Sujet du brevet 2026 de maths — Antilles, Guyane (Série générale)

Aucune justification n'est demandée dans cette partie : on recopie le numéro de la question et la réponse. Une courte explication est donnée ici pour comprendre.

Question 1 : A(−2 ; 2). On lit d'abord l'abscisse sur l'axe horizontal ($-2$), puis l'ordonnée sur l'axe vertical ($2$).

Question 2 : le point M. Le symétrique de K par la symétrie de centre O est le point K' tel que O soit le milieu de [KK']. Pour aller de K à O, on se déplace de 2 carreaux vers la gauche et de 2 carreaux vers le bas ; en recommençant le même déplacement depuis O, on arrive sur M.

Question 3 : réponse B ($AC\times BD÷2$). L'aire d'un triangle est ${\displaystyle \frac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2}}$ : ici la base est [AC] et la hauteur relative à cette base est [BD], perpendiculaire à (AC). (A donne le périmètre, D oublie de diviser par 2.)

Question 4 : réponse C (${\displaystyle \frac{4}{10}}$). On compte les « pile » : 1^er, 2^e, 4^e et 9^e lancers, soit 4 sur 10 lancers. Fréquence $={\displaystyle \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}}={\displaystyle \frac{4}{10}}$.

Question 5 : réponse D (${\displaystyle \frac{n}{2}}$). Prendre la moitié, c'est diviser par 2. ($2n$ est le double et $n^2$ le carré de $n$.)

Question 6 : réponse C (6 min). Une heure dure 60 min, donc ${\displaystyle \frac{1}{10}}$ d'heure dure $60÷10=6$ min.

Question 7 : la moyenne vaut 12. ${\displaystyle \frac{10+10+12+16}{4}}={\displaystyle \frac{48}{4}}=12$.

Question 8 : $x={30}^{\circ }$. Les deux côtés codés sont égaux : le triangle est isocèle, ses deux angles à la base mesurent tous les deux $x$. La somme des angles d'un triangle vaut ${180}^{\circ }$ : $2x=180-120=60$, donc $x={30}^{\circ }$.

Question 9 : 45 min. $t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{15}{20}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ h, et ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ d'heure $=45$ min. (En 1 h on fait 20 km, donc 5 km en un quart d'heure, et 15 km en trois quarts d'heure.)

1. A est le point d'intersection des droites (BE) et (TM) : A appartient au segment [TM], entre T et M. On a donc $TM=TA+AM$, d'où $AM=TM-AT=7,7-2,2=5,5$. AM = 5,5 m.

2. Le triangle ABM est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore : $M{B}^2=A{B}^2+A{M}^2$.
$A{B}^2=M{B}^2-A{M}^2=7,3^2-5,5^2=53,29-30,25=23,04$, donc $AB=\sqrt{23,04}=4,8$ (car $4,8^2=23,04$). La longueur AB est bien égale à 4,8 m.

3. Dans le triangle ABM rectangle en A, le côté [AM] est opposé à l'angle $\widehat{ABM}$ et le côté [AB] lui est adjacent. On utilise la tangente : $\tan \widehat{ABM}={\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{5,5}{4,8}}$. À la calculatrice, $\widehat{ABM}=\arctan \left({\displaystyle \frac{5,5}{4,8}}\right)\approx 48,9^{\circ }$. Vérification avec le cosinus : $\cos \widehat{ABM}={\displaystyle \frac{AB}{MB}}={\displaystyle \frac{4,8}{7,3}}$ donne aussi environ $48,9^{\circ }$. L'angle $\widehat{ABM}$ mesure environ ${49}^{\circ }$ (arrondi au degré).

4. Les points T, A, M sont alignés et les points E, A, B sont alignés ; les droites (TM) et (EB) se coupent en A.
D'une part ${\displaystyle \frac{AT}{AM}}={\displaystyle \frac{2,2}{5,5}}=0,4$ ; d'autre part ${\displaystyle \frac{AE}{AB}}={\displaystyle \frac{1,92}{4,8}}=0,4$.
Les quotients ${\displaystyle \frac{AT}{AM}}$ et ${\displaystyle \frac{AE}{AB}}$ sont égaux et les points T, A, M et E, A, B sont alignés dans le même ordre (A est entre T et M, et entre E et B). D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (TE) et (BM) sont parallèles.

