Sujet du brevet 2024 de maths — Asie (Série générale)

Aucune justification n'est demandée sur la copie ; les explications ci-dessous servent à comprendre la bonne réponse.

Question 1 : réponse C (37). 37 n'est divisible que par 1 et par lui-même (il n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, et $7^2=49>37$). Les autres ne sont pas premiers : 1 n'a qu'un seul diviseur, $21=3\times 7$ et $54=2\times 27$.

Question 2 : réponse B (150 cm²). Le patron d'un cube est formé de 6 faces carrées de 5 cm de côté : $6\times 5^2=6\times 25=150$ cm² (125 cm³ est le volume du cube, piège classique).

Question 3 : réponse B ($(2x-3)(2x+3)$). On reconnaît une différence de deux carrés : $4x^2-9=(2x{)}^2-3^2=(2x-3)(2x+3)$, d'après l'identité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Vérification en développant : $(2x-3)(2x+3)$$=4x^2+6x-6x-9$$=4x^2-9$.

Question 4 : réponse A (62 cm). Le ratio 16 : 9 signifie que ${\displaystyle \frac{\text{largeur}}{\text{longueur}}}={\displaystyle \frac{9}{16}}$. Largeur $=110\times {\displaystyle \frac{9}{16}}={\displaystyle \frac{990}{16}}=61,875$ cm, soit environ 62 cm.

Question 5 : réponse B (4,1). On range les 5 valeurs dans l'ordre croissant : 3,4 ; 3,67 ; 4,1 ; 4,23 ; 4,5. L'effectif est impair, la médiane est la valeur du milieu, la 3^e. (3,98 est la moyenne : ${\displaystyle \frac{19,9}{5}}=3,98$.)

Remarque : l'énoncé annonce « quatre affirmations », mais le sujet n'en comporte que trois.

1. Affirmation n°1 : FAUSSE. L'assemblage comprend, sur la rangée avant, une colonne de deux cubes à gauche et un cube à droite, puis un quatrième cube placé derrière le cube de droite. Vu de droite, on voit la profondeur (deux cubes) et la hauteur (deux cubes) : en bas, deux carrés côte à côte (la rangée avant et le cube placé derrière), et au-dessus, un carré correspondant au cube du haut de la colonne de gauche, qui dépasse en hauteur. La vue de droite est donc formée de trois carrés disposés en « L » (deux carrés en bas et un carré au-dessus de celui qui correspond à l'avant), et non de deux carrés côte à côte.

2. Affirmation n°2 : FAUSSE. Le codage indique que N est le milieu de [OS] : $SN=ON=6$ cm et $SO=12$ cm. Les points S, U, D sont alignés dans cet ordre : $SD=SU+UD=5+6=11$ cm.
Les points S, N, O et S, U, D sont alignés dans le même ordre. On compare : ${\displaystyle \frac{SN}{SO}}={\displaystyle \frac{6}{12}}=0,5$ et ${\displaystyle \frac{SU}{SD}}={\displaystyle \frac{5}{11}}\approx 0,45$.
Les quotients ${\displaystyle \frac{SN}{SO}}$ et ${\displaystyle \frac{SU}{SD}}$ ne sont pas égaux (produits en croix : $6\times 11=66$ et $12\times 5=60$). Si les droites étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait des quotients égaux : d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (NU) et (OD) ne sont pas parallèles.

3. Affirmation n°3 : VRAIE. Urne : 10 boules équiprobables, dont 6 bleues : $p(\text{bleue})={\displaystyle \frac{6}{10}}=0,6$. Dé non truqué : 3 faces paires (2, 4, 6) sur 6 : $p(\text{pair})={\displaystyle \frac{3}{6}}=0,5$. Comme $0,6>0,5$, la probabilité d'obtenir une boule bleue est bien supérieure à celle d'obtenir un nombre pair.

1. Les droites (AB) et (CG) sont perpendiculaires en C, donc le triangle BCG est rectangle en C, d'hypoténuse [BG]. D'après le théorème de Pythagore : $B{G}^2=B{C}^2+C{G}^2$, donc $B{C}^2=B{G}^2-C{G}^2={20}^2-{10}^2=400-100=300$.
$BC=\sqrt{300}\approx 17,32$. BC mesure environ 17,3 cm.

