Automatismes : fonctions et lectures graphiques

Résoudre les équations suivantes.

1. $6x-5=2x+13$ : x =
   $6x-2x=13+5$, soit $4x=18$, donc $x={\displaystyle \frac{18}{4}}=4,5$.
2. $9-4x=x-6$ : x =
   $-4x-x=-6-9$, soit $-5x=-15$, donc $x={\displaystyle \frac{-15}{-5}}=3$. Contrôle : $9-4\times 3=-3$ et $3-6=-3$.
3. ${\displaystyle \frac{15}{x}}=6$, avec $x\ne 0$ : x =
   $x={\displaystyle \frac{15}{6}}=2,5$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{15}{2,5}}=6$.
4. $x^2=0,64$ : la solution négative est et la solution positive est
   $0,64>0$ et $0,8^2=0,64$ : l’équation a deux solutions opposées, $x=-0,8$ ou $x=0,8$.

Résoudre les équations produit nul. Donner les solutions dans l’ordre croissant.

1. $(x+8)(3x-6)=0$ : et
   $x+8=0$ donne $x=-8$ ; $3x-6=0$ donne $x=2$. Solutions : $-8$ et $2$.
2. $x(4x-10)=0$ : et
   $x=0$ ou $4x-10=0$, soit $x=2,5$. Solutions : $0$ et $2,5$. Diviser par $x$ ferait perdre la solution $0$.
3. $(3-4x)(x+0,5)=0$ : et
   $3-4x=0$ donne $x={\displaystyle \frac{3}{4}}=0,75$ ; $x+0,5=0$ donne $x=-0,5$. Solutions : $-0,5$ et $0,75$.
4. $3(x-7)(x+1)=0$ : et
   Le facteur $3$ n’est jamais nul ; $x-7=0$ donne $x=7$ et $x+1=0$ donne $x=-1$. Solutions : $-1$ et $7$.

Résoudre les inéquations et compléter l’ensemble des solutions.

1. $2x+3<11$ : S = ]−∞ ; [
   $2x<8$, puis on divise par $2$, positif : $x<4$. $S=]-\infty ;4[$.
2. $-6x+1⩽19$ : S = [ ; +∞[
   $-6x⩽18$ ; on divise par $-6$, négatif, donc le sens change : $x⩾-3$. $S=[-3;+\infty [$.
3. $4-3x>x+10$ : S = ]−∞ ; [
   $-3x-x>10-4$, soit $-4x>6$ ; on divise par $-4$, négatif : $x<-1,5$. $S=]-\infty ;-1,5[$.
4. ${\displaystyle \frac{x}{-2}}⩾3$ : S = ]−∞ ; ]
   On multiplie les deux membres par $-2$, négatif, donc le sens change : $x⩽-6$. $S=]-\infty ;-6]$.

Signe d’une expression affine et erreurs à repérer.

1. Justifier, à l’aide de sa racine et du signe du coefficient de $x$, que $7-2x$ est strictement positive exactement lorsque x <
   Rédaction attendue. $7-2x=0$ équivaut à $x={\displaystyle \frac{7}{2}}=3,5$. Le coefficient de $x$ est $-2$, négatif : l’expression a le signe de $-2$ à droite de $3,5$ (négative) et le signe contraire à gauche (positive). Donc $7-2x>0$ exactement lorsque $x<3,5$.
2. Un élève résout $-3x⩾12$ et écrit « $x⩾-4$ ». Expliquer son erreur et donner l’ensemble des solutions : S = ]−∞ ; ]
   Il a divisé par $-3$ sans changer le sens de l’inégalité. Diviser par un nombre négatif inverse le sens : $x⩽-4$, donc $S=]-\infty ;-4]$. Contrôle : pour $x=-5$, $-3\times (-5)=15⩾12$.
3. Un élève affirme que l’équation $x^2=0,49$ a pour unique solution $0,7$. Il en oublie une : laquelle ?
   $(-0,7{)}^2=0,49$ aussi : comme $0,49>0$, l’équation a deux solutions, $0,7$ et $-0,7$.
4. Nombre de solutions réelles de l’équation $x^2+9=0$ :
   L’équation s’écrit $x^2=-9$. Un carré est toujours positif ou nul : il ne peut pas valoir $-9$. Aucune solution.

La courbe ci-dessous représente une fonction $h$ définie sur $[-4;3]$.

