Sujet du brevet 2024 de maths — Amérique du Nord (Série générale)

1. Affirmation A : VRAIE. La moyenne est la somme des valeurs divisée par leur nombre : ${\displaystyle \frac{12+15+10+7+13}{5}}={\displaystyle \frac{57}{5}}=11,4$. La moyenne des prix est bien 11,40 €.

1. Affirmation B : FAUSSE. On range les prix dans l'ordre croissant : 7 ; 10 ; 12 ; 13 ; 15. Il y a 5 valeurs (effectif impair), la médiane est la 3^e valeur : 12 €, et non 10 €.

2. Affirmation C : FAUSSE. L'élève court 20 m en 6 s. Comme $3600÷6=600$, en 1 h (3 600 s) elle parcourrait $20\times 600=12000$ m $=12$ km. Sa vitesse moyenne est de 12 km/h, et non 14 km/h. (Autre méthode : $v={\displaystyle \frac{20}{6}}\approx 3,33$ m/s et $3,33\times 3,6\approx 12$ km/h.)

3. Affirmation D : FAUSSE. Les nombres premiers de 1 à 15 sont 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13, soit 6 nombres (attention : 1 n'est pas premier, il n'a qu'un seul diviseur). Les 15 boules étant équiprobables, la probabilité est ${\displaystyle \frac{6}{15}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$, et non ${\displaystyle \frac{7}{15}}$.

4. Affirmation E : FAUSSE. Dans une homothétie de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $|k|$ et les aires par $k^2$. Ici $k=-3$, donc les longueurs sont multipliées par 3 (ce que confirment les mesures : $5\times 3=15$, $6\times 3=18$, $9\times 3=27$) et les aires par $(-3{)}^2=9$. L'aire de A'B'C' est égale à 9 fois l'aire de ABC, pas 3 fois.

1. Avec 2 : branche de gauche, $2+2=4$ puis $4\times 4=16$ ; branche de droite, $2\times 5=10$ puis $10-3=7$ ; produit : $16\times 7=112$. Le résultat est bien 112.

2. Avec $-3$ : branche de gauche, $-3+2=-1$ puis $-1\times 4=-4$ ; branche de droite, $-3\times 5=-15$ puis $-15-3=-18$ ; produit : $(-4)\times (-18)=72$. Le résultat est 72.

3. Avec $x$ au départ, la branche de gauche donne $(x+2)\times 4=4x+8$ et la branche de droite $5x-3$. Le résultat est $(x+2)\times 4\times (5x-3)=(4x+8)(5x-3)$. Les expressions C et D conviennent. (A vaut $(x+8)(5x-3)$ à cause des priorités opératoires et B ajoute 2 après avoir multiplié par 4 : elles sont fausses.)

4. On cherche $x$ tel que $4(x+2)(5x-3)=0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Comme $4\ne 0$ : $x+2=0$ ou $5x-3=0$, soit $x=-2$ ou $x={\displaystyle \frac{3}{5}}=0,6$.
Vérification : avec $-2$, la branche de gauche donne $0\times 4=0$ ; avec $0,6$, la branche de droite donne $3-3=0$ ; le produit est nul dans les deux cas. Les deux nombres de départ sont $-2$ et $0,6$.

5. Par double distributivité : $(4x+2)(5x-3)$$=4x\times 5x-4x\times 3+2\times 5x-2\times 3$$=20x^2-12x+10x-6$. $B=20x^2-2x-6$.

1. Chaque entrée coûte 11 € : $3\times 11=33$. Elle va payer 33 €.

2. Abonnement de 50 € puis 8 entrées à 5 € : $50+8\times 5=50+40=90$. Elle va bien payer 90 €.

3. $f:x\mapsto 50+5x$ correspond au tarif « Essentiel » (50 € fixes plus 5 € par entrée) ; $g:x\mapsto 240$ correspond au tarif « Liberté » (prix constant quel que soit le nombre d'entrées) ; $h:x\mapsto 11x$ correspond au tarif « Classique » (11 € par entrée).

4. Le prix est proportionnel au nombre d'entrées lorsqu'il s'obtient en multipliant ce nombre par un coefficient fixe. C'est le cas du tarif « Classique » : $h(x)=11x$ est une fonction linéaire, et sa droite $(d_1)$ passe par l'origine. Le tarif « Classique » propose un prix proportionnel au nombre d'entrées. (Le tarif « Essentiel » ne l'est pas à cause des 50 € d'abonnement, le tarif « Liberté » non plus car le prix ne dépend pas du nombre d'entrées.)

5. a) Sur $(d_2)$, le prix 150 € correspond à 20 entrées (calcul : $50+5\times 20=150$). Avec 150 €, on peut acheter au maximum 20 entrées au tarif « Essentiel ».

5. b) La droite $(d_3)$ passe en dessous de $(d_2)$ à partir de leur point d'intersection, d'abscisse 38 (calcul : $50+5\times 38=240$). Pour 38 entrées les deux tarifs coûtent 240 € ; au-delà, « Liberté » est le moins cher. Le tarif « Liberté » devient le plus intéressant à partir de 39 entrées.