2. C est le milieu de [AB] (AC = CB), donc $AB=2\times BC=2\sqrt{300}\approx 34,64$ cm. Dans le triangle BAG, la hauteur issue de G est [GC], car (GC) est perpendiculaire à (AB).
Aire $={\displaystyle \frac{AB\times CG}{2}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{300}\times 10}{2}}=10\sqrt{300}\approx 173,2$ cm². L'aire du triangle BAG est d'environ 173 cm² (arrondie à l'unité).

3. a) Dans le triangle BCG rectangle en C, pour l'angle $\widehat{CGB}$, [CG] est le côté adjacent et [BG] l'hypoténuse. On utilise le cosinus : $\cos \widehat{CGB}={\displaystyle \frac{CG}{BG}}={\displaystyle \frac{10}{20}}={\displaystyle \frac{1}{2}}=0,5$. Or l'angle aigu dont le cosinus vaut exactement 0,5 est ${60}^{\circ }$. L'angle $\widehat{CGB}$ mesure exactement ${60}^{\circ }$.

3. b) La droite (GC) est perpendiculaire à [AB] et passe par son milieu C : c'est la médiatrice de [AB]. Le triangle AGB est donc symétrique par rapport à (GC) (on a d'ailleurs $GA=GB=20$ cm), et $\widehat{AGC}=\widehat{CGB}={60}^{\circ }$. Ainsi $\widehat{AGB}=\widehat{AGC}+\widehat{CGB}={60}^{\circ }+{60}^{\circ }$. L'angle $\widehat{AGB}$ mesure ${120}^{\circ }$.

4. L'arc qui relie A à B a pour centre G et passe par B, donc son rayon est $GB=20$ cm (et $GA=GB$). Chaque pièce est donc un secteur angulaire (une « part ») du disque de centre G et de rayon 20 cm, limité par les rayons [GA] et [GB] et d'angle $\widehat{AGB}={120}^{\circ }$. En plaçant les trois pièces identiques côte à côte autour de leur sommet G, les angles s'ajoutent : $3\times {120}^{\circ }={360}^{\circ }$, soit un tour complet. Les trois pièces forment exactement un disque complet de rayon 20 cm : les élèves ont raison.

5. L'aire du disque de rayon 20 cm est $\pi \times {20}^2=400\pi \approx 1256,6$ cm². Chaque pièce en représente le tiers : ${\displaystyle \frac{400\pi }{3}}\approx 418,9$ cm². L'aire de chaque pièce est d'environ 419 cm² (arrondie à l'unité).

Partie A

1. D'après le tableau, la distance Strasbourg–Marseille est de 803 km (à l'intersection de la ligne « Strasbourg » et de la colonne « Marseille »). Aller-retour : $2\times 803=1606$. Ils vont parcourir 1 606 km.

2. Formule B : $300+0,25\times 1606=300+401,50=701,50$. La location coûte bien 701,50 €.

3. Formule A : $0,50\times 1606=803$ €. Formule B : 701,50 €. Formule C : 900 €. Comme $701,50<803<900$, la formule B est la plus avantageuse.

4. On calcule toutes les dépenses du voyage avec la formule B.
– Carburant : la voiture consomme 5,6 L pour 100 km, donc pour 1 606 km : ${\displaystyle \frac{1606\times 5,6}{100}}=89,936$ L. Coût : $89,936\times 1,87\approx 168,18$ €.
– Péages : 115,80 €.
– Location (formule B) : 701,50 €.
Total : $701,50+168,18+115,80=985,48$ €.
Comme $985,48<1000$, leur budget est suffisant (il leur reste environ 14,52 €).

Partie B

5. Pour $x$ kilomètres parcourus :
– formule A : $0,5x$ (fonction linéaire) ;
– formule B : $0,25x+300$ (fonction affine) ;
– formule C : $900$ (fonction constante).

