30 clients qui ont la carte : 18/30 = 0,6. Le nombre 0,36 = 18/50 serait la probabilité d’avoir la carte et d’avoir pris un dessert.

  6. Si P(A) = 0,15, la probabilité de l’événement contraire de A vaut :

    • A. 0,58
    • B. 0,85
    • C. 0,15
    • D. 1,15
    Réponse

    B. 0,85 — P(A̅) = 1 − P(A) = 1 − 0,15 = 0,85. Une probabilité ne dépasse jamais 1.

  7. On choisit au hasard un nombre entier de 1 à 20. La probabilité qu’il soit un multiple de 6 est :

    • A. 1/6
    • B. 3/10
    • C. 3/20
    • D. 1/3
    Réponse

    C. 3/20 — Multiples de 6 entre 1 et 20 : 6, 12 et 18, soit 3 issues favorables sur 20 équiprobables : 3/20.

  8. T : « le test est positif », M : « la personne est malade ». La notation PT(M) désigne la probabilité :

    • A. d’être malade et d’avoir un test positif
    • B. d’avoir un test positif sachant qu’on est malade
    • C. d’être malade ou d’avoir un test positif
    • D. d’être malade sachant que le test est positif
    Réponse

    D. d’être malade sachant que le test est positif — L’indice est la condition : on sait que le test est positif, et l’on cherche la probabilité d’être malade. Être malade et testé positif s’écrit P(M ∩ T) ; PM(T) est la sensibilité du test.

  9. Un tableau croisé donne des effectifs et l’on choisit un individu au hasard. Pour obtenir PA(B), on divise l’effectif de la case « A et B » par :

    • A. l’effectif de A
    • B. l’effectif total
    • C. l’effectif de B
    • D. la somme des effectifs de A et de B
    Réponse

    A. l’effectif de A — La condition est A : on réduit la population aux individus de A, et l’on divise par leur effectif (total de la ligne ou de la colonne de A).

  10. Laquelle de ces expériences est une épreuve de Bernoulli ?

    • A. lancer un dé et noter le résultat obtenu
    • B. lancer un dé et regarder si l’on obtient 6
    • C. tirer deux cartes et noter leurs valeurs
    • D. lancer trois pièces et compter les piles
    Réponse

    B. lancer un dé et regarder si l’on obtient 6 — Une épreuve de Bernoulli a exactement deux issues, succès et échec : « obtenir 6 » ou « ne pas obtenir 6 ». Noter le résultat d’un dé donne six issues.

  11. Combien de chemins compte l’arbre de trois épreuves de Bernoulli successives ?

    • A. 3
    • B. 6
    • C. 8
    • D. 9
    Réponse

    C. 8 — Chaque épreuve double le nombre de chemins : 2 × 2 × 2 = 8.

  12. Sur un arbre pondéré, le nombre obtenu au bout du chemin « A puis B » est :

    • A. PA(B)
    • B. P(B)
    • C. PB(A)
    • D. P(A ∩ B)
    Réponse

    D. P(A ∩ B) — La probabilité d’un chemin est le produit de ses branches : P(A) × PA(B) = P(A ∩ B). La branche de A vers B porte PA(B).

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. On donne P(B) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,18. Alors PB(A) vaut :

    • A. 0,36
    • B. 0,32
    • C. 0,09
    • D. 0,68
    Réponse

    A. 0,36 — La condition est B : PB(A) = 0,18 ÷ 0,5 = 0,36. Le produit 0,18 × 0,5 = 0,09 n’a pas de sens ici.

  2. Sur un arbre, P(A) = 0,6, PA(D) = 0,1 et PA̅(D) = 0,35. La probabilité P(D) vaut :

    • A. 0,45
    • B. 0,2
    • C. 0,27
    • D. 0,14
    Réponse

    B. 0,2 — Deux chemins mènent à D : 0,6 × 0,1 + 0,4 × 0,35 = 0,06 + 0,14 = 0,2. Additionner 0,1 et 0,35 n’a aucun sens : les conditions sont différentes.

  3. Sur un arbre, P(A) = 0,6, PA(D) = 0,1 et P(D) = 0,2. Alors PD(A) vaut :

    • A. 0,1
    • B. 0,06
    • C. 0,3
    • D. 0,12
    Réponse

    C. 0,3 — PD(A) = P(A ∩ D) ÷ P(D) = (0,6 × 0,1) ÷ 0,2 = 0,06 ÷ 0,2 = 0,3. Il ne faut pas la confondre avec PA(D) = 0,1.

  4. A et B sont indépendants, avec P(A) = 0,25 et P(B) = 0,6. La probabilité qu’aucun des deux ne se réalise vaut :

    • A. 0,15
    • B. 0,85
    • C. 0,45
    • D. 0,3
    Réponse

    D. 0,3 — A̅ et B̅ sont indépendants : 0,75 × 0,4 = 0,3. Le nombre 0,15 = 0,25 × 0,6 est P(A ∩ B).

  5. On répète 3 fois, de façon indépendante, une épreuve de succès p = 0,2. La probabilité d’obtenir au moins un succès vaut :

