Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Automatismes : fonctions et lectures graphiques

Équations et inéquations du premier degré, produit nul, signe d’une expression affine ou factorisée, lecture graphique (images, antécédents, f(x) = k, f(x) < k, signe, variations) et droites (coefficient directeur, équation réduite), sans calculatrice.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés sans calculatrice, dans l’esprit de la deuxième partie de l’épreuve anticipée : la température d’une serre, trois formules de location de vélos, un enclos rectangulaire, la fréquentation d’un parc de loisirs et le bénéfice d’une fabrication.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère ce qui est donné : une courbe, un tableau de variations, une formule ou une droite, et ce que représentent les deux axes (avec leurs unités).
Je traduis la question : « combien de fois » devient un nombre de solutions de f(x) = k, « au moins » une inégalité large, « moins cher » la comparaison de deux expressions.
Je choisis l’outil : lecture graphique (abscisses des points d’intersection), équation ou inéquation du premier degré, produit nul et tableau de signes pour une expression factorisée.
Je conclus par une phrase avec l’unité, après avoir vérifié que la réponse est dans l’intervalle d’étude et cohérente avec le graphique.

Problème 1 · La température d’une serre★★★Facile

La courbe ci-dessous donne la température

T (h)

, en °C, dans une serre en fonction de l’heure

h

, sur une journée (

0 ⩽ h ⩽ 24

1. Température dans la serre à 8 h : °C
Le point de la courbe d’abscisse $8$ a pour ordonnée $14$ : $T (8) = 14$ °C.
2. Température maximale de la journée : °C
Le point le plus haut de la courbe est $(14; 26)$ : la température maximale est $26$ °C, atteinte à 14 h.
3. Heures auxquelles la température vaut 22 °C, dans l’ordre : h et h
La droite $y = 22$ coupe la courbe aux points d’abscisses $12$ et $16$ : il fait $22$ °C à 12 h et à 16 h.
4. Les plantes ont besoin d’au moins 18 °C. La température est au moins égale à 18 °C de h à h
On résout $T (h) ⩾ 18$ : la courbe est sur ou au-dessus de la droite $y = 18$ pour $h \in [10; 20]$ , soit de 10 h à 20 h.
5. Dresser le tableau de variations de $T$ , puis en déduire, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation $T (h) = 12$ :
Rédaction attendue. D’après la courbe :
$h$ $0$ $6$ $14$ $24$
$T (h)$ $14$ ↘ $10$ ↗ $26$ ↘ $14$
Sur $[0; 6]$ , $T$ décroît de $14$ à $10$ et $12$ est compris entre ces deux nombres : une solution. Sur $[6; 14]$ , $T$ croît de $10$ à $26$ : une solution. Sur $[14; 24]$ , $T$ décroît de $26$ à $14$ et $12 < 14$ : aucune solution. L’équation $T (h) = 12$ a donc exactement deux solutions : il fait $12$ °C deux fois dans la journée.

$h$	$0$		$6$		$14$		$24$
$T (h)$	$14$	↘	$10$	↗	$26$	↘	$14$

Problème 2 · Trois formules de location de vélos★★★Moyen

Une agence loue des vélos électriques à la journée. Avec la formule A, on paie

10

€ plus

0, 50

€ par kilomètre ; avec la formule B,

3

€ plus

0, 75

€ par kilomètre. Pour une distance de

x

km, on note

A (x)

B (x)

les prix en euros. La droite ci-dessous représente le prix de la formule C en fonction de la distance.

