Sujet du brevet 2024 de maths — Métropole, Antilles et Guyane (session de remplacement) (Série générale)

1. Affirmation 1 : FAUSSE. Le produit $4\times 5\times 13$ vaut bien $260$, mais ce n'est pas une décomposition en produit de facteurs premiers : $4$ n'est pas un nombre premier, car $4=2\times 2$ (il a trois diviseurs : 1, 2 et 4). On décompose : $260=2\times 130=2\times 2\times 65=2\times 2\times 5\times 13$. La décomposition de 260 en produit de facteurs premiers est $2^2\times 5\times 13$ ; l'affirmation est fausse.

2. Affirmation 2 : FAUSSE. Première urne : $3+4+8=15$ boules équiprobables, dont 8 rouges : $p(\text{rouge})={\displaystyle \frac{8}{15}}$.
Seconde urne : $1+1+3=5$ boules équiprobables, dont 3 marquées C : $p(\text{C})={\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{9}{15}}$.
Comme ${\displaystyle \frac{8}{15}}<{\displaystyle \frac{9}{15}}$ (soit environ $0,53$ contre $0,6$), la probabilité d'obtenir une boule rouge est inférieure à celle d'obtenir la lettre C : l'affirmation est fausse.

3. Affirmation 3 : VRAIE. On résout l'équation : $7x+5=2x-2$, donc $7x-2x=-2-5$, soit $5x=-7$, d'où $x={\displaystyle \frac{-7}{5}}=-1,4$.
Vérification : $7\times (-1,4)+5=-9,8+5=-4,8$ et $2\times (-1,4)-2=-2,8-2=-4,8$ : les deux membres sont égaux. La solution de l'équation est bien $-1,4$.

4. Affirmation 4 : VRAIE. Les 10 pièces empilées forment un cylindre de même diamètre, 1,9 cm, donc de rayon $R=1,9÷2=0,95$ cm, et de hauteur $h=10\times 0,2=2$ cm.
$V$$=\pi \times R^2\times h$$=\pi \times 0,{95}^2\times 2$$=\pi \times 0,9025\times 2$$=1,805\pi$$\approx 5,67$ cm³.
Arrondi à l'unité, le volume est bien de 6 cm³ : l'affirmation est vraie.

5. Affirmation 5 : VRAIE. On convertit la vitesse de l'éléphant en km/h. En 1 s, il parcourt 5 m ; en 1 h, soit 3 600 s, il parcourt $5\times 3600=18000$ m, c'est-à-dire 18 km. Sa vitesse est donc de 18 km/h.
Autre méthode : $17$ km/h $={\displaystyle \frac{17000\text{ m}}{3600\text{ s}}}\approx 4,72$ m/s, ce qui est inférieur à 5 m/s.
Comme 18 km/h > 17 km/h, l'éléphant est plus rapide que le cochon : l'affirmation est vraie.

1. a. À chaque passage, la moissonneuse batteuse coupe une bande de 12 m de large parallèle à (AB). Les codages de la figure montrent que [BG] est formé de 5 segments de même longueur que [BE], un par passage. Après 5 passages : $BG=5\times 12=60$. On a bien BG = 60 m.

1. b. Le point G appartient au segment [BC], donc $CG=BC-BG=150-60=90$. On a bien CG = 90 m.

2. Les droites (AB) et (GF) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (BC) (angles droits codés en B et en G). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles : (GF) // (AB).
Dans le triangle CAB, les points C, G, B sont alignés, les points C, F, A sont alignés et (GF) // (AB). D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{CG}{CB}}={\displaystyle \frac{CF}{CA}}={\displaystyle \frac{GF}{BA}}$.
Donc ${\displaystyle \frac{90}{150}}={\displaystyle \frac{GF}{200}}$, d'où $GF={\displaystyle \frac{90\times 200}{150}}={\displaystyle \frac{18000}{150}}=120$.
La longueur GF est de 120 m.

3. a. Le triangle CGF est rectangle en G : ses côtés de l'angle droit sont [CG] et [GF]. Son aire est $𝒜={\displaystyle \frac{CG\times GF}{2}}={\displaystyle \frac{90\times 120}{2}}={\displaystyle \frac{10800}{2}}=5400$. L'aire du triangle CGF est bien de 5 400 m².
Contrôle : l'aire du champ ABC est ${\displaystyle \frac{200\times 150}{2}}=15000$ m², et $15000-5400=9600$ m², ce qui est bien l'aire du quadrilatère ABGF donnée à la question suivante.