    • A. 0,488
    • B. 0,6
    • C. 0,512
    • D. 0,008
    Réponse

    A. 0,488 — Aucun succès : 0,8³ = 0,512 ; au moins un succès : 1 − 0,512 = 0,488. Le calcul 3 × 0,2 = 0,6 est faux.

  6. Sur 200 personnes, 80 sont des femmes, dont 24 courent régulièrement ; au total, 60 personnes courent. On choisit au hasard une personne qui court. La probabilité que ce soit une femme vaut :

    • A. 0,3
    • B. 0,4
    • C. 0,12
    • D. 0,6
    Réponse

    B. 0,4 — La condition est « courir » : on divise par 60, 24/60 = 0,4. Le rapport 24/80 = 0,3 est la probabilité de courir sachant que la personne est une femme.

  7. On donne P(A) = 0,55 et PA(B) = 0,2. Alors P(A ∩ B̅) vaut :

    • A. 0,35
    • B. 0,11
    • C. 0,44
    • D. 0,8
    Réponse

    C. 0,44 — PA(B̅) = 1 − 0,2 = 0,8, donc P(A ∩ B̅) = 0,55 × 0,8 = 0,44. Contrôle : 0,11 + 0,44 = 0,55 = P(A).

  8. Un sac contient 4 jetons rouges et 6 bleus. On tire deux jetons successivement, sans remise. La probabilité d’obtenir deux jetons rouges est :

    • A. 4/25
    • B. 1/6
    • C. 7/15
    • D. 2/15
    Réponse

    D. 2/15 — Sans remise, il ne reste que 3 jetons rouges sur 9 au second tirage : 4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15. Avec remise, on trouverait 4/10 × 4/10 = 4/25.

  9. Sur 500 billets d’une tombola, 200 sont bleus, dont 50 gagnants ; il y a 80 billets gagnants en tout. On prend au hasard un billet gagnant. La probabilité qu’il soit bleu vaut :

    • A. 5/8
    • B. 1/4
    • C. 1/10
    • D. 2/5
    Réponse

    A. 5/8 — La condition est « gagnant » : 50 billets bleus parmi les 80 gagnants, 50/80 = 5/8. Le rapport 50/200 = 1/4 est la probabilité qu’un billet bleu soit gagnant.

  10. On répète deux fois, de façon indépendante, une épreuve dont le succès a pour probabilité 0,1. La probabilité d’obtenir un seul succès vaut :

    • A. 0,09
    • B. 0,18
    • C. 0,2
    • D. 0,01
    Réponse

    B. 0,18 — Deux chemins, succès puis échec ou échec puis succès, chacun de probabilité 0,1 × 0,9 = 0,09 : 2 × 0,09 = 0,18.

  11. On donne P(A ∩ B) = 0,12 et PA(B) = 0,3. Alors P(A) vaut :

    • A. 0,036
    • B. 0,42
    • C. 0,4
    • D. 0,25
    Réponse

    C. 0,4 — P(A ∩ B) = P(A) × PA(B) donne P(A) = 0,12 ÷ 0,3 = 0,4.

  12. Sur 1 000 personnes, 50 sont malades. Un test est positif pour 45 malades et pour 95 personnes non malades. La probabilité qu’une personne testée positive soit malade vaut :

    • A. 9/10
    • B. 9/200
    • C. 1/20
    • D. 9/28
    Réponse

    D. 9/28 — Il y a 45 + 95 = 140 tests positifs, dont 45 chez des malades : 45/140 = 9/28. Le rapport 45/50 = 9/10 est la sensibilité du test.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. A et B sont incompatibles, avec P(A) = 0,2 et P(B) = 0,5. On peut affirmer que :

    • A. A et B ne sont pas indépendants
    • B. A et B sont indépendants
    • C. P(A ∩ B) = 0,1
    • D. PA(B) = 0,5
    Réponse

    A. A et B ne sont pas indépendants — Incompatibles : P(A ∩ B) = 0, alors que P(A) × P(B) = 0,1. L’égalité de l’indépendance est fausse : la réalisation de A interdit B.

  2. Une maladie touche 1 % de la population. Un test détecte 99 % des porteurs mais déclare positifs 5 % des non-porteurs. La probabilité qu’une personne testée positive soit malade vaut :

    • A. 0,99
    • B. 1/6
    • C. 0,5
    • D. 0,05
    Réponse

    B. 1/6 — P(M ∩ T) = 0,01 × 0,99 = 0,0099 et P(T) = 0,0099 + 0,99 × 0,05 = 0,0594, donc PT(M) = 0,0099 ÷ 0,0594 = 1/6. C’est le piège des faux positifs : PT(M) n’est pas PM(T).