1. Prix de la formule A pour 20 km : €
$A (x) = 0, 5 x + 10$ , donc $A (20) = 0, 5 \times 20 + 10 = 10 + 10 = 20$ €.
2. Distance pour laquelle les formules A et B coûtent le même prix : km
$B (x) = 0, 75 x + 3$ . On résout $0, 5 x + 10 = 0, 75 x + 3$ : $10 - 3 = 0, 75 x - 0, 5 x$ , soit $0, 25 x = 7$ , donc $x = 28$ km (prix : $24$ € avec chacune).
3. Avec un budget de 35 €, distance maximale avec la formule A : km
On résout $0, 5 x + 10 ⩽ 35$ : $0, 5 x ⩽ 25$ , donc $x ⩽ 50$ . On peut parcourir au plus $50$ km.
4. Lire graphiquement l’équation réduite de la droite de la formule C : y = x +
La droite coupe l’axe des ordonnées en $(0; 20)$ : $p = 20$ . Elle passe aussi par $(40; 30)$ : quand on avance de $40$ , elle monte de $10$ , donc $m = \frac{10}{40} = 0, 25$ . Formule C : $y = 0, 25 x + 20$ ( $20$ € plus $0, 25$ € par kilomètre).
5. Justifier que la formule C est strictement la moins chère des trois exactement pour les distances supérieures à km
Rédaction attendue. C est moins chère que A si $0, 25 x + 20 < 0, 5 x + 10$ , soit $10 < 0, 25 x$ , c’est-à-dire $x > 40$ . C est moins chère que B si $0, 25 x + 20 < 0, 75 x + 3$ , soit $17 < 0, 5 x$ , c’est-à-dire $x > 34$ . Les deux conditions sont vraies ensemble exactement pour $x > 40$ : au-delà de $40$ km, la formule C est la moins chère. À $40$ km, A et C coûtent toutes deux $30$ €.

Problème 3 · Un enclos rectangulaire★★★Moyen

Avec

40

m de grillage, on entoure un enclos rectangulaire. On note

x

la longueur d’un côté, en mètres, avec

0 < x < 20

; le côté voisin mesure alors

20 - x

mètres et l’aire de l’enclos, en m², est

A (x) = x (20 - x)

1. Aire de l’enclos pour x = 5 : m²
$A (5) = 5 \times (20 - 5) = 5 \times 15 = 75$ m².
2. Justifier que $A (x) - 64 = (x - 4) (16 - x)$ , puis calculer $A (10) - 64$ :
Rédaction attendue. On développe : $(x - 4) (16 - x) = 16 x - x^{2} - 64 + 4 x = - x^{2} + 20 x - 64$ . Et $A (x) - 64 = 20 x - x^{2} - 64$ : c’est la même expression. Pour $x = 10$ : $(10 - 4) (16 - 10) = 6 \times 6 = 36$ (contrôle : $A (10) = 100$ et $100 - 64 = 36$ ).
3. Résoudre l’équation $A (x) = 64$ : la plus grande solution est
$A (x) = 64$ équivaut à $(x - 4) (16 - x) = 0$ : $x = 4$ ou $x = 16$ , deux valeurs de $] 0; 20 [$ . La plus grande est $16$ (un enclos de $16$ m sur $4$ m).
4. Signe de $(x - 4) (16 - x)$ sur ]16 ; 20[ (écrire + ou −) :
Sur $] 16; 20 [$ , $x - 4$ est positif et $16 - x$ négatif : le produit est négatif.
$x$ $0$ $4$ $16$ $20$
$x - 4$ $-$ $0$ $+$ $+$
$16 - x$ $+$ $+$ $0$ $-$
$(x - 4) (16 - x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$
5. L’aire est au moins égale à 64 m² exactement lorsque x ∈ [ ; ]
$A (x) ⩾ 64$ équivaut à $(x - 4) (16 - x) ⩾ 0$ ; d’après le tableau, $x \in [4; 16]$ . Il faut un côté compris entre $4$ m et $16$ m.

$x$	$0$		$4$		$16$		$20$
$x - 4$		$-$	$0$	$+$		$+$
$16 - x$		$+$		$+$	$0$	$-$
$(x - 4) (16 - x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Problème 4 · La fréquentation d’un parc de loisirs★★★Difficile

Un parc de loisirs ouvre de 9 h à 19 h. Le nombre de visiteurs présents, en centaines, est modélisé par une fonction

N

de l’heure

t

, dont voici le tableau de variations.