3. b. Le temps de travail est proportionnel à la surface moissonnée. En 80 minutes, la moissonneuse traite 9 600 m², soit $9600÷80=120$ m² par minute. Pour 5 400 m² : $t={\displaystyle \frac{5400}{120}}=45$ min.
Vérification par le produit en croix : $t={\displaystyle \frac{5400\times 80}{9600}}={\displaystyle \frac{432000}{9600}}=45$.
Il faut 45 minutes pour moissonner la partie restante CGF.

4. La clôture fait le tour du champ : il faut calculer le périmètre du triangle ABC, donc d'abord la longueur AC.
Le triangle ABC est rectangle en B, donc d'après le théorème de Pythagore : $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2={200}^2+{150}^2=40000+22500=62500$, d'où $AC=\sqrt{62500}=250$ m.
Périmètre : $AB+BC+AC=200+150+250=600$ m.
L'agriculteur doit acheter 600 m de clôture.

1. a. La plus grande valeur du tableau est 405 kWh. La production a été la plus grande le samedi (405 kWh).

1. b. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. La plus petite production est 322 kWh (mercredi) : $405-322=83$. L'étendue est de 83 kWh.

1. c. La moyenne est la somme des productions divisée par le nombre de jours :
${\displaystyle \frac{381+363+322+329+393+405+376}{7}}={\displaystyle \frac{2569}{7}}=367$.
Vérification : $367\times 7=2569$. La production moyenne est de 367 kWh par jour.

2. Production totale sur les 7 jours : 2 569 kWh (question 1. c).
Quantité revendue : $15\%$ de 2 569, soit $2569\times {\displaystyle \frac{15}{100}}=385,35$ kWh.
8 centimes $=0,08$ €, donc le gain est $385,35\times 0,08=30,828$ €.
Vérification en un seul calcul : $2569\times 0,15\times 0,08=2569\times 0,012=30,828$.
L'entreprise a gagné environ 30,83 € pendant ces 7 jours.

3. Sur le schéma, le triangle OLV est rectangle en V, avec OL = 13,5 m (le pan du toit, hypoténuse) et OV = 7 m. Le côté [OV] est opposé à l'angle $\widehat{OLV}$ et [OL] est l'hypoténuse : on utilise le sinus.
$\sin \widehat{OLV}={\displaystyle \frac{OV}{OL}}={\displaystyle \frac{7}{13,5}}\approx 0,519$.
À la calculatrice : $\widehat{OLV}=\arcsin \left({\displaystyle \frac{7}{13,5}}\right)\approx 31,2^{\circ }$.
Contrôle : $\sin {30}^{\circ }=0,5$ et $\sin {35}^{\circ }\approx 0,574$ ; la valeur $0,519$ est bien comprise entre les deux.
La pente du toit mesure environ 31,2°, comprise entre 30° et 35° : les panneaux solaires ont une production maximale.

1. On remplace $x$ par 6 : $f(6)=6^2+10\times 6+16=36+60+16=112$. L'image de 6 par la fonction $f$ est bien 112.

2. a. La formule saisie en B2 doit calculer l'image du nombre écrit juste au-dessus, en B1, et s'adapter quand on l'étire vers la droite (B1 devient C1, D1…). La formule saisie est =B1*B1+10*B1+16.
Les autres ne conviennent pas : =A1*A1+10*A1+16 utilise la cellule A1, qui contient le texte « $x$ » ; =(-4)*(-4)+10*(-4)+16 ne contient que des nombres et donnerait $-8$ dans toutes les cellules une fois étirée ; =x*x+10*x+16 n'est pas une formule valide, car « x » n'est pas une référence de cellule.

2. b. Dans le tableau, la cellule D2 contient 0 et la cellule D1 contient $-2$ : $f(-2)=0$. Vérification : $(-2{)}^2+10\times (-2)+16=4-20+16=0$. $-2$ est un antécédent de 0 par la fonction $f$.

