Sujet du brevet 2026 de maths — Pays du groupe 1 (Série générale)

Sur la copie, seuls le numéro de la question et la réponse sont attendus ; la ligne d'explication qui suit chaque réponse sert à comprendre.

Question 1. La médiane est 1 °C. On range les 5 valeurs dans l'ordre croissant : −1 ; 0 ; 1 ; 3 ; 7. Avec 5 valeurs, la médiane est la 3^e, c'est-à-dire 1.

Question 2. Le motif n°8. La translation qui transforme le motif n°2 en motif n°6 fait descendre d'une rangée et décaler d'un motif vers la droite ; appliquée au motif n°4, elle donne le motif n°8.

Question 3. ${\displaystyle \frac{3}{8}}$. La boîte contient $3+5=8$ boules, toutes ayant la même chance d'être tirées, dont 3 rouges.

Question 4. $\cos \widehat{LKJ}={\displaystyle \frac{KL}{KJ}}$. Le triangle JLK est rectangle en L, donc son hypoténuse est [KJ] ; le côté adjacent à l'angle $\widehat{LKJ}$ est [KL], et le cosinus vaut côté adjacent ÷ hypoténuse.

Question 5. $3,112\times {10}^8$. On place la virgule après le premier chiffre non nul : $311200000=3,112\times 100000000=3,112\times {10}^8$.

Question 6. 100 km. 2 h 30 min = 2,5 h et la distance vaut vitesse × durée : $40\times 2,5=100$.

Question 7. $5(x+1)$. Le facteur commun est 5 : $5x+5=5\times x+5\times 1=5(x+1)$.

Question 8. $80-{\displaystyle \frac{10}{100}}\times 80$. On retire au prix 10 % de 80 €, soit ${\displaystyle \frac{10}{100}}\times 80=8$ € ; le prix final est 72 €.

Question 9. 4 h 30 min. Sur le graphique, la courbe passe au-dessus de la droite horizontale « 4 m » vers 14 h 30 et repasse en dessous vers 19 h : de 14 h 30 à 19 h, il s'écoule 4 h 30 min.

1. Construction du triangle ABC en vraie grandeur :

• tracer un segment [AB] de 6,4 cm ;
• à l'équerre, tracer la droite perpendiculaire à (AB) passant par B ;
• au compas, tracer un arc de cercle de centre A et de rayon 8 cm : il coupe la perpendiculaire en C ;
• tracer [AC] et [BC], en laissant visibles l'arc de cercle et le codage de l'angle droit en B.

En mesurant, on doit trouver BC ≈ 4,8 cm, ce que confirme la question suivante.

2. Le triangle ABC est rectangle en B, d'hypoténuse [AC]. D'après le théorème de Pythagore : $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$, donc $B{C}^2=A{C}^2-A{B}^2=8^2-6,4^2=64-40,96=23,04$. Ainsi $BC=\sqrt{23,04}=4,8$. BC = 4,8 cm.

3. Le triangle ABC est rectangle en B, donc (BC) est perpendiculaire à (AB) ; le triangle AMN est rectangle en M, donc (MN) est perpendiculaire à (AM). Comme A, B et M sont alignés, (AB) et (AM) sont la même droite. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Les droites (BC) et (MN) sont donc parallèles.

4. Le point B est sur le segment [AM], donc $AM=AB+BM=6,4+3,2=9,6$ cm.
Les points A, B, M sont alignés, les points A, C, N sont alignés et les droites (BC) et (MN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{AB}{AM}}={\displaystyle \frac{AC}{AN}}={\displaystyle \frac{BC}{MN}}$, soit ${\displaystyle \frac{6,4}{9,6}}={\displaystyle \frac{8}{AN}}={\displaystyle \frac{4,8}{MN}}$.
$AN={\displaystyle \frac{8\times 9,6}{6,4}}={\displaystyle \frac{76,8}{6,4}}=12$ et $MN={\displaystyle \frac{4,8\times 9,6}{6,4}}={\displaystyle \frac{46,08}{6,4}}=7,2$.
MN = 7,2 cm et AN = 12 cm.
Vérification : le rapport ${\displaystyle \frac{6,4}{9,6}}$ vaut ${\displaystyle \frac{2}{3}}$, et on a bien ${\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et ${\displaystyle \frac{4,8}{7,2}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

5. Périmètre du triangle ABC : $AB+BC+CA=6,4+4,8+8=19,2$ cm.
Pour le quadrilatère BMNC, il manque la longueur CN. Le point C est sur le segment [AN], donc $CN=AN-AC=12-8=4$ cm.
Périmètre de BMNC : $BM+MN+NC+CB=3,2+7,2+4+4,8=19,2$ cm.
Les deux périmètres sont égaux : ils mesurent chacun 19,2 cm.

