Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Probabilités conditionnelles et indépendance
Probabilité sachant un événement, arbres pondérés et indépendance — 1re sans spé maths
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
La notation P_A(B) se lit :
- A. probabilité de A sachant B
- B. probabilité de B sachant A
- C. probabilité de A et B
- D. probabilité de A ou B
Réponse
B. probabilité de B sachant A — P_A(B) signifie : probabilité de B sachant que A est réalisé.
La formule de la probabilité conditionnelle P_A(B) est :
- A. P(A)+P(B)
- B. P(A∩B)/P(A)
- C. P(A∩B)/P(B)
- D. P(A)×P(B)
Réponse
B. P(A∩B)/P(A) — Par définition P_A(B)=P(A∩B)/P(A) lorsque P(A)>0.
On donne P(A)=0,5 et P(A∩B)=0,2. Que vaut P_A(B) ?
- A. 0,1
- B. 0,4
- C. 0,7
- D. 1
Réponse
B. 0,4 — P_A(B)=0,2/0,5=0,4.
La formule du produit pour P(A∩B) est :
- A. P(A)+P(B)
- B. P(A)-P(B)
- C. P(A)×P_A(B)
- D. P_A(B)/P(A)
Réponse
C. P(A)×P_A(B) — P(A∩B)=P(A)×P_A(B).
Sur un arbre, pour obtenir la probabilité d'un chemin, on :
- A. additionne les branches
- B. multiplie les branches
- C. prend la plus grande
- D. divise les branches
Réponse
B. multiplie les branches — On multiplie les probabilités le long d'un chemin.
Pour réunir deux chemins distincts menant au même résultat, on :
- A. multiplie
- B. divise
- C. additionne
- D. soustrait
Réponse
C. additionne — On additionne les probabilités des chemins.
Les branches qui partent d'un même point d'un arbre ont une somme égale à :
- A. 0
- B. 0,5
- C. 1
- D. 2
Réponse
C. 1 — La somme des probabilités issues d'un même nœud vaut toujours 1.
Une probabilité conditionnelle peut-elle valoir plus de 1 ?
- A. Oui toujours
- B. Oui parfois
- C. Non jamais
- D. Seulement si A et B indépendants
Réponse
C. Non jamais — Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
On donne P(A)=1/4 et P_A(B)=2/3. Que vaut P(A∩B) ?
- A. 1/12
- B. 1/6
- C. 3/8
- D. 5/12
Réponse
B. 1/6 — P(A∩B)=(1/4)×(2/3)=2/12=1/6.
Le contraire de A se note Ā. On a P(Ā) = ?
- A. 1+P(A)
- B. 1-P(A)
- C. P(A)-1
- D. 2P(A)
Réponse
B. 1-P(A) — P(Ā)=1-P(A).
Dans un tirage de deux boules SANS remise, le second tirage dépend-il du premier ?
- A. Non
- B. Oui
- C. Seulement si les couleurs sont identiques
- D. Jamais
Réponse
B. Oui — Sans remise, la composition change : le second tirage dépend du premier.
Sur un dé équilibré, A={2,4,6} et B={1,2}. Que vaut P_A(B) ?
- A. 1/6
- B. 1/3
- C. 1/2
- D. 2/3
Réponse
B. 1/3 — A∩B={2}, P(A)=1/2, donc P_A(B)=(1/6)/(1/2)=1/3.
Niveau moyen — 12 questions
Un sac a 4 rouges et 6 bleues. Tirage SANS remise. Que vaut P_{R1}(R2) ?
- A. 4/10
- B. 3/9
- C. 3/10
- D. 4/9
Réponse
B. 3/9 — Après une rouge il reste 3 rouges sur 9 boules : 3/9=1/3.
La formule des probabilités totales (partition A, Ā) est :
- A. P(B)=P_B(A)+P_B(Ā)
- B. P(B)=P(A)×P_A(B)+P(Ā)×P_{Ā}(B)
- C. P(B)=P(A)+P(Ā)
- D. P(B)=P(A∩B)+P(Ā)
Réponse
B. P(B)=P(A)×P_A(B)+P(Ā)×P_{Ā}(B) — P(B)=P(A)×P_A(B)+P(Ā)×P_{Ā}(B).
On donne P(A)=0,6, P_A(B)=0,5 et P_{Ā}(B)=0,2. Que vaut P(B) ?
- A. 0,38
- B. 0,30
- C. 0,70
- D. 0,50
Réponse
A. 0,38 — P(B)=0,6×0,5+0,4×0,2=0,30+0,08=0,38.
Deux événements sont indépendants si et seulement si :
- A. P(A∩B)=P(A)+P(B)
- B. P(A∩B)=P(A)×P(B)
- C. P_A(B)=P_B(A)
- D. P(A∩B)=0
Réponse
B. P(A∩B)=P(A)×P(B) — Définition de l'indépendance : P(A∩B)=P(A)×P(B).
P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,20. A et B sont-ils indépendants ?
- A. Oui
- B. Non
- C. On ne peut pas savoir
- D. Seulement si P(A∪B)=1
Réponse
A. Oui — P(A)×P(B)=0,20=P(A∩B), donc oui.
A et B indépendants avec P(A)=1/3 et P(B)=1/4. Que vaut P(A∩B) ?
- A. 1/7
- B. 1/12
- C. 7/12
- D. 1/2
Réponse
B. 1/12 — P(A∩B)=(1/3)×(1/4)=1/12.
Deux événements incompatibles (probas non nulles) sont :
- A. toujours indépendants
- B. jamais indépendants
- C. indépendants si P(A)=P(B)
- D. indépendants si P(A)+P(B)=1
Réponse
B. jamais indépendants — Incompatibles : P(A∩B)=0 mais P(A)×P(B)>0, donc jamais indépendants.
Un test est positif dans 90 % des cas si malade, 5 % si sain. P(malade)=0,01. Que vaut P(+) ?
