Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Fiche de révision : statistique à deux caractères

Moyenne, médiane, quartiles et graphiques, tableau croisé d’effectifs, fréquences marginales et conditionnelles, nuage de points, point moyen, droite de Mayer, droite d’ajustement, interpolation et extrapolation, sans calculatrice.

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benprofparticulier.frMaths sans spécialité · Première

Statistique à deux caractères : tableaux croisés, nuage de points, ajustement affine

Fiche méthode

(Maths 1re (tronc commun) · Information chiffrée · Épreuve anticipée)

La démarche pour une question de statistique

1. Je repère les données : une série (indicateurs, graphique), un tableau croisé (population de référence) ou une série à deux variables $(x_{i}; y_{i})$ .

2. Je choisis le calcul : moyenne, médiane, quartiles ; fréquence marginale ou conditionnelle (« parmi … » donne le dénominateur) ; point moyen, droite de Mayer ; équation de la droite d’ajustement.

3. Je calcule à la main, sans arrondir trop tôt.

4. Je contrôle et je conclus : une fréquence est entre $0$ et $1$ , la droite passe par $G$ , et je précise si une estimation est une interpolation ou une extrapolation.

Le réflexe — savoir sur quelle population, ou sur quelle plage de valeurs, porte chaque calcul.

Cas 1 · Moyenne, médiane, quartiles

Réflexe — ranger la série, puis chercher les rangs N/2, N/4 et 3N/4.

Exemple. Exemple : série $7$ ; $12$ ; $3$ ; $9$ ; $16$ ; $10$ ; $4$ ; $8$ . Moyenne, médiane, $Q_{1}$ et $Q_{3}$ ?

Somme : $69$ , donc $\overset{―}{x} = \frac{69}{8} = 8, 625$ . Série rangée : $3$ ; $4$ ; $7$ ; $8$ ; $9$ ; $10$ ; $12$ ; $16$ . $N = 8$ : $M e = \frac{8 + 9}{2} = 8, 5$ . $\frac{8}{4} = 2$ : $Q_{1} = 4$ ; $\frac{24}{4} = 6$ : $Q_{3} = 10$ .

Attention — Pour un quartile, on arrondit le rang à l’entier supérieur ; on ne fait pas de moyenne.

Cas 2 · Fréquences d’un tableau croisé

Réflexe — « parmi les … » donne le dénominateur.

Exemple. Exemple : sur $250$ clients d’une boulangerie, $150$ viennent le matin. $90$ clients du matin et $40$ clients de l’après-midi achètent une viennoiserie. Fréquence des acheteurs de viennoiserie ? parmi les clients du matin ? Fréquence des clients du matin parmi les acheteurs de viennoiserie ?

Acheteurs : $90 + 40 = 130$ , et $\frac{130}{250} = 0, 52$ , soit $52 %$ (fréquence marginale). Parmi les $150$ clients du matin : $\frac{90}{150} = 0, 6$ , soit $60 %$ . Parmi les $130$ acheteurs : $\frac{90}{130} = \frac{9}{13} \approx 0, 692$ , soit environ $69, 2 %$ .

Attention — Diviser par l’effectif total donne la fréquence de la case, pas une fréquence conditionnelle.

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Cas 3 · Point moyen et droite de Mayer

Réflexe — deux moyennes pour G ; Mayer : ranger, couper en deux, G₁ et G₂.

Exemple. Exemple : points $(1; 3)$ , $(2; 6)$ , $(4; 8)$ et $(5; 13)$ . Point moyen et droite de Mayer ?

$\overset{―}{x} = \frac{12}{4} = 3$ et $\overset{―}{y} = \frac{30}{4} = 7, 5$ : $G (3; 7, 5)$ . $G_{1} (1, 5; 4, 5)$ et $G_{2} (4, 5; 10, 5)$ , donc $a = \frac{10, 5 - 4, 5}{4, 5 - 1, 5} = 2$ et $b = 4, 5 - 2 \times 1, 5 = 1, 5$ : $y = 2 x + 1, 5$ . Contrôle : $2 \times 3 + 1, 5 = 7, 5$ .

Attention — La droite de Mayer passe par G : si le contrôle échoue, un calcul est faux.

Cas 4 · Estimer avec une droite d’ajustement

Réflexe — remplacer x, ou résoudre ax + b = y, puis dire interpolation ou extrapolation.

Exemple. Exemple : pour des températures de $10$ °C à $30$ °C, le nombre de bouteilles d’eau vendues par un kiosque est ajusté par $y = 15 x + 60$ . Ventes estimées à $24$ °C ? à $38$ °C ? Température pour $480$ bouteilles ?

$15 \times 24 + 60 = 420$ bouteilles (interpolation). $15 \times 38 + 60 = 630$ bouteilles (extrapolation, peu sûre). $15 x + 60 = 480$ donne $15 x = 420$ , soit $x = 28$ °C (interpolation).

Attention — Une extrapolation lointaine n’est qu’un ordre de grandeur, souvent faux.

Les pièges

Médiane ou quartiles cherchés dans une série non rangée.
Axe vertical qui ne part pas de 0 : les écarts entre barres paraissent plus grands.
Population de référence inversée : « parmi les A » et « parmi les B » n’ont pas le même dénominateur.
Moyenne simple des fréquences de groupes de tailles différentes : il faut pondérer par les effectifs.
Point moyen confondu avec le milieu du premier et du dernier point.
Extrapolation sans réserve, ou ordonnée à l’origine interprétée alors que x = 0 est loin des données.
Causalité tirée d’un nuage allongé : un lien statistique ne prouve pas que x agit sur y.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour toute question de statistique (repérer les données, choisir le calcul, calculer à la main, contrôler et conclure), avec un exemple rédigé pour chaque cas : indicateurs d’une série, fréquences d’un tableau croisé, point moyen et droite de Mayer, estimation avec une droite d’ajustement. Elle se termine par les pièges les plus fréquents.

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