5. Proposition 3 : le rapport est $-2,5$. L'homothétie de centre A transforme E en B et T en M. Les longueurs sont multipliées par ${\displaystyle \frac{AB}{AE}}={\displaystyle \frac{4,8}{1,92}}=2,5$ (et ${\displaystyle \frac{AM}{AT}}={\displaystyle \frac{5,5}{2,2}}=2,5$). Comme E et B sont situés de part et d'autre du centre A (de même pour T et M), le rapport est négatif : $k=-2,5$.

1. On applique le programme A au nombre 1 : $1-2=-1$ ; $-1\times 5=-5$ ; le triple du nombre de départ est $3\times 1=3$, donc $-5+3=-2$. On obtient bien $-2$.

2. a) Avec $x$ comme nombre de départ : on soustrait 2 : $x-2$ ; on multiplie par 5 : $5(x-2)=5x-10$ ; on ajoute le triple du nombre de départ : $5x-10+3x=8x-10$. Le résultat du programme est bien $8x-10$. (Contrôle avec $x=1$ : $8-10=-2$, comme à la question 1.)

2. b) On résout l'équation $8x-10=0$ : $8x=10$, donc $x={\displaystyle \frac{10}{8}}=1,25$. Vérification : $1,25-2=-0,75$ ; $-0,75\times 5=-3,75$ ; $-3,75+3\times 1,25=-3,75+3,75=0$. Il faut choisir 1,25 comme nombre de départ.

3. a) On suit le programme B bloc par bloc avec la réponse 1 :
– « mettre résultat à 4 * réponse » : résultat $=4\times 1=4$ ;
– « mettre résultat à résultat − 5 » : résultat $=4-5=-1$ ;
– « mettre résultat à 2 * résultat » : résultat $=2\times (-1)=-2$ ;
– « dire résultat » affiche $-2$.
Le résultat final est $-2$.

3. b) Avec $x$ comme nombre de départ, le programme B donne successivement $4x$, puis $4x-5$, puis $2(4x-5)=8x-10$. Le programme A donne aussi $8x-10$ (question 2. a). Les deux expressions sont identiques, donc les programmes A et B donnent toujours le même résultat, quel que soit le nombre choisi au départ.

1. Avec le tarif B, on paie 15 € d'abonnement plus 3,50 € par demi-journée : $15+3,5\times 12=15+42=57$. Le prix pour 12 demi-journées avec le tarif B est 57 €. (C'est la valeur indiquée dans le tableau de la question 6 pour 12 demi-journées.)

2. $f$ correspond au tarif B (15 € fixes plus 3,50 € par demi-journée), $g$ au tarif C (64 € quel que soit le nombre de demi-journées) et $h$ au tarif A (5,50 € par demi-journée).

3. $(d_1)$ représente $f$ (droite qui coupe l'axe des ordonnées en 15), $(d_2)$ représente $g$ (droite horizontale à la hauteur 64) et $(d_3)$ représente $h$ (droite qui passe par l'origine).

4. Une situation de proportionnalité est représentée par une droite qui passe par l'origine du repère. La droite $(d_1)$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;15)$ : elle ne passe pas par l'origine. On peut aussi le vérifier par le calcul : pour 1 demi-journée on paie 18,50 € et pour 2 demi-journées 22 €, or $2\times 18,5=37\ne 22$. La droite $(d_1)$ ne représente donc pas une situation de proportionnalité.

5. Le tarif B est plus avantageux que le tarif A lorsque la droite $(d_1)$ est en dessous de la droite $(d_3)$. Les deux droites se coupent au point d'abscisse 7,5 (ordonnée environ 41) ; à droite de ce point, $(d_1)$ passe sous $(d_3)$. Comme on compte des demi-journées entières, le tarif B devient plus avantageux à partir de 8 demi-journées. (Contrôle : pour 7 demi-journées, A coûte 38,50 € et B 39,50 € ; pour 8, A coûte 44 € et B 43 €.)

6. a) La formule saisie en B2 est =15+3,5*B1. Elle utilise la référence de la cellule B1 (le nombre de demi-journées) : en l'étirant vers la droite, elle devient =15+3,5*C1, =15+3,5*D1, etc. (La formule =15+3,5*1 donnerait 18,5 dans toutes les cellules, et le tableur ne connaît pas la lettre $x$.)

6. b) Le tarif C coûte 64 €. Dans le tableau, le tarif B coûte 60,50 € pour 13 demi-journées, exactement 64 € pour 14 demi-journées et 67,50 € pour 15 demi-journées. Le tarif C devient plus avantageux que le tarif B à partir de 15 demi-journées (pour 14 demi-journées, les deux tarifs coûtent le même prix).