Sujet du brevet 2025 de maths — Métropole (Série générale)

1. L'urne A contient 6 boules, toutes équiprobables. Les numéros pairs sont 10, 12, 24 et 30, soit 4 boules sur 6. La probabilité d'obtenir un nombre pair est donc $p={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. La probabilité vaut ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

2. Un nombre premier possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Dans l'urne B (9 boules), les numéros premiers sont 2, 5 et 17 (6, 8, 18, 21, 22 et 25 ne le sont pas : $6=2\times 3$, $8=2^3$, $18=2\times 9$, $21=3\times 7$, $22=2\times 11$, $25=5^2$). Il y a donc 3 issues favorables sur 9 issues équiprobables : $p={\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. La probabilité d'obtenir un nombre premier est bien ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

3. Un multiple de 6 est un nombre de la forme $6\times k$ avec $k$ entier. Dans l'urne A : $12=6\times 2$, $24=6\times 4$ et $30=6\times 5$, soit 3 boules. Dans l'urne B : $6=6\times 1$ et $18=6\times 3$, soit 2 boules. C'est l'urne A qui contient le plus de multiples de 6 (3 contre 2).

4. Dans l'urne A, les numéros supérieurs ou égaux à 20 sont 24 et 30 : $p_A={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Dans l'urne B, ce sont 21, 22 et 25 : $p_B={\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Les deux probabilités sont égales à ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. La probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est donc la même quelle que soit l'urne choisie.

5. On ajoute une boule numérotée 50 (qui est supérieure à 20) dans chaque urne. L'urne A contient alors 7 boules dont 3 favorables (24, 30, 50) : $p_A={\displaystyle \frac{3}{7}}$. L'urne B contient 10 boules dont 4 favorables (21, 22, 25, 50) : $p_B={\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$. Pour comparer, on met au même dénominateur : ${\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{15}{35}}$ et ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{14}{35}}$. Comme ${\displaystyle \frac{15}{35}}\ne {\displaystyle \frac{14}{35}}$, les probabilités ne sont plus égales : elle est légèrement plus grande avec l'urne A (${\displaystyle \frac{3}{7}}\approx 0,43$ contre ${\displaystyle \frac{2}{5}}=0,4$).

Partie A : la course à pied

1. Les points A, D et E sont alignés et, d'après le parcours ACDEB, le point D est situé entre A et E. On a donc $AE=AD+DE$, d'où $AD=AE-DE=250-50=200$. AD = 200 m.

2. Le triangle ADC est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore : $C{D}^2=A{C}^2+A{D}^2$.
$C{D}^2={480}^2+{200}^2=230400+40000=270400$, donc $CD=\sqrt{270400}=520$. La longueur CD est égale à 520 m.

3. a) Les points A, C, B sont alignés dans cet ordre et les points A, D, E sont alignés dans le même ordre. On a $AB=AC+CB=480+120=600$ m.
D'une part ${\displaystyle \frac{AC}{AB}}={\displaystyle \frac{480}{600}}=0,8$ ; d'autre part ${\displaystyle \frac{AD}{AE}}={\displaystyle \frac{200}{250}}=0,8$.
Les quotients ${\displaystyle \frac{AC}{AB}}$ et ${\displaystyle \frac{AD}{AE}}$ sont égaux et les points sont dans le même ordre sur les deux droites : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (CD) et (BE) sont parallèles.

3. b) Dans le triangle ACD rectangle en A, le côté [AD] est opposé à l'angle $\widehat{ACD}$ et le côté [AC] lui est adjacent. On utilise la tangente : $\tan \widehat{ACD}={\displaystyle \frac{AD}{AC}}={\displaystyle \frac{200}{480}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$. À la calculatrice, $\widehat{ACD}=\arctan \left({\displaystyle \frac{5}{12}}\right)\approx 22,6^{\circ }$. L'angle $\widehat{ACD}$ mesure environ $22,6^{\circ }$, il est donc bien supérieur à ${20}^{\circ }$.

3. c) Les deux conditions sont vérifiées : les droites (CD) et (BE) sont parallèles (question 3. a) et l'angle $\widehat{ACD}$ dépasse ${20}^{\circ }$ (question 3. b). Le parcours est validé.

Partie B : la natation

4. La série est déjà rangée dans l'ordre croissant et comporte 9 valeurs (effectif impair). La médiane est la valeur du milieu, c'est-à-dire la 5^e valeur (4 valeurs avant, 4 valeurs après) : 5 min 30 s ; 5 min 45 s ; 5 min 49 s ; 5 min 50 s ; 6 min ; 6 min 11 s ; 6 min 12 s ; 6 min 20 s ; 6 min 40 s. Le temps médian est 6 min.

5. L'élève le plus rapide nage 200 m en 5 min 30 s, soit $5\times 60+30=330$ s. Sa vitesse est $v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{200}{330}}\approx 0,61$ m/s.
Le poisson rouge nage à 5 km/h, soit $5000$ m en $3600$ s : $v={\displaystyle \frac{5000}{3600}}\approx 1,39$ m/s.
Autre méthode : en 1 h (soit 60 min), l'élève parcourrait ${\displaystyle \frac{200\times 60}{5,5}}\approx 2182$ m $\approx 2,2$ km, donc sa vitesse est d'environ 2,2 km/h, inférieure à 5 km/h.
Le poisson rouge (environ 1,39 m/s) nage plus vite que l'élève le plus rapide (environ 0,61 m/s).

Question 1 : réponse C (14 €). Le prix est proportionnel au nombre de melons. Un melon coûte $8,40÷3=2,80$ €, donc 5 melons coûtent $5\times 2,80=14$ €.

