Sujet du brevet 2026 de maths — Asie (Série générale)

Sur la copie, seuls le numéro de la question et la réponse sont attendus ; la ligne d'explication qui suit chaque réponse sert à comprendre.

Question 1. Réponse B : $4,531\times {10}^4$. L'écriture scientifique est de la forme $a\times {10}^n$ avec $1\le a<10$ ; or $45310=4,531\times 10000=4,531\times {10}^4$. (Dans A et D, le nombre devant la puissance de 10 n'est pas compris entre 1 et 10 ; C vaut 0,000 453 1.)

Question 2. Réponse C : $16x^2-9$. D'après l'identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ avec $a=4x$ et $b=3$ : $(4x{)}^2-3^2=16x^2-9$.

Question 3. Réponse A : 180 cm³. Volume d'un pavé droit = longueur × largeur × hauteur : $4,5\times 4\times 10=18\times 10=180$.

Question 4. Réponse B : N est divisible par 9 mais P ne l'est pas. Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres l'est : pour 2025, $2+0+2+5=9$ (divisible par 9) ; pour 2026, $2+0+2+6=10$ (non divisible par 9).

Question 5. 12 km/h. 45 min, c'est ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ d'heure : 9 km en 45 min, c'est 3 km en 15 min, donc $4\times 3=12$ km en 60 min.

Question 6. ${\displaystyle \frac{2}{10}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$ (soit 0,2). Les 10 secteurs ont la même taille, donc les issues sont équiprobables ; on compte sur la roue 2 secteurs « casque audio » (4 stylos, 3 porte-clés, 2 casques, 1 smartphone).

Question 7. 54 €. 10 % de 60 € font $60÷10=6$ € ; $60-6=54$ (ou directement $60\times 0,9=54$).

Question 8. 50°. Le triangle ABC est rectangle en C et la somme des angles d'un triangle vaut 180° : $180-90-40=50$.

Question 9. a) 27 élèves. On additionne les hauteurs des barres (notes 7, 8, 10, 11, 12, 15, 17, 18) : $3+4+4+5+5+3+2+1=27$.

Question 9. b) La note médiane est 11. Avec 27 notes rangées dans l'ordre croissant, la médiane est la 14^e. Effectifs cumulés : 3 élèves ont 7 ou moins, 7 ont 8 ou moins, 11 ont 10 ou moins, 16 ont 11 ou moins ; la 14^e note est donc 11.

1. Au bout de 24 mois :
Offre A : $175+16\times 24=175+384=559$ €.
Offre B : $23\times 24=552$ €.
Comme $552<559$, l'offre B est la plus intéressante au bout de 24 mois (7 € de moins que l'offre A).

2. a) La fonction $f$ correspond à l'offre A (175 € à l'achat puis 16 € par mois) et la fonction $g$ correspond à l'offre B (rien à l'achat, 23 € par mois).

2. b) On cherche $x$ tel que $f(x)=g(x)$ :
$175+16x=23x$
$175=23x-16x$
$175=7x$
$x={\displaystyle \frac{175}{7}}=25$.
Vérification : $f(25)=175+16\times 25=175+400=575$ et $g(25)=23\times 25=575$. On paie le même prix (575 €) avec les deux offres au bout de 25 mois.

2. c) L'engagement dure 24 mois minimum et $25>24$ : non, au bout de 25 mois on n'est plus dans la période d'engagement. Pendant toute la période d'engagement, l'offre B reste donc la moins chère.

1. D'après le codage de la figure, le triangle OAD est rectangle en A, d'hypoténuse [OD]. D'après le théorème de Pythagore : $O{D}^2=O{A}^2+A{D}^2$, donc $O{A}^2=O{D}^2-A{D}^2=8,2^2-1,8^2=67,24-3,24=64$. Ainsi $OA=\sqrt{64}=8$. OA = 8 cm.

2. D'après les codages, la droite (AD) est perpendiculaire à la droite (OB) en A, et la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (OB) en B. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Les droites (BC) et (AD) sont donc parallèles.

3. Les points O, A, B sont alignés, les points O, D, C sont alignés et les droites (AD) et (BC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{OA}{OB}}={\displaystyle \frac{OD}{OC}}={\displaystyle \frac{AD}{BC}}$.
Donc ${\displaystyle \frac{8}{OB}}={\displaystyle \frac{1,8}{4,5}}$, d'où $OB={\displaystyle \frac{8\times 4,5}{1,8}}={\displaystyle \frac{36}{1,8}}=20$. OB = 20 cm.
Vérification : ${\displaystyle \frac{1,8}{4,5}}=0,4$ et ${\displaystyle \frac{8}{20}}=0,4$.