- A. 0,0090
- B. 0,0585
- C. 0,9500
- D. 0,0495
Réponse
B. 0,0585 — P(+)=0,01×0,90+0,99×0,05=0,009+0,0495=0,0585.
Un sac a 3 rouges et 5 bleues. Tirage AVEC remise. Que vaut P(R1∩R2) ?
- A. 3/28
- B. 9/64
- C. 6/56
- D. 9/56
Réponse
B. 9/64 — Avec remise, indépendants : (3/8)×(3/8)=9/64.
On donne P(A)=0,3, P_A(B)=0,4, P_{Ā}(B)=0,1. Que vaut P(B) ?
- A. 0,19
- B. 0,40
- C. 0,12
- D. 0,07
Réponse
A. 0,19 — P(B)=0,3×0,4+0,7×0,1=0,12+0,07=0,19.
Si A et B sont indépendants, alors A et B̄ sont :
- A. incompatibles
- B. aussi indépendants
- C. égaux
- D. contraires
Réponse
B. aussi indépendants — Si A et B sont indépendants, A et B̄ le sont aussi.
Léa vient à vélo (0,6) ou en bus (0,4). À l'heure : 0,9 à vélo, 0,7 en bus. P(à l'heure) = ?
- A. 0,82
- B. 0,80
- C. 0,90
- D. 0,76
Réponse
A. 0,82 — 0,6×0,9+0,4×0,7=0,54+0,28=0,82.
Niveau difficile — 12 questions
On a P(A∩B)=0,3 et P(B)=0,6. Que vaut P_B(A) ?
- A. 0,18
- B. 0,50
- C. 0,90
- D. 0,30
Réponse
B. 0,50 — P_B(A)=P(A∩B)/P(B)=0,3/0,6=0,5.
Production : 60 % usine 1 (défaut 3 %), 40 % usine 2 (défaut 7 %). P(défaut) = ?
- A. 0,046
- B. 0,100
- C. 0,050
- D. 0,028
Réponse
A. 0,046 — 0,6×0,03+0,4×0,07=0,018+0,028=0,046.
Même contexte (P(D)=0,046). Sachant la pièce défectueuse, P(usine 2) ≈ ?
- A. 0,39
- B. 0,61
- C. 0,50
- D. 0,28
Réponse
B. 0,61 — P_D(usine2)=(0,4×0,07)/0,046=0,028/0,046≈0,61.
P(A)=0,5, P_A(B)=0,6, P_{Ā}(B)=0,3. A et B sont-ils indépendants ?
- A. Oui
- B. Non
- C. Cela dépend de P(A∪B)
- D. On ne peut pas savoir
Réponse
B. Non — P(B)=0,45 et P(A∩B)=0,3, or P(A)×P(B)=0,225≠0,3, donc non.
Urne A : 2R,3V ; urne B : 4R,1V. P(A)=1/3, P(B)=2/3. P(rouge) = ?
- A. 2/3
- B. 1/3
- C. 3/5
- D. 4/5
Réponse
A. 2/3 — (1/3)(2/5)+(2/3)(4/5)=2/15+8/15=10/15=2/3.
Même contexte. Sachant qu'on a tiré une rouge, P(urne A) = ?
- A. 1/5
- B. 2/5
- C. 1/2
- D. 2/3
Réponse
A. 1/5 — P_rouge(A)=[(1/3)(2/5)]/(2/3)=(2/15)/(2/3)=1/5.
A et B indépendants, P(A)=0,3, P(B)=0,5. Que vaut P(A∪B) ?
- A. 0,65
- B. 0,80
- C. 0,15
- D. 0,85
Réponse
A. 0,65 — P(A∪B)=0,3+0,5-0,15=0,65 (car P(A∩B)=0,15).
Si P_A(B)=P(B) avec P(A)>0, on peut conclure que :
- A. A et B sont incompatibles
- B. A et B sont indépendants
- C. P(A)=P(B)
- D. A et B sont contraires
Réponse
B. A et B sont indépendants — P_A(B)=P(B) est une caractérisation de l'indépendance.
A et B indépendants, P(A)=1/4, P(B)=1/3. Que vaut P(Ā∩B̄) ?
- A. 5/12
- B. 1/2
- C. 7/12
- D. 1/6
Réponse
B. 1/2 — P(Ā∩B̄)=P(Ā)×P(B̄)=(3/4)×(2/3)=1/2.
On donne P(A)=0,5 et P_A(B)=0,6. A et B sont indépendants si P(B) vaut :
- A. 0,3
- B. 0,5
- C. 0,6
- D. 0,8
Réponse
C. 0,6 — Indépendants ⇔ P_A(B)=P(B)=0,6.
Léa : vélo 0,6 / bus 0,4 ; à l'heure 0,9 (vélo) ou 0,7 (bus). Sachant qu'elle est à l'heure, P(vélo) ≈ ?
- A. 0,54
- B. 0,66
- C. 0,82
- D. 0,90
Réponse
B. 0,66 — P_H(vélo)=0,54/0,82≈0,66.
Maladie rare 2 %, test + à 95 % si malade, 8 % si sain. Sachant + , P(malade) ≈ ?
- A. 0,95
- B. 0,19
- C. 0,50
- D. 0,08
Réponse
B. 0,19 — P(+)=0,02×0,95+0,98×0,08≈0,097 ; P_+(malade)=0,019/0,097≈0,19.
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