Sujet du brevet 2025 de maths — Pays du groupe 1 (Série générale)

Question 1 : réponse C ($2^3\times 3\times 5$). Une décomposition en produit de facteurs premiers ne contient que des nombres premiers. On divise 120 successivement : $120=2\times 60=2\times 2\times 30=2\times 2\times 2\times 15=2^3\times 3\times 5$. Vérification : $8\times 3\times 5=120$. Les réponses A et B donnent bien 120, mais 4 et 15 ne sont pas premiers ($4=2\times 2$, $15=3\times 5$) ; la réponse D est une somme, pas un produit.

Question 2 : réponse A ($-32$). En étirant la formule de A2 vers B2, la référence A1 devient B1 : la cellule B2 contient « =-4*B1-12 ». Avec B1 = 5 : $-4\times 5-12=-20-12=-32$. Contrôle sur la colonne A : $-4\times 2-12=-8-12=-20$, c'est bien la valeur affichée en A2.

Question 3 : réponse D (2). Les carrés A et B sont situés du même côté du centre O : le rapport de l'homothétie est donc positif, ce qui élimine $-2$ et $-0,5$. Le carré B est un agrandissement du carré A : sur le quadrillage, sa diagonale est environ deux fois plus longue que celle du carré A. Un rapport positif supérieur à 1 agrandit la figure ; un rapport de 0,5 la réduirait de moitié. Le rapport vaut donc 2.

Question 4 : réponse A ($(2x-1)(2x+1)$). On reconnaît l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ avec $a=2x$ et $b=1$ : $4x^2-1=(2x{)}^2-1^2=(2x-1)(2x+1)$. Vérification en développant : $(2x-1)(2x+1)$$=4x^2+2x-2x-1$$=4x^2-1$. Les autres réponses donnent $16x^2-1$, $4x^2-4$ et $4x^2-4x+1$.

Question 5 : réponse B (5,75 cm). Le triangle TER est rectangle en R, donc [TE] est l'hypoténuse (TE = 7,4 cm). Pour l'angle $\widehat{TER}={39}^{\circ }$, le côté [RE] est le côté adjacent. On utilise le cosinus : $\cos \widehat{TER}={\displaystyle \frac{RE}{TE}}$, d'où $RE=7,4\times \cos {39}^{\circ }\approx 7,4\times 0,7771\approx 5,75$ cm.

1. La moyenne est la somme des masses divisée par le nombre de colis : ${\displaystyle \frac{4+9+2+7+11}{5}}={\displaystyle \frac{33}{5}}=6,6$. La masse moyenne des colis est 6,6 kg.

2. On range les masses dans l'ordre croissant : 2 ; 4 ; 7 ; 9 ; 11. Il y a 5 valeurs (effectif impair), la médiane est la 3^e valeur (2 valeurs avant, 2 valeurs après). La médiane est 7 kg. Interprétation : au moins la moitié des colis ont une masse inférieure ou égale à 7 kg, et au moins la moitié ont une masse supérieure ou égale à 7 kg.

3. Le colis est choisi au hasard : les 5 issues sont équiprobables. Les colis de masse inférieure à 8 kg sont A (4 kg), C (2 kg) et D (7 kg), soit 3 issues favorables. $p={\displaystyle \frac{3}{5}}=0,6$. La probabilité est ${\displaystyle \frac{3}{5}}$.

4. a. Le volume d'un pavé droit est $V=L\times \ell \times h$. Pour le colis E : $V=0,5\times 0,4\times 0,6=0,2\times 0,6=0,12$. Le volume du colis E est bien 0,12 m³.

4. b. Le colis E a une masse de 11 kg et un volume de 0,12 m³. Masse volumique : ${\displaystyle \frac{11}{0,12}}\approx 91,666\dots$ Arrondie au dixième : la masse volumique du colis E est bien 91,7 kg/m³. Contrôle : $0,12\times 91,7\approx 11,0$.

4. c. On calcule la masse volumique du colis C. Volume : $0,3\times 0,1\times 0,5=0,015$ m³. Masse volumique : ${\displaystyle \frac{2}{0,015}}\approx 133,3$ kg/m³. Contrôle : $0,015\times 133,3\approx 2$.
Le colis E est plus lourd (11 kg contre 2 kg), mais sa masse volumique (environ 91,7 kg/m³) est plus petite que celle du colis C (environ 133,3 kg/m³), car le colis C est beaucoup moins volumineux. Le transporteur a tort.

1. On applique le programme au nombre 1 : $1\times (-2)=-2$ ; $-2+4=2$ ; $2\times 4=8$. On obtient bien 8.

2. Avec $-2$ : $-2\times (-2)=4$ ; $4+4=8$ ; $8\times 4=32$. Le résultat est 32.

3. Soit $x$ le nombre de départ. On le multiplie par $-2$ : $-2x$ ; on ajoute 4 : $-2x+4$ ; on multiplie par 4 : $4(-2x+4)=4\times (-2x)+4\times 4=-8x+16$. Le résultat s'écrit bien $-8x+16$. Contrôle avec la question 1 : $-8\times 1+16=8$.

4. a. $-8x+16=4$
$-8x=4-16$
$-8x=-12$
$x={\displaystyle \frac{-12}{-8}}={\displaystyle \frac{3}{2}}=1,5$
Vérification : $-8\times 1,5+16=-12+16=4$. La solution de l'équation est 1,5.

4. b. D'après la question 3, le résultat du programme est $-8x+16$ ; obtenir 4 revient donc à résoudre $-8x+16=4$, dont la solution est 1,5. Vérification avec le programme : $1,5\times (-2)=-3$ ; $-3+4=1$ ; $1\times 4=4$. Il faut choisir 1,5 comme nombre de départ.

5. La fonction $f(x)=-8x+16$ est une fonction affine de coefficient directeur $-8$ et d'ordonnée à l'origine 16.
– Le coefficient directeur est négatif, donc $f$ est décroissante : sa droite « descend ». La représentation 1 monte : elle est éliminée.
– $f(0)=16$ : la droite coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 16). La représentation 2 coupe cet axe en 8 : elle est éliminée.
– La représentation 3 descend, passe par (0 ; 16) et coupe l'axe des abscisses en 2 ; or $f(2)=-8\times 2+16=0$, ce qui confirme.
C'est la représentation graphique 3 qui représente la fonction $f$.

Partie A : étude géométrique du terrain

1. Le triangle ABC est rectangle en B, donc d'après le théorème de Pythagore : $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$.
$A{C}^2={600}^2+{450}^2=360000+202500=562500$, donc $AC=\sqrt{562500}=750$. Le segment [AC] mesure bien 750 m. (Contrôle : ${750}^2=562500$.)

2. a. D'après la figure, l'angle $\widehat{CDE}$ est droit, donc la droite (ED) est perpendiculaire à la droite (BC) (les points C, D et B étant alignés). Le triangle ABC est rectangle en B, donc la droite (AB) est aussi perpendiculaire à (BC). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles : les droites (ED) et (AB) sont parallèles.

2. b. Les points C, D, B sont alignés, les points C, E, A sont alignés et les droites (DE) et (AB) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{CD}{CB}}={\displaystyle \frac{CE}{CA}}={\displaystyle \frac{DE}{BA}}$.
Donc ${\displaystyle \frac{270}{450}}={\displaystyle \frac{DE}{600}}$, d'où $DE={\displaystyle \frac{600\times 270}{450}}={\displaystyle \frac{162000}{450}}=360$. Le segment [DE] mesure bien 360 m. (Contrôle : ${\displaystyle \frac{270}{450}}=0,6$ et $0,6\times 600=360$.)

3. Le triangle CDE est rectangle en D : ses côtés de l'angle droit [CD] et [DE] sont une base et la hauteur associée. Aire $={\displaystyle \frac{CD\times DE}{2}}={\displaystyle \frac{270\times 360}{2}}={\displaystyle \frac{97200}{2}}=48600$. L'aire du triangle CDE est bien 48 600 m².

Partie B : étude du prix du mélange de graines

1. L'indication 2 donne, pour 10 000 m², 80 kg de blé, 60 kg de seigle et 50 kg de pois, soit le ratio 80 : 60 : 50, c'est-à-dire 8 : 6 : 5 (en divisant par 10).
Le sac du vendeur suit le ratio 16 : 12 : 8, c'est-à-dire 8 : 6 : 4 (en divisant par 2).
Pour 8 parts de blé et 6 parts de seigle, le sac contient 4 parts de pois au lieu de 5. Autrement dit, avec 80 kg de blé ($16\times 5$), le sac apporterait $12\times 5=60$ kg de seigle mais seulement $8\times 5=40$ kg de pois au lieu de 50 kg. La composition du sac ne respecte pas l'indication 2 : il n'y a pas assez de pois.

2. Les quantités de graines sont proportionnelles à la surface semée. La surface de 48 600 m² représente ${\displaystyle \frac{48600}{10000}}=4,86$ fois la surface de référence. Masse de blé : $80\times 4,86=388,8$ kg. Il faut bien prévoir 388,80 kg de blé : le calcul de l'agriculteur est juste.

3. On calcule le prix de chaque graine (prix au kilo × masse) :
– blé : $388,8\times 1,40=544,32$ € ;
– seigle : $291,6\times 1,30=379,08$ € ;
– pois : $243\times 2,10=510,30$ €.
Total : $544,32+379,08+510,30=1433,70$ €.
Contrôle par une autre méthode : pour 10 000 m², le mélange coûte $80\times 1,40+60\times 1,30+50\times 2,10=112+78+105=295$ €, et $295\times 4,86=1433,70$ €.
Comme $1433,70<1500$, le budget de 1 500 € est suffisant (il reste 66,30 €).

1. Un code est formé d'une lettre A, B ou C suivie d'un chiffre de 0 à 9. Léna peut par exemple tester A3 et C8.

2. On suppose que chaque code a la même chance d'avoir été choisi. Il y a $3\times 10=30$ codes possibles, dont 10 commencent par C (C0, C1, …, C9). $p={\displaystyle \frac{10}{30}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. La probabilité que la grand-mère ait choisi la lettre C est ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. (On retrouve ce résultat en disant que la lettre est l'une des 3 lettres équiprobables.)

3. Parmi les 30 codes équiprobables, 3 se terminent par le chiffre 7 : A7, B7 et C7. $p={\displaystyle \frac{3}{30}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$. La probabilité que le code contienne le chiffre 7 est bien ${\displaystyle \frac{1}{10}}$. (Autre raisonnement : le chiffre est l'un des 10 chiffres de 0 à 9, équiprobables.)

4. Un nombre premier admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Parmi les chiffres de 0 à 9, les nombres premiers sont 2, 3, 5 et 7 (0 et 1 ne sont pas premiers ; $4=2\times 2$, $6=2\times 3$, $8=2\times 4$, $9=3\times 3$ non plus). Il y a donc 4 chiffres favorables sur 10 : $p={\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{2}{5}}=0,4$. La probabilité que le code comporte un nombre premier est ${\displaystyle \frac{2}{5}}$. (En comptant les codes : $3\times 4=12$ codes favorables sur 30, et ${\displaystyle \frac{12}{30}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$.)

5. a. Il y a $3\times 10=30$ codes possibles. Pour tous les essayer, il faut au plus $30\times 5=150$ s, soit 2 min 30 s. Or 3 min = 180 s et $150<180$. Oui, Léna est sûre d'ouvrir la porte en moins de 3 minutes (au pire en 2 min 30 s).

5. b. Non, ce format de code ne garantit pas la sécurité de la maison : avec seulement 30 codes possibles, n'importe qui peut tous les essayer en 2 min 30 s. Pour l'améliorer, on peut augmenter le nombre de codes possibles, par exemple en utilisant une lettre suivie de 4 chiffres : il y aurait alors $3\times 10\times 10\times 10\times 10=30000$ codes, et les essayer tous prendrait $30000\times 5=150000$ s, soit environ 41 h 40 min. On peut aussi utiliser les 26 lettres de l'alphabet, ou bloquer le digicode après trois erreurs successives.

6. a. Le script se lit bloc par bloc :
– « quand le drapeau vert est cliqué » lance le programme ;
– « demander Saisir une lettre parmi A, B et C et attendre », puis « mettre lettre saisie à réponse » : la variable « lettre saisie » vaut B ;
– « demander Saisir un chiffre entre 0 et 9 et attendre », puis « mettre chiffre saisi à réponse » : la variable « chiffre saisi » vaut 5 ;
– « si lettre saisie = B et chiffre saisi = 7 alors » : la condition est vraie seulement si les deux égalités sont vraies. Ici « lettre saisie = B » est vraie mais « chiffre saisi = 7 » est fausse (5 ≠ 7), donc la condition est fausse et le programme exécute le bloc « sinon ».
Le programme affiche « Code faux » pendant 2 secondes.

6. b. Le programme affiche « Code correct » uniquement lorsque la lettre saisie est B et le chiffre saisi est 7. Le code qui permet d'entrer est B7.