4. a) Le grand cône a pour hauteur $H=OB=20$ cm et pour rayon de base $R=BC=4,5$ cm.
$V=\pi \times 4,5^2\times 20÷3=\pi \times 20,25\times 20÷3=135\pi \approx 424,1$. Le volume du grand cône est d'environ 424 cm³.

4. b) Le gobelet est le grand cône privé du petit cône de sommet O, de hauteur $OA=8$ cm et de rayon de base $AD=1,8$ cm.
Volume du petit cône : $\pi \times 1,8^2\times 8÷3=\pi \times 3,24\times 8÷3=8,64\pi \approx 27,1$ cm³.
Volume du gobelet : $135\pi -8,64\pi =126,36\pi \approx 396,97$. Le volume du gobelet est d'environ 397 cm³.

1. Avec le nombre 5 :
branche de gauche : $5^2=25$, puis $25\times 3=75$ ;
branche de droite : $5\times 7=35$ ;
somme : $75+35=110$, puis $110-6=104$. Le programme A donne 104.

2. La formule saisie en B2 est « = 3*A2*A2+7*A2-6 ». (Le carré du nombre de A2 s'écrit A2*A2 ; la première formule calcule le double et non le carré, la deuxième ne contient que des nombres fixes et ne change pas quand on l'étire, la dernière soustrait 7 × A2 au lieu de l'ajouter.) Vérification avec la ligne 2 : $3\times (-3,5{)}^2+7\times (-3,5)-6=36,75-24,5-6=6,25$.

3. D'après la ligne 3 du tableur, le programme A donne 0 pour le nombre $-3$.

4. Le carré de $x$ multiplié par 3 donne $3x^2$, le produit de $x$ par 7 donne $7x$ ; on les additionne puis on soustrait 6. Le programme A s'écrit $3x^2+7x-6$.

5. Avec le nombre 5 :
branche de gauche : $5\times 3=15$, puis $15-2=13$ ;
branche de droite : $5+3=8$ ;
produit : $13\times 8=104$. Le programme B donne 104.

6. La branche de gauche donne $3x-2$, celle de droite $x+3$, et on multiplie les deux. Le programme B s'écrit $(3x-2)(x+3)$.

7. On développe l'expression du programme B par double distributivité :
$(3x-2)(x+3)=3x\times x+3x\times 3-2\times x-2\times 3=3x^2+9x-2x-6=3x^2+7x-6$.
On retrouve exactement l'expression du programme A. Mathis a raison : pour tout nombre de départ, les programmes A et B donnent le même résultat (on l'a d'ailleurs observé avec 5, qui donne 104 dans les deux cas).

8. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
$3x-2=0$, soit $3x=2$, soit $x={\displaystyle \frac{2}{3}}$ ;
ou $x+3=0$, soit $x=-3$.
L'équation a deux solutions : $-3$ et ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.
Comme les programmes A et B donnent tous les deux $(3x-2)(x+3)$ (question 7), ils donnent 0 pour $x=-3$ et pour $x={\displaystyle \frac{2}{3}}$. On retrouve la valeur $-3$ lue dans le tableur ; ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ n'y figure pas car le tableur avance de 0,5 en 0,5 (le résultat passe d'ailleurs de $-1,75$ pour 0,5 à 4 pour 1).

1. Les points F, A et E sont alignés, donc l'angle $\widehat{FAE}$ est un angle plat : il mesure 180°.
Le triangle ABF est équilatéral, donc chacun de ses angles mesure 60° : $\widehat{FAB}$ = 60°.
ABCD est un carré, donc $\widehat{BAD}$ = 90°.
Les angles $\widehat{FAB}$, $\widehat{BAD}$ et $\widehat{DAE}$ sont adjacents et forment l'angle plat : $\widehat{EAD}$ = 180° − 60° − 90° = 30°. L'angle $\widehat{EAD}$ mesure bien 30°.

2. 4 cm correspondent à $4\times 10=40$ pas.
J = 40 et K = 120 pour le triangle équilatéral ; M = 40 et N = 90 pour le carré.
(Le lutin tourne de l'angle extérieur : $180-60=120$ degrés pour le triangle, $180-90=90$ degrés pour le carré ; on vérifie que $3\times 120=4\times 90=360$.)

3. Le programme trace la figure 3.
(À chaque passage dans la boucle, le lutin tourne deux fois de 30°, soit 60°, et la boucle est répétée 6 fois : $6\times 60=360$, la figure se referme, ce qui élimine les figures 1 et 4. Chaque triangle ou carré a un côté de 40 pas, mais le lutin avance ensuite de 50 pas : il reste un espace de 10 pas entre deux formes, qui ne se touchent donc pas, comme sur la figure 3 et non sur la figure 2. Enfin, le lutin tourne toujours vers la gauche : les formes sont dessinées vers l'intérieur de la figure.)