Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Fiche de révision : fonctions de référence et variations

Équations et inéquations du premier degré, produit nul, signe d’une expression affine ou factorisée, lecture graphique (images, antécédents, f(x) = k, f(x) < k, signe, variations) et droites (coefficient directeur, équation réduite), sans calculatrice.

Télécharger la fiche PDF

benprofparticulier.frMaths sans spécialité · Première

Automatismes : fonctions et lectures graphiques

Fiche méthode

(Maths 1re (tronc commun) · Automatismes · Épreuve anticipée)

La démarche pour une question de fonction ou de droite

1. Je repère la forme : équation ou inéquation, produit factorisé, courbe, tableau de variations ou droite.

2. Je choisis l’outil : regrouper les $x$ (premier degré), annuler chaque facteur (produit nul), tableau de signes (produit), droite horizontale $y = k$ (courbe), flèches (tableau), $\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ (droite).

3. Je réponds avec des valeurs de $x$ et les bons crochets : fermés pour une inégalité large, ouverts pour une stricte.

4. Je contrôle en remplaçant une valeur, ou avec un troisième point de la droite.

Le réflexe — une solution, un antécédent ou un intervalle est toujours une valeur de x, lue sur l’axe horizontal.

Cas 1 · Équations, inéquations et produit nul

Réflexe — j’annule chaque facteur, je ne développe pas.

Exemple. Exemple : résoudre $(6 - 3 x) (2 x + 1) = 0$ .

$6 - 3 x = 0$ donne $x = 2$ ; $2 x + 1 = 0$ donne $x = - 0, 5$ . Les solutions sont $- 0, 5$ et $2$ .

Attention — En divisant une inéquation par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité.

Cas 2 · Lire une courbe

Réflexe — image en ordonnée, antécédents en abscisse.

Exemple. Exemple : le point $A (- 3; 10)$ est-il sur la courbe d’équation $y = x^{2} - x - 2$ ?

Pour $x = - 3$ : $(- 3)^{2} - (- 3) - 2 = 9 + 3 - 2 = 10$ , l’ordonnée de $A$ . Le point $A$ est sur la courbe.

Attention — Le minimum peut être atteint à une borne : on compare toujours avec les valeurs aux extrémités.

1 / 2

benprofparticulier.frMaths sans spécialité · Première

Cas 3 · Coefficient directeur

Réflexe — $m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ , même ordre en haut et en bas.

Exemple. Exemple : coefficient directeur de $(E F)$ avec $E (- 3; 2)$ et $F (5; - 2)$ .

$m = \frac{- 2 - 2}{5 - (- 3)} = \frac{- 4}{8} = - 0, 5$ : la droite descend, la fonction affine associée est décroissante.

Attention — Dans $5 - 2 x$ , le coefficient directeur est $- 2$ , pas $5$ .

Cas 4 · Résoudre graphiquement

Réflexe — je trace $y = k$ et je lis des abscisses.

Exemple. Exemple : $f$ décroît de $6$ à $- 2$ sur $[0; 3]$ , puis croît de $- 2$ à $1$ sur $[3; 5]$ . Nombre de solutions de $f (x) = 0$ ?

$0$ est entre $6$ et $- 2$ sur la première flèche (une solution) et entre $- 2$ et $1$ sur la seconde (une solution) : deux solutions.

Attention — Crochet fermé pour $⩽$ ou $⩾$ , ouvert pour $<$ ou $>$ .

Cas 5 · Signe d’une expression factorisée

Réflexe — une ligne par facteur, je compte les « − ».

Exemple. Exemple : résoudre $(3 x + 8) (5 - x) < 0$ .

Les facteurs s’annulent en $- \frac{8}{3}$ et en $5$ . $3 x + 8$ est négatif puis positif ; $5 - x$ est positif puis négatif. Le produit est négatif sur $] - \infty; - \frac{8}{3} [$ et sur $] 5; + \infty [$ : $S =] - \infty; - \frac{8}{3} [\cup] 5; + \infty [$ .

Attention — Un facteur $c - x$ est positif avant sa racine, négatif après.

Cas 6 · Équation réduite d’une droite

Réflexe — $p = y_{A} - m x_{A}$ , puis contrôle avec un autre point.

Exemple. Exemple : droite passant par $A (2; - 1)$ de coefficient directeur $- 3$ .

$p = - 1 - (- 3) \times 2 = - 1 + 6 = 5$ , donc la droite a pour équation $y = - 3 x + 5$ . Contrôle : $- 3 \times 2 + 5 = - 1$ .

Attention — $p$ se lit sur l’axe des ordonnées, pas sur l’axe des abscisses.

Les pièges

Oublier la solution négative de x² = c (avec c > 0).
Garder le sens d’une inégalité après avoir divisé par un nombre négatif.
Développer un produit au lieu d’annuler chaque facteur.
Lire une image sur l’axe des abscisses, ou répondre à f(x) = k par des valeurs de y.
Calculer Δx ÷ Δy au lieu de Δy ÷ Δx, ou soustraire dans deux ordres différents.
Fermer un crochet pour une inégalité stricte.
Prendre le point où la droite coupe l’axe des abscisses pour l’ordonnée à l’origine.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

2 / 2

À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche commune à toutes les questions de fonctions et de droites (repérer la forme, choisir l’outil, répondre en valeurs de x avec les bons crochets, contrôler), un exemple rédigé pour chacun des six cas et les pièges classiques : solution négative oubliée, sens de l’inégalité, image lue sur le mauvais axe, Δx ÷ Δy.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs