Sujet du brevet 2025 de maths — Polynésie française (Série générale)

1. Dans la feuille de calcul, la colonne D correspond à l'âge 12 ans (cellule D1) et l'effectif se lit juste en dessous, en D2. 8 élèves de 12 ans sont inscrits à l'escalade.

2. On additionne tous les effectifs de la ligne 2 : $1+3+8+12+4+2=30$. 30 élèves sont inscrits à l'escalade.

3. La cellule H2 doit contenir la somme des cellules B2 à G2. On peut saisir =SOMME(B2:G2) (ou, de façon équivalente, =B2+C2+D2+E2+F2+G2).

4. Les élèves de 14 ans ou plus sont ceux de 14 ans et de 15 ans : $4+2=6$ élèves. La proportion correspondante est ${\displaystyle \frac{6}{30}}={\displaystyle \frac{6\times 1}{6\times 5}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$. Vérification : ${\displaystyle \frac{1}{5}}\times 30=6$. Le professeur a raison : exactement ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ des inscrits ont 14 ans ou plus.

5. On calcule la moyenne pondérée des âges de cette année :
${\displaystyle \frac{10\times 1+11\times 3+12\times 8+13\times 12+14\times 4+15\times 2}{30}}$$={\displaystyle \frac{10+33+96+156+56+30}{30}}$$={\displaystyle \frac{381}{30}}$$=12,7$.
Vérification : $12,7\times 30=381$. La moyenne vaut 12,7 ans, ce qui est inférieur aux 13 ans de l'année dernière. Non, la moyenne des âges n'a pas augmenté : elle a diminué (12,7 ans contre 13 ans).

6. Augmenter de 10 % revient à multiplier par $1+{\displaystyle \frac{10}{100}}=1,1$ : $30\times 1,1=33$. Autre calcul : 10 % de 30 font $30\times 0,1=3$, et $30+3=33$. 33 élèves seront inscrits à l'escalade l'année prochaine.

1. Les segments [AC] et [BD] se coupent en E, donc le point E appartient au segment [DB] : $DB=DE+EB=750+250=1000$. DB = 1 000 m.

2. Le triangle ABD est rectangle en A (codage de l'angle droit sur la figure) et son hypoténuse est [DB]. D'après le théorème de Pythagore : $D{B}^2=A{B}^2+A{D}^2$, donc $A{D}^2=D{B}^2-A{B}^2$.
$A{D}^2=1{000}^2-{500}^2=1000000-250000=750000$, d'où $AD=\sqrt{750000}\approx 866,03$.
Vérification : ${866}^2=749956$, très proche de 750 000. Arrondie au mètre, la longueur AD est bien égale à 866 m.

3. a) Les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires en E (codage sur la figure), donc le triangle AEB est rectangle en E, d'hypoténuse [AB]. Dans ce triangle, [BE] est le côté opposé à l'angle $\widehat{EAB}$. Par définition du sinus : $\sin \widehat{EAB}={\displaystyle \frac{BE}{AB}}={\displaystyle \frac{250}{500}}=0,5$. $\sin \widehat{EAB}=0,5$.

3. b) À la calculatrice, $\widehat{EAB}=\arcsin (0,5)=30$ (touche « sin⁻¹ » ou « Asin » en mode degrés). Vérification : le sinus de 30° vaut bien 0,5. L'angle $\widehat{EAB}$ mesure 30°.

4. a) D'après la figure, l'angle $\widehat{DAB}$ est droit, donc (AB) est perpendiculaire à (AD) ; l'angle $\widehat{ADC}$ est droit, donc (DC) est perpendiculaire à (AD). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Les droites (AB) et (DC) sont donc parallèles.

4. b) Les droites (AC) et (BD) sont sécantes en E, les points A, E, C d'une part et B, E, D d'autre part sont alignés, et les droites (AB) et (DC) sont parallèles (question 4. a). D'après le théorème de Thalès (configuration « papillon ») dans les triangles EAB et ECD :
${\displaystyle \frac{EA}{EC}}={\displaystyle \frac{EB}{ED}}={\displaystyle \frac{AB}{CD}}$, soit ${\displaystyle \frac{250}{750}}={\displaystyle \frac{500}{CD}}$.
Par produit en croix : $CD={\displaystyle \frac{500\times 750}{250}}={\displaystyle \frac{375000}{250}}=1500$.
Vérification : ${\displaystyle \frac{500}{1500}}={\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{250}{750}}$. La longueur CD est bien égale à 1 500 m.

5. Le tour du jardin est le périmètre du quadrilatère ABCD :
$AB+BC+CD+DA\approx 500+1323+1500+866=4189$ m.
La durée est $t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{4189}{1,1}}\approx 3808$ s. Or une heure dure $60\times 60=3600$ s, et $3808>3600$ (cela fait environ 63 min 28 s).
Autre méthode : en une heure, le piéton parcourt $1,1\times 3600=3960$ m, ce qui est moins que les 4 189 m du tour.
Non, le temps mis par le piéton est supérieur à une heure (environ 1 h 3 min).

Question 1 : réponse D (9). $(-3{)}^2=(-3)\times (-3)=9$ : le produit de deux nombres négatifs est positif. Les parenthèses sont essentielles : c'est $-3^2$ (sans parenthèses) qui vaudrait $-9$.

