Sujet du brevet 2025 de maths — Métropole (session de remplacement) (Série générale)

1. La liste compte 22 chansons, dont 9 chants de Noël et 6 comptines ; les autres sont des berceuses. Nombre de berceuses : $22-9-6=22-15=7$. Vérification : $9+6+7=22$. La liste contient 7 berceuses.

2. La durée moyenne est la durée totale divisée par le nombre de chansons : ${\displaystyle \frac{55}{22}}=2,5$ min. Or $0,5$ min $=0,5\times 60$ s $=30$ s. Autre calcul : $55$ min $=55\times 60=3300$ s et ${\displaystyle \frac{3300}{22}}=150$ s $=2\times 60+30$ s. La durée moyenne d'une chanson est de 2 min 30 s.

3. a) La chanson est choisie au hasard parmi les 22 chansons : il y a 22 issues équiprobables. Il y a 6 comptines, donc 6 issues favorables : $p={\displaystyle \frac{6}{22}}={\displaystyle \frac{2\times 3}{2\times 11}}={\displaystyle \frac{3}{11}}$. La probabilité que la chanson écoutée soit une comptine est bien ${\displaystyle \frac{3}{11}}$.

3. b) Les chansons qui ne sont pas des berceuses sont les chants de Noël et les comptines : $9+6=15$ chansons. Donc $p={\displaystyle \frac{15}{22}}$. On peut aussi passer par l'événement contraire : la probabilité d'écouter une berceuse est ${\displaystyle \frac{7}{22}}$, donc celle de ne pas en écouter une est $1-{\displaystyle \frac{7}{22}}={\displaystyle \frac{15}{22}}$. La probabilité que la chanson écoutée ne soit pas une berceuse est ${\displaystyle \frac{15}{22}}$.

3. c) Un nombre premier possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Entre 1 et 22, les nombres premiers sont 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19, soit 8 nombres (1 n'est pas premier, et 21 $=3\times 7$ ne l'est pas). La probabilité de l'événement est donc $p={\displaystyle \frac{8}{22}}={\displaystyle \frac{4}{11}}$.
Pour comparer avec ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, on réduit au même dénominateur : ${\displaystyle \frac{4}{11}}={\displaystyle \frac{12}{33}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{11}{33}}$. Comme $12>11$, ${\displaystyle \frac{4}{11}}>{\displaystyle \frac{1}{3}}$ (en valeurs approchées : ${\displaystyle \frac{4}{11}}\approx 0,364$ et ${\displaystyle \frac{1}{3}}\approx 0,333$). Oui, la probabilité que le numéro soit un nombre premier (${\displaystyle \frac{4}{11}}$) est supérieure à ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Question 1 : réponse C (12). L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série : $14-2=12$.

Question 2 : réponse C (1 dm³). Par définition, $1$ L $=1$ dm³ (et $1$ m³ $=1000$ L, $1$ cm³ $=1$ mL).

Question 3 : réponse B (0,000 86). Multiplier par ${10}^{-4}$ revient à décaler la virgule de 4 rangs vers la gauche : $8,6\times {10}^{-4}=0,00086$. Le nombre est positif (le signe « − » porte sur l'exposant, pas sur le nombre), ce qui élimine la réponse C.

Question 4 : réponse D (60 cm). Le ratio 3 : 2 signifie que ${\displaystyle \frac{\text{longueur}}{3}}={\displaystyle \frac{\text{largeur}}{2}}$. Avec une longueur de 90 cm : ${\displaystyle \frac{90}{3}}=30$, donc la largeur vaut $2\times 30=60$ cm. Vérification : $90:60=3:2$.

Question 5 : réponse D (20 %). La baisse est de $75-60=15$ €. Le pourcentage de réduction se calcule par rapport au prix de départ : ${\displaystyle \frac{15}{75}}=0,2=20\%$. Vérification : $75\times (1-0,2)=75\times 0,8=60$ €.

Question 6 : réponse B ($(2x-5)(2x+5)$). On reconnaît une différence de deux carrés : $4x^2-25=(2x{)}^2-5^2$. D'après l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ avec $a=2x$ et $b=5$ : $4x^2-25=(2x-5)(2x+5)$. Vérification en développant : $(2x-5)(2x+5)$$=4x^2+10x-10x-25$$=4x^2-25$.