$t$	$9$		$12$		$14$		$17$		$19$
$N (t)$	$4$	↗	$30$	↘	$18$	↗	$26$	↘	$6$

1. Nombre maximal de visiteurs présents dans la journée : visiteurs
Le maximum de $N$ est $30$ centaines, atteint à 12 h : $3 000$ visiteurs.
2. Combien de fois dans la journée le parc compte-t-il exactement 2 000 visiteurs ?
On compte les solutions de $N (t) = 20$ : $20$ est entre $4$ et $30$ , entre $30$ et $18$ , entre $18$ et $26$ , et entre $26$ et $6$ . Une solution sur chaque flèche : $4$ fois.
3. Combien de fois compte-t-il exactement 2 800 visiteurs ?
$N (t) = 28$ : $28$ est entre $4$ et $30$ et entre $30$ et $18$ , mais pas entre $18$ et $26$ , ni entre $26$ et $6$ : $2$ fois.
4. Pour t ∈ [14 ; 19], encadrer N(t) : ⩽ N(t) ⩽
Sur $[14; 19]$ , $N$ croît de $18$ à $26$ puis décroît de $26$ à $6$ : minimum $6$ , maximum $26$ . Donc $6 ⩽ N (t) ⩽ 26$ .
5. Justifier que, de 12 h à 17 h, il y a toujours au moins 1 800 visiteurs, puis préciser l’heure à laquelle ce minimum est atteint : h
Rédaction attendue. Sur $[12; 14]$ , $N$ décroît de $30$ à $18$ , donc $N (t) ⩾ 18$ . Sur $[14; 17]$ , $N$ croît de $18$ à $26$ , donc $N (t) ⩾ 18$ . Ainsi, pour tout $t$ de $[12; 17]$ , $N (t) ⩾ 18$ : il y a au moins $1 800$ visiteurs, et ce minimum est atteint à 14 h.

Problème 5 · Coût et recette d’une fabrication★★★Difficile

Une entreprise fabrique

x

milliers d’objets par mois, avec

0 ⩽ x ⩽ 10

. Le coût de fabrication, en milliers d’euros, est

C (x) = x^{2} - 6 x + 16

; sa courbe est tracée ci-dessous, avec la droite

D

qui représente la recette

R (x)

, en milliers d’euros.

1. Lire graphiquement l’équation réduite de la droite D : y = x
$D$ passe par l’origine ( $p = 0$ ) et par $(5; 20)$ : $m = \frac{20}{5} = 4$ . Donc $R (x) = 4 x$ : chaque millier d’objets rapporte $4$ milliers d’euros.
2. Graphiquement, la recette dépasse strictement le coût pour x ∈ ] ; [
La droite est strictement au-dessus de la courbe entre leurs points d’intersection, d’abscisses $2$ et $8$ : $R (x) > C (x)$ pour $x \in] 2; 8 [$ .
3. Le bénéfice est $B (x) = R (x) - C (x)$ . Justifier que $B (x) = - (x - 2) (x - 8)$ , puis calculer $B (5)$ :
Rédaction attendue. $B (x) = 4 x - (x^{2} - 6 x + 16) = - x^{2} + 10 x - 16$ . Et $- (x - 2) (x - 8) = - (x^{2} - 8 x - 2 x + 16) = - x^{2} + 10 x - 16$ : les deux expressions sont égales. $B (5) = - (5 - 2) (5 - 8) = - 3 \times (- 3) = 9$ (contrôle : $R (5) = 20$ , $C (5) = 11$ ).
4. Signe de $B (x)$ sur [0 ; 2[ (écrire + ou −) :
C’est la forme $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ avec $a = - 1 < 0$ : $B (x)$ est négatif à l’extérieur des racines $2$ et $8$ , donc sur $[0; 2 [$ .
$x$ $0$ $2$ $8$ $10$
$- 1$ $-$ $-$ $-$
$x - 2$ $-$ $0$ $+$ $+$
$x - 8$ $-$ $-$ $0$ $+$
$B (x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$
5. Pour une production de 9 milliers d’objets, l’entreprise perd milliers d’euros
$B (9) = - (9 - 2) (9 - 8) = - 7 \times 1 = - 7$ : un bénéfice négatif, soit une perte de $7$ milliers d’euros.

$x$	$0$		$2$		$8$		$10$
$- 1$		$-$		$-$		$-$
$x - 2$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 8$		$-$		$-$	$0$	$+$
$B (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

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