Automatismes : fonctions et lectures graphiques

C. x = −4 — 4x − x = −9 − 3, soit 3x = −12, donc x = −4. Contrôle : 4 × (−4) + 3 = −13 et −4 − 9 = −13.

A. 6 et −2 — Un produit est nul si l’un des facteurs est nul : x − 6 = 0 donne x = 6, x + 2 = 0 donne x = −2. Attention au signe en isolant x.

D. 36 — (−6)² = (−6) × (−6) = 36 : le carré d’un nombre négatif est positif. Ne pas confondre (−6)² = 36 et −6² = −36.

B. décroissante sur ℝ — C’est une fonction affine de coefficient directeur −1,8, strictement négatif : elle est décroissante sur ℝ tout entier.

B. −3 — y = 7 − 3x s’écrit y = −3x + 7 : le coefficient directeur est le nombre qui multiplie x, soit −3. Le nombre 7 est l’ordonnée à l’origine.

D. −4 — Pour x = 0, y = −4 : la droite coupe l’axe des ordonnées en (0 ; −4). Le nombre 1,6 est l’abscisse du point où elle coupe l’axe des abscisses.

A. f(2) = −5 — Un point de la courbe a pour coordonnées (x ; f(x)) : ici f(2) = −5. Donc −5 est l’image de 2, et 2 est un antécédent de −5.

C. −3 ⩽ f(x) ⩽ 7 — Une fonction croissante conserve l’ordre : de −1 ⩽ x ⩽ 4, on déduit f(−1) ⩽ f(x) ⩽ f(4), soit −3 ⩽ f(x) ⩽ 7. Les bornes −1 et 4 sont des abscisses, pas des images.

D. x ⩾ 4 — 3x − 12 s’annule en x = 4 et son coefficient 3 est positif : elle est positive à droite de 4, donc pour x ⩾ 4.

B. les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 2 — On trace la droite horizontale y = 2 : les solutions sont les abscisses des points où elle coupe la courbe. L’image de 2, elle, est f(2).

C. strictement négatif — Entre −1 et 3, x + 1 est positif et x − 3 est négatif : un seul facteur négatif, donc le produit est strictement négatif.

A. f(x) = −0,7x — Une fonction linéaire s’écrit f(x) = mx : c’est le cas de −0,7x. La fonction x − 0,7 est affine mais pas linéaire ; les deux autres ne sont pas affines.

B. 0,6 et −0,6 — Un nombre strictement positif a deux antécédents opposés par la fonction carré : 0,6² = 0,36 et (−0,6)² = 0,36. Oublier la solution négative est l’erreur la plus fréquente.

D. 2,5 et −1,5 — 2x − 5 = 0 donne x = 2,5 et x + 1,5 = 0 donne x = −1,5. Il faut changer le signe en isolant x.

A. [0 ; 16] — La fonction carré décroît de 16 à 0 sur [−4 ; 0], puis croît de 0 à 1 sur [0 ; 1] : le minimum est 0 et le maximum 16.

C. ]3 ; +∞[ — −2x < −6 ; on divise par −2, négatif, donc le sens change : x > 3.

A. 2 — m = (9 − 1) ÷ (2 − (−2)) = 8 ÷ 4 = 2. Le nombre 0,5 vient d’un calcul à l’envers, Δx ÷ Δy.

C. y = 3x − 5 — p = yA − m × xA = −2 − 3 × 1 = −5, donc y = 3x − 5. Contrôle : 3 × 1 − 5 = −2.

D. ]−∞ ; −5[ ∪ ]2 ; +∞[ — Racines −5 et 2 ; coefficient de x² égal à 1, positif : le produit est positif à l’extérieur des racines.

B. deux solutions — 0 est compris entre 5 et −3 (une solution sur [−2 ; 1]) et entre −3 et 4 (une solution sur [1 ; 6]) : deux solutions.

D. −1 ⩽ g(x) ⩽ 6 — Le minimum de g est −1 (en 0) et son maximum 6 (en 3) ; la valeur 2 n’est que l’image de 8. Les nombres 0 et 8 sont des abscisses.

A. (−1 ; 8) — (−1)² vaut 1 et −5 × (−1) donne 5, d’où y = 1 + 5 + 2 = 8. Le piège (−1 ; −2) vient de l’oubli du signe dans −5 × (−1).

B. ]1 ; 4[ — Forme a(x − x₁)(x − x₂) avec a = −3, négatif : signe de a à l’extérieur des racines 1 et 4, signe contraire (positif) entre elles.

C. (4 ; 0) — Sur l’axe des abscisses, y = 0 : −0,5x + 2 = 0 donne x = 4. Le point (0 ; 2) est sur l’axe des ordonnées.

A. ]−∞ ; −3] ∪ [3 ; +∞[ — La parabole y = x² coupe la droite y = 9 en −3 et en 3 ; elle est au-dessus à l’extérieur de ces valeurs. Oublier la branche négative est l’erreur classique.

C. [−4 ; +∞[ — On divise par −5, négatif : le sens change, x ⩾ −4.

B. incomplète : −5 est aussi solution — 25 > 0, donc x² = 25 a deux solutions, 5 et −5, puisque (−5)² = 25.

D. [0 ; 7] — Racines 0 et 7, coefficient de x² égal à 1, positif : le produit est négatif ou nul entre les racines, bornes comprises car l’inégalité est large.

C. x = 3 — A et B ont la même abscisse : la droite est parallèle à l’axe des ordonnées, d’équation x = 3. Elle n’a pas de coefficient directeur (on ne peut pas diviser par 3 − 3 = 0).

B. 2 — 2x − 1 = −x + 5 donne 3x = 6, donc x = 2 (et y = 3).

D. f(1,2) ⩾ f(3,4) — Une fonction décroissante inverse l’ordre : 1,2 < 3,4 entraîne f(1,2) ⩾ f(3,4).

A. 6 — m = (−4 − 4) ÷ (5 − 1) = −8 ÷ 4 = −2, puis f(0) = p = 4 − (−2) × 1 = 6.

B. [a ; 3], avec a compris entre −3 et 0 — Sur [−3 ; 0], f passe de −2 à 4 : elle atteint 1 en une valeur a de ]−3 ; 0[ et reste au-dessus ensuite. Sur [0 ; 3], f(x) ⩾ 1. D’où [a ; 3].

D. positive ou nulle pour tout réel x — Un carré est toujours positif ou nul ; (x − 2)² ne s’annule qu’en x = 2.

A. négatif — Pour x > 1, 1 − x est négatif et x + 3 est positif : le produit est négatif.

C. −1,5 — m = déplacement vertical ÷ déplacement horizontal = −3 ÷ 2 = −1,5 (négatif car la droite descend).