Question 2 : réponse D (une symétrie axiale). Sur le quadrillage, la figure 2 n'est pas superposable à la figure 1 par un simple glissement (ce n'est pas une translation) ni par une rotation : la figure 2 est « retournée », comme dans un miroir. La branche verticale de la figure 1 devient horizontale et l'encoche située à droite de cette branche se retrouve au-dessus : c'est l'effet d'une symétrie axiale d'axe oblique (une diagonale du quadrillage). Une symétrie centrale aurait au contraire retourné la figure de ${180}^{\circ }$ en envoyant la pointe du bas vers le haut.

Question 3 : réponse A (420 €). Augmenter de 20 % revient à multiplier par $1+{\displaystyle \frac{20}{100}}=1,2$ : $350\times 1,2=420$ €.

Question 4 : réponse B (13,5 cm²). Le triangle ABC est rectangle en B, ses côtés de l'angle droit mesurent AB = 6 cm et BC = 4,5 cm (7,5 cm est l'hypoténuse, inutile ici). Aire $={\displaystyle \frac{AB\times BC}{2}}={\displaystyle \frac{6\times 4,5}{2}}={\displaystyle \frac{27}{2}}=13,5$ cm².

Question 5 : réponse A ($2x^2-5x-12$). On développe par double distributivité : $(2x+3)(x-4)$$=2x\times x-2x\times 4+3\times x-3\times 4$$=2x^2-8x+3x-12$$=2x^2-5x-12$.

Question 6 : réponse B (112 cm³). Volume d'une pyramide $={\displaystyle \frac{\text{aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}}$. La base est un rectangle de 7 cm sur 4 cm et la hauteur mesure 12 cm : $V={\displaystyle \frac{7\times 4\times 12}{3}}={\displaystyle \frac{336}{3}}=112$ cm³ (336 cm³ est le volume du pavé de mêmes dimensions, piège classique).

Partie A : le programme de Zoé

1. On applique le programme au nombre 10 : $10-4=6$ ; $6\times 2=12$ ; $12+8=20$. On obtient bien 20.

2. Avec $-7$ : $-7-4=-11$ ; $-11\times 2=-22$ ; $-22+8=-14$. On obtient $-14$.

3. Soit $x$ le nombre de départ. On soustrait 4 : $x-4$ ; on multiplie par 2 : $2(x-4)=2x-8$ ; on ajoute 8 : $2x-8+8=2x$. Le résultat est $2x$, c'est-à-dire le double du nombre de départ, quel que soit ce nombre (on le vérifie avec les questions précédentes : $20=2\times 10$ et $-14=2\times (-7)$). Zoé a raison, son programme est bien « magique ».

Partie B : le programme de Fred

4. On lit le programme Scratch ligne par ligne avec $x$ comme nombre de départ (la variable « réponse ») :
– « mettre résultat à réponse × 4 » : résultat $=4x$ ;
– « mettre résultat à résultat + 10 » : résultat $=4x+10$ ;
– « mettre résultat à résultat × 5 » : résultat $=5(4x+10)=20x+50$.
Le programme affiche bien $20x+50$.

5. On cherche $x$ tel que $20x+50=75$. On résout : $20x=75-50=25$, donc $x={\displaystyle \frac{25}{20}}=1,25$. Vérification : $1,25\times 4=5$ ; $5+10=15$ ; $15\times 5=75$. Il faut choisir 1,25 au départ.

6. Après les trois premières instructions, le résultat vaut $20x+50$. Pour obtenir $20x$, c'est-à-dire 20 fois le nombre de départ, il faut retirer 50. La sixième ligne doit donc être : « mettre résultat à (résultat) − (50) ». Le programme affiche alors $20x+50-50=20x$.

Partie A

1. Une année compte 12 mois. Avec l'option Achat, la dépense est le prix de la voiture plus 12 mois d'assurance : $22400+75\times 12=22400+900=23300$. La dépense à la fin de la première année est bien de 23 300 €.

2. Après 36 mois :
– option Achat : $22400+75\times 36=22400+2700=25100$ € (valeur qui figure dans le tableau) ;
– option Location : $425\times 36=15300$ €.
Économie : $25100-15300=9800$. En choisissant la location, le client économise 9 800 € après 36 mois.

3. La dépense de l'option Location est proportionnelle au nombre de mois : $425\times$ nombre de mois. Le nombre de mois se trouve en ligne 1, dans la même colonne. La formule à saisir en B3 est =425*B1 (ou =B1*425). Étendue vers la droite, elle devient =425*C1, =425*D1, etc., ce qui donne 5 100 ; 10 200 ; 15 300 ; 20 400 ; 25 500.

Partie B

4. Avec l'option Achat, on paie 22 400 € une fois pour toutes, puis 75 € par mois pendant $x$ mois : $f(x)=75x+22400$. C'est une fonction affine (de coefficient directeur 75 et d'ordonnée à l'origine 22 400), ce qui correspond à la droite $C_f$ qui coupe l'axe des ordonnées en 22 400. Vérification : $f(12)=900+22400=23300$, conforme à la question 1.

5. L'option Achat est la plus avantageuse lorsque sa dépense est inférieure à celle de la location, c'est-à-dire lorsque la courbe $C_f$ est en dessous de $C_g$. Sur le graphique, les deux droites se coupent au point d'abscisse 64 environ (ordonnée environ 27 200 €) ; à gauche de ce point, $C_g$ est en dessous, à droite c'est $C_f$. Par lecture graphique, les deux options coûtent la même chose à 64 mois (27 200 €) : l'option Achat devient la plus avantageuse au-delà de 64 mois (soit un peu plus de 5 ans). Contrôle par le calcul : $75x+22400=425x$ donne $350x=22400$, soit $x=64$ exactement.