5. c) Avec 200 € : tarif « Classique », $200÷11\approx 18,2$, soit 18 entrées ; tarif « Essentiel », $(200-50)÷5=30$ entrées ; tarif « Liberté », impossible car l'abonnement coûte 240 € $>200$ €. Le tarif « Essentiel » permet d'acheter le plus grand nombre d'entrées (30).

1. EFGH est un rectangle, donc $EF=HG=6$ m. Le point F est situé sur le segment [EJ], donc $FJ=EJ-EF=10-6=4$. FJ = 4 m.

2. Il faut le périmètre de la vue de dessus, c'est-à-dire du quadrilatère HEJG. On connaît $HE=3$ m, $EJ=10$ m, $GH=6$ m ; il manque $GJ$. Dans le triangle GFJ rectangle en F, avec $GF=HE=3$ m (EFGH rectangle) et $FJ=4$ m, le théorème de Pythagore donne $G{J}^2=G{F}^2+F{J}^2=3^2+4^2=9+16=25$, donc $GJ=5$ m.
Périmètre : $3+10+5+6=24$. Ils doivent acheter au minimum 24 m de planches.

3. a) Aire de la base (vue de dessus) = aire du rectangle EFGH + aire du triangle GFJ $=6\times 3+{\displaystyle \frac{4\times 3}{2}}=18+6=24$ m².
La hauteur de la terrasse est 15 cm $=0,15$ m. Volume du prisme : $V=24\times 0,15=3,6$ m³. Le volume de la terrasse, 3,6 m³, est bien inférieur à 4 m³.

3. b) La masse de ciment est proportionnelle au volume de béton : $4\times 250=1000$. Il faut 1 000 kg de ciment pour 4 m³ de béton.

3. c) Le ratio ciment : gravier : sable est $2:7:5$. Les 1 000 kg de ciment correspondent à 2 parts, donc une part vaut $1000÷2=500$ kg. Gravier : $7\times 500=3500$ kg ; sable : $5\times 500=2500$ kg. Il faut 3 500 kg de gravier et 2 500 kg de sable.

4. La surface supérieure de la terrasse mesure 24 m² (question 3. a). Deux couches sont nécessaires : $2\times 24=48$ m² à peindre. Comme 1 L couvre 5 m², il faut $48÷5=9,6$ L, donc au moins 10 L de peinture.
Un pot A (5 L) ne suffit pas. Deux pots A donnent 10 L pour $79,90+79,90\times 0,5=79,90+39,95=119,85$ € grâce à l'offre du mois (−50 % sur le deuxième article identique). Un pot B (10 L) coûte 129,90 €. Toute autre combinaison (pot A + pot B, deux pots B…) est plus chère.
Comme $119,85<129,90$, le coût minimum est obtenu avec 2 pots A, pour 119,85 €.

Partie A

1. D'après le codage de la figure, $\widehat{ABC}=\widehat{BAC}={60}^{\circ }$. La somme des angles d'un triangle vaut ${180}^{\circ }$, donc $\widehat{ACB}={180}^{\circ }-{60}^{\circ }-{60}^{\circ }={60}^{\circ }$. Les trois angles du triangle ABC mesurent ${60}^{\circ }$ : ABC est un triangle équilatéral (un triangle dont les trois angles sont égaux est équilatéral). En particulier $CA=CB=AB=240$ mm.

2. D'après le codage, $CD=CE=80$ mm. Les points A, C, E sont alignés et les points B, C, D sont alignés, avec C entre A et E et entre B et D (les droites (AE) et (BD) sont sécantes en C).
${\displaystyle \frac{CE}{CA}}={\displaystyle \frac{80}{240}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et ${\displaystyle \frac{CD}{CB}}={\displaystyle \frac{80}{240}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.
Les quotients sont égaux et les points sont dans le même ordre sur chaque droite : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (DE) et (AB) sont parallèles.

Partie B

1. D'après la ligne 2, le lutin part du point de coordonnées $(-180;-150)$.

2. Le premier triangle tracé est ABC, de côté 240 mm, soit 240 pas. À la ligne 4, il faut saisir 240.

3. Le bloc « triangle » ramène le lutin à son point de départ A (case D8) orienté vers la droite ; la ligne 6 le fait tourner de 60° vers la gauche, dans la direction de C, et la ligne 7 le fait avancer de 240 pas, soit la longueur AC. Après la ligne 7, le lutin se trouve donc au point C, sommet du grand triangle : case G3.

4. Le second triangle CDE a pour côté $CD=CE=80$ mm, et $80=240÷3$. L'instruction « mettre côté à côté / 3 » divise donc la variable côté par 3 (elle passe de 240 à 80) pour que le bloc « triangle » de la ligne 9 trace le petit triangle CDE de côté 80 pas à partir du point C.