1. Image de $-3$ par $h$ :
   Le point de la courbe d’abscisse $-3$ a pour ordonnée $3$ : $h(-3)=3$.
2. $h(0)=$
   La courbe coupe l’axe des ordonnées au point $(0;-2)$ : $h(0)=-2$.
3. Antécédents de $0$ par $h$, dans l’ordre croissant : et
   La courbe coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses $-1$ et $2$ : ce sont les antécédents de $0$.
4. Nombre d’antécédents de $1$ par $h$ :
   La droite $y=1$ coupe la courbe en $x=-4$, en un point situé entre $-3$ et $-1$, et en $x=3$ : $1$ a trois antécédents.

Calculer sans calculatrice.

1. Ordonnée du point d’abscisse $-2$ de la courbe d’équation $y=x^2-4x+1$ :
   On remplace $x$ par $-2$ : $(-2{)}^2=4$ et $-4\times (-2)$ donne $8$, d’où $y=4+8+1=13$.
2. Le point de cette même courbe d’abscisse $3$ a pour ordonnée
   On remplace $x$ par $3$ : $3^2=9$ et $4\times 3=12$, d’où $y=9-12+1=-2$.
3. Image de $-1,2$ par la fonction carré :
   $(-1,2{)}^2=(-1,2)\times (-1,2)=1,44$ : le carré d’un nombre négatif est positif.
4. Antécédents de $49$ par la fonction carré, dans l’ordre croissant : et
   On résout $x^2=49$ : $49>0$, donc deux solutions opposées, $-7$ et $7$.

La courbe ci-dessous représente une fonction $k$ définie sur $[-5;3]$.

1. k est décroissante sur l’intervalle [ ; ]
   La courbe descend du point $(-2;2)$ au point $(1;-2)$ : $k$ est décroissante sur $[-2;1]$.
2. Maximum de $k$ sur $[-5;3]$ :
   La plus grande ordonnée est $2$, atteinte deux fois : en $-2$ et en $3$, une borne.
3. Minimum de $k$ sur $[-5;3]$ :
   Le point le plus bas est $(1;-2)$ : le minimum vaut $-2$, atteint en $1$ ($k(-5)=-1$ est plus grand).
4. $k(x)<0$ pour x ∈ [−5 ; [ ∪ ]0 ; [
   La courbe est au-dessous de l’axe des abscisses de $-5$ jusqu’à $-4$ (exclu) et entre $0$ et $2$ : $k(x)<0$ pour $x\in [-5;-4[\cup ]0;2[$.

On note $\mathcal{P}$ la courbe d’équation $y=2x^2-3x-1$.

1. Justifier que le point $B(-1;4)$ appartient à $\mathcal{P}$, puis donner l’ordonnée du point de $\mathcal{P}$ d’abscisse $0$ :
   Rédaction attendue. Pour $x=-1$ : $2\times (-1{)}^2-3\times (-1)-1=2+3-1=4$, l’ordonnée de $B$ : donc $B$ appartient à $\mathcal{P}$. Pour $x=0$ : $2\times 0-0-1=-1$.
2. On admet que $2x^2-3x-5=(x+1)(2x-5)$. En déduire l’abscisse de l’autre point de $\mathcal{P}$ d’ordonnée $4$ :
   Un point de $\mathcal{P}$ a pour ordonnée $4$ si $2x^2-3x-1=4$, soit $2x^2-3x-5=0$, c’est-à-dire $(x+1)(2x-5)=0$ : $x=-1$ (le point $B$) ou $x=2,5$. Contrôle : $2\times 6,25-7,5-1=4$.

Donner le coefficient directeur $m$ et l’ordonnée à l’origine $p$ de la droite qui représente chaque fonction.

1. $f(x)=4-0,5x$ : m = et p =
   $f(x)=-0,5x+4$ : $m=-0,5$ et $p=4$.
2. $g(x)=3x$ : m = et p =
   $g$ est linéaire : $m=3$ et $p=0$ ; sa droite passe par l’origine.
3. $u(x)=-7$ : m = et p =
   $u$ est constante : $m=0$ et $p=-7$ ; sa droite est parallèle à l’axe des abscisses.
4. $k(x)=(x+3{)}^2-x^2$ (développer d’abord) : m = et p =
   $(x+3{)}^2-x^2=x^2+6x+9-x^2=6x+9$ : $k$ est affine, avec $m=6$ et $p=9$.

Calculer le coefficient directeur de la droite $(AB)$.

1. $A(1;2)$ et $B(5;14)$ : m =
   $m={\displaystyle \frac{14-2}{5-1}}={\displaystyle \frac{12}{4}}=3$.
2. $A(-3;4)$ et $B(2;-6)$ : m =
   $m={\displaystyle \frac{-6-4}{2-(-3)}}={\displaystyle \frac{-10}{5}}=-2$.
3. $A(-2;-1)$ et $B(4;2)$ : m =
   $m={\displaystyle \frac{2-(-1)}{4-(-2)}}={\displaystyle \frac{3}{6}}=0,5$.
4. $A(2;5)$ et $B(7;5)$ : m =
   $m={\displaystyle \frac{5-5}{7-2}}={\displaystyle \frac{0}{5}}=0$ : la droite est parallèle à l’axe des abscisses.