Question 2 : réponse D ($2^3\times 3^2\times 5$). On divise successivement par les nombres premiers : $360$$=2\times 180$$=2\times 2\times 90$$=2\times 2\times 2\times 45$$=2^3\times 3\times 15$$=2^3\times 3^2\times 5$. Vérification : $8\times 9\times 5=360$. Les réponses A ($2^3\times 9\times 5$) et B ($8\times 3^2\times 5$) donnent bien 360, mais ne sont pas des décompositions en facteurs premiers (9 et 8 ne sont pas premiers) ; la réponse C donne $8\times 9\times 7=504$.

Question 3 : réponse B (45 cm). L'aire d'un rectangle est longueur × largeur, donc longueur $={\displaystyle \frac{135}{3}}=45$ cm. Vérification : $45\times 3=135$ cm².

Question 4 : réponse D ($2x+3$). Les segments [BD] et [DE] portent le même codage, ils ont donc la même longueur $x$ ; le segment [EG] mesure 3. Ainsi $BG=BD+DE+EG=x+x+3=2x+3$.

Question 5 : réponse C (KBOL). Le quadrillage compte trois colonnes et trois lignes de rectangles identiques. Pour aller de D à M, on se déplace d'une colonne vers la gauche et de deux lignes vers le bas. On applique ce même déplacement à chaque sommet de GFHI : G donne K, F donne B, H donne O et I donne L. L'image du rectangle GFHI est donc le rectangle KBOL.

1. Avec 5 comme nombre de départ : d'un côté $5+4=9$, de l'autre $5-2=3$ ; on multiplie les deux résultats : $9\times 3=27$ ; on soustrait le carré du nombre de départ : $27-5^2=27-25=2$. Le résultat du programme est bien 2.

2. a) Expression C : $(x+4)\times (x-2)-x^2$. Les parenthèses sont indispensables pour multiplier les deux résultats (dans les expressions A et B, seul $4\times x$ serait calculé en priorité), et on soustrait le carré $x^2$, pas le double $2x$.

2. b) On développe avec la double distributivité, puis on réduit :
$(x+4)(x-2)-x^2$$=x^2-2x+4x-8-x^2$$=2x-8$.
Vérification avec $x=5$ : $2\times 5-8=2$, ce qui correspond à la question 1. Le résultat du programme s'écrit bien $2x-8$.

3. a) La fonction $f$ définie par $f(x)=2x-8$ est une fonction affine : sa représentation graphique est une droite.
– La représentation n°1 est une courbe (elle n'est pas droite) : elle ne peut pas représenter une fonction affine.
– La représentation n°2 est bien une droite, mais elle est « descendante » : elle correspondrait à une fonction décroissante, alors que le coefficient de $x$ dans $f(x)$, égal à 2, est positif, donc $f$ est croissante. De plus, cette droite coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $-4$, alors que $f(-4)=2\times (-4)-8=-16\ne 0$.
Les représentations n°1 et n°2 ne conviennent donc pas.

3. b) $f(4)=2\times 4-8=8-8=0$. L'image de 4 par la fonction $f$ est 0. On le retrouve sur la représentation n°3 : la droite coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 4.

4. Le résultat du programme est $2x-8$ : on résout l'équation $2x-8=100$. On obtient $2x=108$, donc $x={\displaystyle \frac{108}{2}}=54$.
Vérification avec le programme : $54+4=58$ ; $54-2=52$ ; $58\times 52=3016$ ; ${54}^2=2916$ ; $3016-2916=100$. Il faut choisir 54 comme nombre de départ.

Partie A

1. Le dé est équilibré : ses 12 faces ont la même chance d'apparaître, les 12 issues (1, 2, …, 12) sont donc équiprobables. Une seule face porte le nombre 4. La probabilité d'obtenir 4 est donc ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ (1 issue favorable sur 12 issues possibles).

2. Les nombres pairs entre 1 et 12 sont 2, 4, 6, 8, 10 et 12, soit 6 issues favorables sur 12 : $p={\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. La probabilité d'obtenir un nombre pair est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

3. Les multiples de 3 entre 1 et 12 sont 3, 6, 9 et 12, soit 4 issues favorables sur 12 : $p={\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\approx 0,333$. Comme $0,333>0,3$ (ou encore ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{10}{30}}>{\displaystyle \frac{9}{30}}=0,3$), Tom a raison : la probabilité d'obtenir un multiple de 3 est supérieure à 0,3.

Partie B

1. Chaque dé doit donner au hasard un nombre entier de 1 à 12, et la variable « Résultat » doit contenir la somme des deux dés :
– ligne 2 : mettre Dé 1 à nombre aléatoire entre 1 et 12 ;
– ligne 3 : mettre Dé 2 à nombre aléatoire entre 1 et 12 ;
– ligne 4 : mettre Résultat à Dé 1 + Dé 2 (on place les variables « Dé 1 » et « Dé 2 » dans les deux cases de l'addition).

2. Le bloc « Lancer » donne Résultat $=8+3=11$. Le programme teste ensuite la condition « Résultat > 6 » : comme $11>6$, la condition est vraie et c'est la partie « alors » qui est exécutée (la partie « sinon » est ignorée). Le programme affiche « Gagné ! » pendant 2 secondes.