6. Courbe 1 → formule C (droite horizontale : le prix ne dépend pas de la distance) ; courbe 2 → formule B (droite qui coupe l'axe des ordonnées en 300) ; courbe 3 → formule A (droite qui passe par l'origine : situation de proportionnalité).

7. $0,25x+300=0,5x$ donne $300=0,5x-0,25x$, soit $0,25x=300$ et $x={\displaystyle \frac{300}{0,25}}=1200$. La solution est $x=1200$.
Interprétation : pour 1 200 km parcourus, les formules A et B coûtent le même prix : $0,5\times 1200=600$ € et $0,25\times 1200+300=600$ €. Graphiquement, c'est l'abscisse du point d'intersection des courbes 2 et 3.

8. a) Formule C. (Pour 2 500 km : A coûte 1 250 €, B coûte 925 € et C coûte 900 €.)

8. b) Par exemple 1 000 km (A coûte 500 €, B 550 € et C 900 €). Toute distance strictement comprise entre 0 et 1 200 km convient.

8. c) On cherche, pour chaque distance, la courbe située le plus bas. Sur le graphique, les courbes 3 et 2 se coupent à l'abscisse 1 200 km et les courbes 2 et 1 se coupent à l'abscisse 2 400 km. Donc, pour une distance inférieure à 2 600 km :
– entre 0 et 1 200 km, la formule A est la moins chère ;
– entre 1 200 km et 2 400 km, la formule B est la moins chère ;
– entre 2 400 km et 2 600 km, la formule C est la moins chère.
Pour 1 200 km exactement, A et B coûtent autant (600 €) ; pour 2 400 km, B et C coûtent autant (900 €). Contrôle par le calcul : $0,25x+300=900$ donne $x=2400$.

Aucune justification n'est attendue dans cet exercice ; les explications sont données pour comprendre.

1. Le bloc « aller à x : −100 y : 0 » place le lutin au point de coordonnées (−100 ; 0).

2. Le lutin part de (−100 ; 0), orienté vers la droite, avec côté = 80 pas, soit $80÷20=4$ cm.
– Première boucle (on tourne vers la gauche de ${120}^{\circ }$) : le lutin trace un triangle équilatéral de 4 cm de côté situé au-dessus du segment horizontal de départ, et revient au point de départ, orienté vers la droite.
– Seconde boucle (on tourne vers la droite de ${120}^{\circ }$) : il trace sur le même segment horizontal un triangle équilatéral de 4 cm de côté situé en dessous.
Figure à dessiner : un segment horizontal de 4 cm, puis un triangle équilatéral de côté 4 cm construit au-dessus et un autre construit en dessous (au compas). On obtient un losange de 4 cm de côté partagé en deux triangles équilatéraux par sa diagonale horizontale ; le point de départ est le sommet de gauche. Contrôle : la grande diagonale (verticale) mesure $2\times 4\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}\approx 6,9$ cm.

3.
– Script n°1 → figure B : après chaque motif, le lutin (stylo relevé) avance de 100 pas vers la droite ; comme un motif fait 80 pas de large, on obtient trois losanges identiques alignés et séparés par un espace.
– Script n°2 → figure A : les trois motifs partent du même point, mais le côté est multiplié par 1,2 à chaque fois ; on obtient trois losanges emboîtés de plus en plus grands, avec le même sommet de gauche.
– Script n°3 → figure C : après chaque motif, le lutin tourne de ${120}^{\circ }$ vers la gauche sur place ; les trois losanges tournent autour du point de départ et forment un hexagone régulier découpé en six triangles équilatéraux ($3\times {120}^{\circ }={360}^{\circ }$).

4. a) Le bloc « Motif » est dans une boucle « répéter 3 fois » : il est exécuté 3 fois.

4. b) La variable côté vaut 80 au départ et elle est multipliée par 1,2 après chacun des 3 motifs : $80\times 1,2=96$, puis $96\times 1,2=115,2$, puis $115,2\times 1,2=138,24$. Autrement dit $80\times 1,2^3=80\times 1,728=138,24$. À la fin du script, côté vaut 138,24. (Le troisième losange est tracé avec côté = 115,2 ; la dernière multiplication a lieu après lui.)