Soit $f$ la fonction définie sur $[-4;6]$ par $f(x)=-2,5x+7$.

1. Justifier que $f$ est décroissante sur $[-4;6]$, puis en déduire la valeur maximale de $f$ sur cet intervalle :
   Rédaction attendue. $f$ est une fonction affine de coefficient directeur $-2,5$, strictement négatif : elle est décroissante sur $ℝ$, donc sur $[-4;6]$. Sa valeur maximale est atteinte à la borne de gauche : $f(-4)=-2,5\times (-4)+7=10+7=17$.
2. Solution de l’équation $f(x)=0$ : x =
   $-2,5x+7=0$ équivaut à $2,5x=7$, donc $x={\displaystyle \frac{7}{2,5}}=2,8$, qui appartient bien à $[-4;6]$.
3. Valeur minimale de $f$ sur $[-4;6]$ :
   $f$ étant décroissante, le minimum est atteint à la borne de droite : $f(6)=-2,5\times 6+7=-15+7=-8$. Pour tout $x$ de $[-4;6]$, $-8⩽f(x)⩽17$.

Une fonction affine $f$ vérifie $f(-1)=4$ et $f(3)=10$.

1. Coefficient directeur de $f$ :
   $m={\displaystyle \frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}}={\displaystyle \frac{10-4}{4}}={\displaystyle \frac{6}{4}}=1,5$.
2. $f(0)=$
   $f(x)=1,5x+p$ et $f(-1)=4$ : $1,5\times (-1)+p=4$, donc $p=4+1,5=5,5$. Ainsi $f(0)=p=5,5$.
3. Justifier que le point $K(5;13)$ appartient à la droite qui représente $f$, puis donner l’antécédent de $1$ par $f$ :
   Rédaction attendue. $f(x)=1,5x+5,5$. Pour $x=5$ : $1,5\times 5+5,5=7,5+5,5=13$, l’ordonnée de $K$ : donc $K$ est sur la droite. Antécédent de $1$ : $1,5x+5,5=1$ équivaut à $1,5x=-4,5$, donc $x=-3$.

La courbe ci-dessous représente une fonction $\phi$ définie sur $[-3;5]$. Résoudre graphiquement les équations.

1. $\phi (x)=2$ : solutions dans l’ordre croissant , et
   La droite $y=2$ coupe la courbe aux points d’abscisses $-2$, $0$ et $4$.
2. $\phi (x)=3$ : et
   La droite $y=3$ touche la courbe en son sommet, d’abscisse $-1$, et la coupe à la borne $5$.
3. $\phi (x)=-1$ : x =
   Le point le plus bas de la courbe est $(2;-1)$ : c’est le seul point d’ordonnée $-1$.
4. Nombre de solutions de $\phi (x)=4$ :
   Le maximum de $\phi$ est $3$ : la droite $y=4$ ne coupe pas la courbe. Aucune solution.

Une fonction $w$ définie sur $[-6;4]$ a pour tableau de variations :

1. Nombre de solutions de $w(x)=0$ :
   $0$ est entre $-2$ et $5$ (1^re flèche), entre $5$ et $-4$ (2^e), entre $-4$ et $3$ (3^e) : une solution sur chaque flèche, trois en tout.
2. Nombre de solutions de $w(x)=4$ :
   $4$ est entre $-2$ et $5$, entre $5$ et $-4$, mais pas entre $-4$ et $3$ : deux solutions.
3. Nombre de solutions de $w(x)=-3$ :
   $-3$ n’est pas entre $-2$ et $5$ ; il est entre $5$ et $-4$ et entre $-4$ et $3$ : deux solutions.
4. Pour tout x de [−6 ; 4] : ⩽ w(x) ⩽
   Le minimum de $w$ est $-4$ (en $1$) et le maximum est $5$ (en $-3$) : $-4⩽w(x)⩽5$.

On a tracé la courbe d’une fonction $u$ définie sur $[-3;4]$ et la droite $D$ qui représente la fonction $v:x\mapsto x+1$.