1. a) Les points B, E et C sont alignés et, sur la figure, E appartient au segment [BC]. Donc $BC=BE+EC$, d'où $CE=BC-BE=7,5-3=4,5$. CE = 4,5 cm.

1. b) Dans le triangle CBD : les points C, E, B sont alignés, les points C, F, D sont alignés (F appartient à [CD]) et les droites (EF) et (BD) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès :
${\displaystyle \frac{CE}{CB}}={\displaystyle \frac{CF}{CD}}={\displaystyle \frac{EF}{BD}}$, soit ${\displaystyle \frac{4,5}{7,5}}={\displaystyle \frac{2,7}{CD}}={\displaystyle \frac{EF}{6}}$.
Donc $EF={\displaystyle \frac{6\times 4,5}{7,5}}={\displaystyle \frac{27}{7,5}}=3,6$. Vérification : ${\displaystyle \frac{4,5}{7,5}}=0,6$ et $6\times 0,6=3,6$. La longueur EF est bien égale à 3,6 cm.

2. Dans le triangle CEF, le plus grand côté est [CE] (4,5 cm).
D'une part : $C{E}^2=4,5^2=20,25$.
D'autre part : $C{F}^2+E{F}^2$$=2,7^2+3,6^2$$=7,29+12,96$$=20,25$.
On constate que $C{E}^2=C{F}^2+E{F}^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CEF est rectangle en F (le sommet opposé au plus grand côté [CE]).

3. a) Le triangle ABC est rectangle en B. Pour l'angle $\widehat{BCA}$, le côté [AB] est le côté opposé et [BC] le côté adjacent. On utilise la tangente :
$\tan \widehat{BCA}={\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{10}{7,5}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$.
À la calculatrice : $\widehat{BCA}=\arctan \left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)\approx 53,{13}^{\circ }$. L'angle $\widehat{BCA}$ mesure environ 53° (arrondi au degré).

3. b) Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux égaux ; il suffit de trouver deux paires d'angles égaux.
– Le triangle ABC est rectangle en B et le triangle CEF est rectangle en F (question 2) : $\widehat{ABC}=\widehat{EFC}={90}^{\circ }$.
– Comme E appartient à [CB] et F à [CA], l'angle $\widehat{ECF}$ est le même angle que $\widehat{BCA}$ : les deux triangles ont en commun l'angle de sommet C (environ 53°).
Les triangles ABC et CEF ont donc deux angles égaux deux à deux, et par suite le troisième aussi (la somme des angles d'un triangle vaut 180°) : $\widehat{BAC}=\widehat{CEF}$.
Contrôle par les longueurs : d'après Pythagore dans ABC, $A{C}^2={10}^2+7,5^2=156,25$, donc $AC=12,5$ cm ; les côtés homologues sont proportionnels : ${\displaystyle \frac{CF}{CB}}={\displaystyle \frac{2,7}{7,5}}=0,36$, ${\displaystyle \frac{EF}{AB}}={\displaystyle \frac{3,6}{10}}=0,36$ et ${\displaystyle \frac{CE}{CA}}={\displaystyle \frac{4,5}{12,5}}=0,36$.
Oui, les triangles ABC et CEF sont semblables (CEF est une réduction de ABC de coefficient 0,36).

1. On applique la méthode à 26 °C : $26+4=30$, puis $30\times 0,5=15$. Pour une eau à 26 °C, le temps de filtration est bien de 15 h.

2. Avec une température $x$ : on ajoute 4, ce qui donne $x+4$, puis on multiplie par 0,5 : $0,5(x+4)=0,5\times x+0,5\times 4=0,5x+2$ (distributivité). Le temps de filtration, en heure, s'écrit bien $0,5x+2$. Vérification avec $x=26$ : $0,5\times 26+2=13+2=15$.

3. a) Une situation de proportionnalité est représentée par une droite qui passe par l'origine du repère (fonction linéaire). Ici la droite coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 2), car $f(0)=2\ne 0$ : elle ne passe pas par l'origine. On peut aussi comparer deux quotients : ${\displaystyle \frac{15}{26}}\approx 0,58$ et ${\displaystyle \frac{f(10)}{10}}={\displaystyle \frac{7}{10}}=0,7$ ne sont pas égaux. Le temps de filtration n'est pas proportionnel à la température de l'eau ($f$ est une fonction affine, non linéaire).