Partie A

1. La longueur totale du bonbon est formée d'un rayon de demi-boule, de la hauteur du cylindre et d'un autre rayon de demi-boule : $15=R+h+R$, donc $h=15-2\times 2,5=15-5=10$. La hauteur du cylindre est bien de 10 mm.

2. a) Le cylindre a pour rayon $R=2,5$ mm et pour hauteur $h=10$ mm :
$V=\pi \times 2,5^2\times 10=\pi \times 6,25\times 10=62,5\pi \approx 196,35$. Le volume de la partie cylindrique est environ égal à 196 mm³.

2. b) Les deux demi-boules identiques de rayon 2,5 mm forment ensemble une boule entière de rayon 2,5 mm :
$V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 2,5^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 15,625\approx 65,45$ mm³.
Volume total d'un bonbon : $62,5\pi +{\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 2,5^3\approx 196,35+65,45=261,80$ mm³.
Comme $260<261,8<262$, Léa a raison : le volume d'un bonbon est compris entre 260 et 262 mm³.

3. On convertit le volume de mélange en mm³ : 1 dm = 100 mm, donc $1{\text{ dm}}^3={100}^3{\text{mm}}^3=1000000{\text{mm}}^3$. Ainsi $83\text{ L}=83{\text{ dm}}^3=83000000{\text{mm}}^3$.
Nombre de bonbons : ${\displaystyle \frac{83000000}{261,8}}\approx 317036$.
Comme $317036>300000$, oui, la confiserie peut produire plus de 300 000 bonbons par jour (environ 317 000).
Autre méthode : 300 000 bonbons nécessitent $300000\times 261,8=78540000$ mm³, soit 78,54 L, ce qui est moins que 83 L.

Partie B

Léa veut 1 kg, soit 1 000 g de bonbons.

• Format A : il faut $1000÷500=2$ sachets, soit $2\times 7,90=15,80$ €.
• Format B : il faut $1000÷250=4$ sachets. Avec l'offre promotionnelle, elle paie 3 sachets au prix normal et le quatrième à moitié prix : $3\times 4,30+4,30÷2=12,90+2,15=15,05$ €.

Comme $15,05<15,80$, Léa doit choisir le format B : elle paiera 15,05 € au lieu de 15,80 €, soit 0,75 € de moins. (Sans la promotion, le format B aurait coûté $4\times 4,30=17,20$ € et aurait été plus cher : c'est l'offre qui fait la différence. Mélanger les formats, avec 1 sachet A et 2 sachets B, coûterait $7,90+8,60=16,50$ €, ce qui est aussi plus cher.)

1. Avec le nombre 1 : $1+6=7$ et $1-4=-3$ ; puis $7\times (-3)=-21$. Le programme A donne bien −21.

2. Avec le nombre 10 : ${10}^2=100$, puis $100-9=91$. Le programme B donne 91.

3. Si $x$ est le nombre de départ, le programme B donne $x^2-9$. On résout $x^2-9=16$, soit $x^2=25$. Les nombres dont le carré vaut 25 sont 5 et −5. On obtient 16 avec le programme B en choisissant 5 ou −5.
Vérification : $5^2-9=25-9=16$ et $(-5{)}^2-9=25-9=16$.

4. Lignes à compléter :

• ligne 3 : mettre Valeur 1 à réponse + 6 ;
• ligne 4 : mettre Valeur 2 à réponse − 4 ;
• ligne 5 : mettre Résultat à Valeur 1 * Valeur 2.

La ligne 3 calcule le nombre de départ augmenté de 6, la ligne 4 le nombre de départ diminué de 4, et la ligne 5 multiplie ces deux nombres, comme le programme A.

5. Avec $x$ comme nombre de départ, le programme A donne $(x+6)(x-4)$. Par double distributivité :
$(x+6)(x-4)=x\times x-4\times x+6\times x-6\times 4=x^2-4x+6x-24=x^2+2x-24$.
Le résultat du programme A est bien $x^2+2x-24$. (Pour $x=1$ : $1+2-24=-21$, conforme à la question 1.)

6. On cherche $x$ tel que les deux résultats soient égaux : $x^2+2x-24=x^2-9$.
En retirant $x^2$ des deux côtés : $2x-24=-9$, d'où $2x=15$ et $x={\displaystyle \frac{15}{2}}=7,5$.
Les programmes A et B donnent le même résultat pour le nombre de départ 7,5.
Vérification : programme A : $(7,5+6)(7,5-4)=13,5\times 3,5=47,25$ ; programme B : $7,5^2-9=56,25-9=47,25$.