1. Nombre de solutions de l’équation $u(x)=v(x)$ :
   La courbe et la droite se coupent en trois points, d’abscisses $-2$, $1$ et $3$.
2. $u(x)>v(x)$ pour x ∈ [−3 ; [ ∪ ] ; [
   La courbe est strictement au-dessus de la droite avant $-2$ et entre $1$ et $3$ : $S=[-3;-2[\cup ]1;3[$.
3. $u(x)⩽-1$ pour x ∈ [ ; ]
   La courbe est sur ou sous la droite horizontale $y=-1$ entre les points $(-2;-1)$ et $(0;-1)$ : $S=[-2;0]$.

Inéquations et encadrements avec la fonction carré : raisonner sur la parabole d’équation $y=x^2$.

1. Résoudre $x^2⩽2,89$ en justifiant à l’aide de la parabole : S = [ ; ]
   Rédaction attendue. La droite $y=2,89$ coupe la parabole $y=x^2$ aux points d’abscisses $-1,7$ et $1,7$, car $1,7^2=2,89$. La fonction carré décroît sur $]-\infty ;0]$ puis croît sur $[0;+\infty [$ : la parabole est au-dessous de la droite exactement entre ces deux abscisses. Donc $S=[-1,7;1,7]$.
2. $x^2>0,25$ : S = ]−∞ ; [ ∪ ] ; +∞[
   $0,5^2=0,25$ : la parabole est strictement au-dessus de la droite $y=0,25$ à l’extérieur de $-0,5$ et $0,5$. $S=]-\infty ;-0,5[\cup ]0,5;+\infty [$ : ne pas oublier la partie négative.
3. Pour x ∈ [−1 ; 3], encadrer $x^2$ : ⩽ x² ⩽
   Sur $[-1;0]$, $x^2$ décroît de $1$ à $0$ ; sur $[0;3]$, il croît de $0$ à $9$. Minimum $0$, maximum $9$ : $0⩽x^2⩽9$ (et non $1⩽x^2⩽9$).

On considère $P(x)=(x-3)(x+6)$. Donner le signe de $P(x)$ (écrire + ou −) sur chaque intervalle.

1. Sur ]−∞ ; −6[ :
   Avant $-6$, les deux facteurs sont négatifs : le produit est positif.
2. Sur ]−6 ; 3[ :
   Entre $-6$ et $3$, $x+6$ est positif et $x-3$ négatif : le produit est négatif.
3. Sur ]3 ; +∞[ :
   Après $3$, les deux facteurs sont positifs : le produit est positif.

   $x$	$-\infty$		$-6$		$3$		$+\infty$
   $x-3$		$-$		$-$	$0$	$+$
   $x+6$		$-$	$0$	$+$		$+$
   $P(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

On considère $Q(x)=(2x+3)(4-x)$.

1. Valeurs qui annulent $Q(x)$, dans l’ordre croissant : et
   $2x+3=0$ donne $x=-1,5$ ; $4-x=0$ donne $x=4$.
2. Signe de $4-x$ pour $x>4$ (écrire + ou −) :
   Le coefficient de $x$ dans $4-x$ est $-1$, négatif : $4-x$ est négatif à droite de $4$.
3. Signe de $Q(x)$ sur ]−1,5 ; 4[ (écrire + ou −) :
   Sur $]-1,5;4[$, $2x+3$ est positif et $4-x$ aussi : $Q(x)$ est positif.

   $x$	$-\infty$		$-1,5$		$4$		$+\infty$
   $2x+3$		$-$	$0$	$+$		$+$
   $4-x$		$+$		$+$	$0$	$-$
   $Q(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Résoudre les inéquations produit à l’aide d’un tableau de signes.

1. $(4x-7)(2x+9)⩾0$ : S = ]−∞ ; ] ∪ [ ; +∞[
   $4x-7$ s’annule en $1,75$, $2x+9$ en $-4,5$. Le produit est positif (deux facteurs négatifs) avant $-4,5$, négatif entre $-4,5$ et $1,75$, positif après $1,75$. L’inégalité est large : $S=]-\infty ;-4,5]\cup [1,75;+\infty [$.
2. $(x+1)(3-x)>0$ : S = ] ; [
   Racines $-1$ et $3$. Entre elles, $x+1>0$ et $3-x>0$ : produit positif ; à l’extérieur, un seul facteur est négatif. $S=]-1;3[$.
3. $3(x+4)(x-2)<0$ : S = ] ; [
   C’est la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a=3>0$, $x_1=-4$ et $x_2=2$ : l’expression est négative entre les racines. $S=]-4;2[$.

Expressions factorisées : justifier et résoudre.

1. Justifier, à l’aide d’un tableau de signes, que $-(x-2)(x+7)⩾0$ équivaut à x ∈ [ ; ]
   Rédaction attendue. Les facteurs $x-2$ et $x+7$ s’annulent en $2$ et en $-7$ ; le facteur $-1$ est toujours négatif.