3. b) L'image de 10 par la fonction $f$ est 7 (lecture graphique, confirmée par le calcul $f(10)=0,5\times 10+2=7$).

4. $0,5x+2=17$
$0,5x=17-2=15$
$x={\displaystyle \frac{15}{0,5}}=30$.
Vérification : $0,5\times 30+2=15+2=17$. La solution de l'équation est 30. Interprétation : 30 est l'antécédent de 17 par $f$ ; lorsque l'eau de la piscine est à 30 °C, le temps de filtration idéal est de 17 h par jour.

5. Nombre de jours. Du 1^er juillet au 31 août inclus, il y a 31 jours en juillet et 31 jours en août : $31+31=62$ jours.
Consommation (document 3). $0,8\times 16\times 62=12,8\times 62=793,6$ kWh.
Dépense (document 2). $793,6\times 0,23=182,528$ €. Vérification : $0,8\times 16\times 0,23=2,944$ € par jour, et $2,944\times 62=182,528$ €.
La dépense liée à la filtration sur cette période est d'environ 182,53 €.

1. Le dessus de la table est un carré de côté 80 cm. Aire d'un carré $=$ côté × côté : $80\times 80=6400$. L'aire du dessus de la table est bien égale à 6 400 cm².

2. Méthode 1. Chaque plaque en bois est un rectangle de 60 cm sur 20 cm, d'aire $60\times 20=1200$ cm². Les quatre plaques en bois occupent $4\times 1200=4800$ cm², donc la plaque en verre a pour aire $6400-4800=1600$ cm².
Vérification. Le côté de la plaque en verre vaut $80-20-20=40$ cm (ou $60-20=40$ cm), et $40\times 40=1600$ cm².
Proportion : ${\displaystyle \frac{1600}{6400}}={\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25=25\%$. L'aire de la plaque en verre représente bien 25 % de l'aire totale du dessus de la table.

3. C'est une rotation : de centre le centre de la table et d'angle 90°, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (le rectangle n° 1, en bas, vient se placer à droite, en position n° 2).

4. a) Le bloc trace un rectangle de 60 pas sur 20 pas (1 pas = 1 cm), en répétant deux fois « un grand côté, un quart de tour, un petit côté, un quart de tour ». Le bloc complété est :
1 définir Rectangle
2 stylo en position d'écriture
3 répéter 2 fois
4 – avancer de 60 pas
5 – tourner ↺ de 90 degrés
6 – avancer de 20 pas
7 – tourner ↺ de 90 degrés
8 relever le stylo
Ligne 3 : répéter 2 fois ; ligne 5 : tourner de 90 degrés ; ligne 6 : avancer de 20 pas. Les 4 quarts de tour (2 × 2 × 90° = 360°) ramènent le lutin à son point de départ, orienté comme au début.

4. b) Le lutin part du coin inférieur gauche de la table, orienté vers la droite. Le bloc « Rectangle » trace le rectangle n° 1 et ramène le lutin à son point de départ, dans la même orientation.
– Programme A : le lutin ne se déplace jamais entre deux rectangles ; les quatre rectangles partent tous du même coin et sortent du carré de la table. Il ne convient pas.
– Programme B : après le rectangle n° 1, le lutin avance de 60 pas seulement et tourne d'un quart de tour vers le haut ; le rectangle suivant est tracé entre 40 cm et 60 cm du bord gauche, par-dessus le rectangle n° 1, au lieu d'être sur le bord droit. Il ne convient pas.
– Programme C : après chaque rectangle, le lutin avance de 80 pas, c'est-à-dire d'un côté complet de la table, jusqu'au coin suivant, puis tourne de 90° ; il trace alors le rectangle suivant le long du bord suivant (bas, puis droite, puis haut, puis gauche). Au bout des 4 répétitions, les quatre plaques sont dessinées et le lutin revient à son point de départ.
C'est le programme C qui permet de tracer la vue du dessus de la table.