3. a. On développe par double distributivité : $(x+2)(x+8)$$=x\times x+x\times 8+2\times x+2\times 8$$=x^2+8x+2x+16$$=x^2+10x+16$. On retrouve l'expression de $f(x)$. Donc, pour tout nombre $x$, $f(x)=(x+2)(x+8)$.

3. b. On cherche les nombres $x$ tels que $f(x)=0$, c'est-à-dire $(x+2)(x+8)=0$. Or, un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $x+2=0$ ou $x+8=0$, soit $x=-2$ ou $x=-8$. La solution $-2$ a déjà été trouvée à la question 2. b.
Vérification : $f(-8)$$=(-8{)}^2+10\times (-8)+16$$=64-80+16$$=0$. Un autre antécédent de 0 par $f$ est $-8$.

1. a. Construction en vraie grandeur (côté 5 cm) :
– tracer le segment [BC] de longueur 5 cm ;
– avec le compas ouvert à 5 cm, tracer un arc de centre B et un arc de centre C : leur point d'intersection situé au-dessus de [BC] est le point A (le triangle ABC est équilatéral) ;
– toujours avec une ouverture de 5 cm, tracer un arc de centre A et un arc de centre C, de l'autre côté de la droite (AC) par rapport à B : leur intersection est le point D (le triangle ACD est équilatéral) ;
– tracer les segments [AB], [AC], [CD] et [AD], et coder les côtés égaux.

1. b. Les triangles ABC et ACD sont équilatéraux de côté 5 cm, donc $AB=BC=CD=DA=5$ cm. Un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur est un losange. ABCD est un losange.

1. c. Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent ${60}^{\circ }$ (leur somme vaut ${180}^{\circ }$ et ils sont égaux : $180÷3=60$). Donc $\widehat{BCA}={60}^{\circ }$ (triangle ABC) et $\widehat{ACD}={60}^{\circ }$ (triangle ACD). Les points B et D sont de part et d'autre de la droite (AC), donc les angles $\widehat{BCA}$ et $\widehat{ACD}$ sont adjacents : $\widehat{BCD}=\widehat{BCA}+\widehat{ACD}={60}^{\circ }+{60}^{\circ }={120}^{\circ }$. L'angle $\widehat{BCD}$ mesure bien ${120}^{\circ }$.

2. Chaque côté mesure 5 cm, soit $5\times 10=50$ pas. Le lutin part du sommet en bas à gauche en direction de la droite, trace le côté du bas (ligne 3), puis tourne de ${60}^{\circ }$ (ligne 4) : l'angle intérieur du losange à ce sommet vaut ${120}^{\circ }$, et ${180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }$. Il trace alors le côté oblique (ligne 5). Au sommet suivant, l'angle intérieur vaut ${60}^{\circ }$ : il faut tourner de ${180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$ (ligne 6). La boucle « répéter 2 fois » trace ensuite les deux autres côtés ; au total, le lutin a tourné de $2\times ({60}^{\circ }+{120}^{\circ })={360}^{\circ }$ et revient au point de départ dans sa direction initiale.
Ligne 5 : « avancer de 50 pas » ; ligne 6 : « tourner ↺ de 120 degrés ».

3. Le bloc Motif ramène le lutin à son point de départ, dans sa direction de départ.
– Programme A : après chaque losange, le lutin tourne de ${72}^{\circ }$ sans se déplacer ($5\times {72}^{\circ }={360}^{\circ }$). Les 5 losanges ont donc tous le même sommet de départ et forment une rosace dont tous les losanges se touchent au centre : c'est la figure 2.
– Programme B : après chaque losange, le lutin tourne de ${72}^{\circ }$ puis avance de 25 pas : les losanges sont tournés les uns par rapport aux autres mais décalés, ils ne partent pas tous du même point ; il reste un espace au centre : c'est la figure 3.
– Programme C : il n'y a aucune rotation ; le lutin avance de 25 pas (la moitié d'un côté) après chaque losange. Les 5 losanges sont identiques, orientés de la même façon et décalés horizontalement, ils se chevauchent en ligne : c'est la figure 1.
Le programme A permet de tracer la figure 2. Le programme B permet de tracer la figure 3. Le programme C permet de tracer la figure 1.