   $x$	$-\infty$		$-7$		$2$		$+\infty$
   $-1$		$-$		$-$		$-$
   $x+7$		$-$	$0$	$+$		$+$
   $x-2$		$-$		$-$	$0$	$+$
   $-(x-2)(x+7)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

   L’expression est positive ou nulle exactement sur $[-7;2]$ : c’est la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a=-1<0$, positive entre les racines.

2. Factoriser $x^2-9$, puis résoudre $x^2-9<0$ : S = ] ; [
   $x^2-9=(x-3)(x+3)$ (identité $a^2-b^2$). Coefficient $1>0$ : négatif entre les racines $-3$ et $3$. $S=]-3;3[$.
3. Le produit $(x-1)(x-4)(x-6)$ est strictement négatif sur ]−∞ ; 1[ et sur ] ; [
   Avant $1$ : trois facteurs négatifs, produit négatif. Entre $1$ et $4$ : deux négatifs, positif. Entre $4$ et $6$ : un seul négatif ($x-6$), produit négatif. Après $6$ : positif. Réponse : $]4;6[$.

Lire graphiquement le coefficient directeur $m$ et l’ordonnée à l’origine $p$ de chaque droite.

1. d₁ : m = et p =
   $d_1$ coupe l’axe des ordonnées en $(0;-3)$ et monte de $2$ quand on avance de $1$ : $y=2x-3$.
2. d₂ : m = et p =
   $d_2$ passe par $(0;1)$ et descend de $3$ quand on avance de $2$, jusqu’en $(2;-2)$ : $m=-{\displaystyle \frac{3}{2}}=-1,5$, et $y=-1,5x+1$.
3. d₃ : m = et p =
   $d_3$ est parallèle à l’axe des abscisses et passe par $(0;3)$ : $y=3$, soit $m=0$ et $p=3$.

Une droite passe par le point donné et a le coefficient directeur $m$ donné. Calculer son ordonnée à l’origine $p$.

1. $A(2;1)$ et $m=3$ : p =
   $p=y_A-m{x}_A=1-3\times 2=-5$ : $y=3x-5$.
2. $B(-4;0)$ et $m=0,5$ : p =
   $p=0-0,5\times (-4)=0+2=2$ : $y=0,5x+2$.
3. $C(3;-2)$ et $m=-2$ : p =
   $p=-2-(-2)\times 3=-2+6=4$ : $y=-2x+4$.

Déterminer l’équation réduite $y=mx+p$ de la droite $(AB)$.

1. $A(-1;-4)$ et $B(3;8)$ : m = et p =
   $m={\displaystyle \frac{8-(-4)}{3-(-1)}}={\displaystyle \frac{12}{4}}=3$, puis $p=-4-3\times (-1)=-1$ : $y=3x-1$. Contrôle avec $B$ : $3\times 3-1=8$.
2. $A(-6;5)$ et $B(4;0)$ : m = et p =
   $m={\displaystyle \frac{0-5}{4-(-6)}}={\displaystyle \frac{-5}{10}}=-0,5$, puis $p=0-(-0,5)\times 4=2$ : $y=-0,5x+2$.
3. $A(-2;7)$ et $B(2;-1)$ : m = et p =
   $m={\displaystyle \frac{-1-7}{2-(-2)}}={\displaystyle \frac{-8}{4}}=-2$, puis $p=7-(-2)\times (-2)=7-4=3$ : $y=-2x+3$.

On veut tracer la droite $\Delta$ qui passe par $E(-3;2)$ et a pour coefficient directeur ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

1. En partant de $E$, on avance de $3$ unités : de combien faut-il monter pour revenir sur $\Delta$ ?
   Quand $x$ augmente de $3$, $y$ augmente de $3\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=2$.
2. Le point ainsi atteint est sur l’axe des ordonnées. Ordonnée à l’origine de $\Delta$ : p =
   On arrive au point $(-3+3;2+2)=(0;4)$ : $p=4$, et $\Delta$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+4$.
3. Justifier que le point $G(6;8)$ appartient à $\Delta$, puis donner l’abscisse du point d’intersection de $\Delta$ avec l’axe des abscisses :
   Rédaction attendue. $\Delta$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+4$. Pour $x=6$ : ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times 6+4=4+4=8$, l’ordonnée de $G$ : donc $G\in \Delta$. Sur l’axe des abscisses, $y=0$ : ${\displaystyle \frac{2}{3}}x+4=0$ équivaut à ${\displaystyle \frac{2}{3}}x=-4$, soit $x=-4\times {\displaystyle \frac{3}{2}}=-6$.