  3. A et B sont indépendants, avec P(A) = 0,3 et P(B) = 0,4. La probabilité qu’un seul des deux se réalise vaut :

    • A. 0,7
    • B. 0,58
    • C. 0,46
    • D. 0,12
    Réponse

    C. 0,46 — Deux cas incompatibles : A sans B, 0,3 × 0,6 = 0,18, et B sans A, 0,7 × 0,4 = 0,28 ; total 0,46. Le nombre 0,58 est la probabilité d’au moins un des deux.

  4. On sait que PA(B) = 0,6 et PA̅(B) = 0,6, avec 0 < P(A) < 1. On peut affirmer que :

    • A. A et B sont incompatibles
    • B. P(B) = 0,36
    • C. P(B) = 0,6 × P(A)
    • D. A et B sont indépendants
    Réponse

    D. A et B sont indépendants — Deux chemins mènent à B : P(B) = P(A) × 0,6 + P(A̅) × 0,6 = 0,6. Donc PA(B) = P(B) : la condition ne change rien, A et B sont indépendants.

  5. On a P(A) = x, PA(D) = 0,2, PA̅(D) = 0,05 et P(D) = 0,11. La valeur de x est :

    • A. 0,4
    • B. 0,25
    • C. 0,3
    • D. 0,55
    Réponse

    A. 0,4 — Somme des chemins : 0,2x + 0,05(1 − x) = 0,11, soit 0,15x = 0,06 et x = 0,4. Contrôle : 0,4 × 0,2 + 0,6 × 0,05 = 0,08 + 0,03 = 0,11.

  6. On répète 4 fois une épreuve de succès p = 0,5, de façon indépendante. La probabilité d’obtenir au moins trois succès vaut :

    • A. 1/4
    • B. 5/16
    • C. 1/2
    • D. 1/16
    Réponse

    B. 5/16 — Les 16 chemins sont équiprobables, de probabilité 1/16. Il y en a 4 avec exactement trois succès et 1 avec quatre succès : 5/16.

  7. Si P(A ∩ B) > P(A) × P(B), avec P(A) ≠ 0, alors :

    • A. PA(B) < P(B)
    • B. A et B sont indépendants
    • C. PA(B) > P(B)
    • D. A et B sont incompatibles
    Réponse

    C. PA(B) > P(B) — En divisant par P(A) > 0 : P(A ∩ B) ÷ P(A) > P(B), c’est-à-dire PA(B) > P(B). Savoir que A est réalisé rend B plus probable.

  8. Sur un arbre, P(A) = 0,5, PA(B) = 0,8 et PA̅(B) = 0,4. Sachant que B est réalisé, la probabilité de A vaut :

    • A. 0,8
    • B. 0,4
    • C. 1/2
    • D. 2/3
    Réponse

    D. 2/3 — P(A ∩ B) = 0,5 × 0,8 = 0,4 et P(B) = 0,4 + 0,5 × 0,4 = 0,6, donc PB(A) = 0,4 ÷ 0,6 = 2/3. Le nombre 0,8 est PA(B).

  9. Une épreuve de succès p = 0,6 est répétée 3 fois, de façon indépendante. La probabilité d’obtenir exactement 2 succès vaut :

    • A. 0,432
    • B. 0,144
    • C. 0,36
    • D. 0,216
    Réponse

    A. 0,432 — 3 chemins ont exactement 2 succès, chacun de probabilité 0,6² × 0,4 = 0,144 : 3 × 0,144 = 0,432.

  10. Un événement a la probabilité 0,9. On répète l’expérience 3 fois, de façon indépendante. La probabilité qu’il se réalise au moins une fois vaut :

    • A. 0,729
    • B. 0,999
    • C. 2,7
    • D. 0,271
    Réponse

    B. 0,999 — Il ne se réalise aucune fois avec la probabilité 0,1³ = 0,001, donc au moins une fois avec 1 − 0,001 = 0,999. Le nombre 0,729 = 0,9³ correspond à « les trois fois ».

  11. A et B sont indépendants, avec P(A) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,24. Alors P(A̅ ∩ B) vaut :

    • A. 0,16
    • B. 0,24
    • C. 0,36
    • D. 0,6
    Réponse

    C. 0,36 — P(B) = 0,24 ÷ 0,4 = 0,6 par indépendance. A̅ et B sont aussi indépendants : 0,6 × 0,6 = 0,36.

  12. On lance 4 fois une pièce équilibrée. La probabilité d’obtenir autant de piles que de faces vaut :

    • A. 1/2
    • B. 1/4
    • C. 1/16
    • D. 3/8
    Réponse

    D. 3/8 — 6 des 16 chemins équiprobables comportent 2 piles et 2 faces (PPFF, PFPF, PFFP, FPPF, FPFP, FFPP) : 6/16 = 3/8.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs