Sujet du brevet 2024 de maths — Polynésie française (Série générale)

Aucune justification n'est demandée sur la copie ; elles sont données ici pour comprendre.

1. Réponse : ABC est un triangle rectangle en B. Le plus grand côté est [AC]. D'une part $A{C}^2={29}^2=841$ ; d'autre part $A{B}^2+B{C}^2={20}^2+{21}^2=400+441=841$. Comme $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle, et l'angle droit est le sommet opposé au plus grand côté [AC], c'est-à-dire B.

2. Réponse : $f(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}+1$. La droite coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 1) : l'ordonnée à l'origine vaut 1, ce qui élimine $2x-2$ et ${\displaystyle \frac{x}{2}}-2$. Elle passe aussi par le point (−2 ; 0) : quand $x$ augmente de 2, $y$ augmente de 1, le coefficient directeur vaut ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Vérification : ${\displaystyle \frac{-2}{2}}+1=0$, alors que $2\times (-2)+1=-3\ne 0$.

3. Réponse : l'homothétie de centre O et de rapport −2. Le carré n°2 est situé de l'autre côté du point O par rapport au carré n°1 (les points C, O, E sont alignés et O est entre C et E) : le rapport est donc négatif. D'après le codage, $OE=2\times OC$, et le carré n°2 est deux fois plus grand que le carré n°1 : le rapport vaut −2. Une symétrie centrale ou une translation conserveraient les longueurs, et une homothétie de rapport 2 placerait l'image du même côté de O.

4. Réponse : 30 cL de jus de fruit de la passion. Le ratio 10 : 6 : 2 correspond à $10+6+2=18$ parts. Une part représente ${\displaystyle \frac{90}{18}}=5$ cL. Le jus de fruit de la passion représente 6 parts : $6\times 5=30$ cL. Vérification : $50+30+10=90$ cL.

5. Réponse : 24 sacs. Le nombre de sacs doit diviser à la fois 408 et 168 ; le plus grand possible est leur plus grand diviseur commun. Avec les décompositions en facteurs premiers : $408=2^3\times 3\times 17$ et $168=2^3\times 3\times 7$, donc le plus grand diviseur commun est $2^3\times 3=24$. Chaque sac contient alors $408÷24=17$ pommes et $168÷24=7$ poires (17 et 7 n'ont plus de diviseur commun autre que 1).

1. On lit les coûts réels (barres hachurées) : Barcelone 9,3 ; Atlanta 2,3 ; Sydney 5,5 ; Athènes 10 ; Pékin 31 ; Londres 11 ; Rio de Janeiro 16,5 ; Tokyo 12,1 (en milliards d'euros). Les coûts supérieurs ou égaux à 10 (Athènes, avec exactement 10, compte) sont ceux d'Athènes (10), Pékin (31), Londres (11), Rio de Janeiro (16,5) et Tokyo (12,1). 5 éditions ont eu un coût réel supérieur ou égal à 10 milliards d'euros.

2. Pour Rio de Janeiro 2016, le coût prévisionnel est 9 milliards d'euros et le coût réel 16,5 milliards d'euros. Le pourcentage d'augmentation se calcule par rapport à la valeur de départ (le coût prévisionnel) :
${\displaystyle \frac{16,5-9}{9}}\times 100={\displaystyle \frac{7,5}{9}}\times 100\approx 83,3$.
Vérification : $9\times 1,83\approx 16,5$. Le coût a augmenté d'environ 83 %.

3. Le coût réel moyen des 8 éditions est la somme des coûts réels divisée par 8 :
${\displaystyle \frac{9,3+2,3+5,5+10+31+11+16,5+12,1}{8}}$$={\displaystyle \frac{97,7}{8}}$$=12,2125$.
Le coût réel moyen est bien d'environ 12,2 milliards d'euros (arrondi au dixième de milliard).

4. a) Rangeons les 8 coûts réels dans l'ordre croissant : 2,3 ; 5,5 ; 9,3 ; 10 ; 11 ; 12,1 ; 16,5 ; 31. Seules 2 éditions sur 8 (Rio de Janeiro avec 16,5 et Pékin avec 31) ont un coût réel supérieur à 12,2 milliards d'euros, ce qui est loin de la moitié (4 éditions). L'affirmation est fausse. Le journaliste confond la moyenne et la médiane : c'est la médiane qui partage la série en deux moitiés. Ici, l'effectif est pair, la médiane est la moyenne des 4^e et 5^e valeurs : ${\displaystyle \frac{10+11}{2}}=10,5$ milliards d'euros. La moyenne (12,2) est tirée vers le haut par la valeur exceptionnelle de Pékin (31 milliards).

4. b) Entre 1992 et 2024, il y a 9 éditions (les 8 du graphique et Paris 2024). Si leur coût prévisionnel moyen est 5,5 milliards d'euros, la somme des 9 coûts prévisionnels vaut $9\times 5,5=49,5$ milliards d'euros.
La somme des 8 coûts prévisionnels du graphique vaut : $3,5+1,8+3+5,3+2,6+4,8+9+13=43$ milliards d'euros.
Le coût prévisionnel de Paris 2024 vaut donc $49,5-43=6,5$ milliards d'euros. Vérification : ${\displaystyle \frac{43+6,5}{9}}={\displaystyle \frac{49,5}{9}}=5,5$. La journaliste devrait annoncer un coût prévisionnel d'environ 6,5 milliards d'euros.

1. a) Le triangle ABC est rectangle en C, donc d'après le théorème de Pythagore : $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$.
$A{B}^2={15}^2+{27}^2=225+729=954$, donc $AB=\sqrt{954}\approx 30,89$. La distance entre Alyssa et le bord de la piscine est d'environ 31 m (arrondie au mètre).

1. b) Les droites (JH) et (DE) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (FE) (angles droits en H et en E) : or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles. Donc (JH) // (DE).
Les points F, J, D sont alignés, les points F, H, E sont alignés et (JH) // (DE) : d'après le théorème de Thalès dans le triangle FDE, ${\displaystyle \frac{FJ}{FD}}={\displaystyle \frac{FH}{FE}}={\displaystyle \frac{JH}{DE}}$.
Avec ${\displaystyle \frac{FJ}{FD}}={\displaystyle \frac{FH}{FE}}$ : ${\displaystyle \frac{15}{FD}}={\displaystyle \frac{7}{18}}$, donc $FD={\displaystyle \frac{15\times 18}{7}}={\displaystyle \frac{270}{7}}\approx 38,57$ m.
Comme J est sur le segment [FD] : $JD=FD-FJ={\displaystyle \frac{270}{7}}-15={\displaystyle \frac{165}{7}}\approx 23,57$ m.
La distance JD est bien de 24 m, arrondie au mètre près.

1. c) $AB\approx 30,9$ m et $JD\approx 23,6$ m, donc $JD<AB$. C'est Jules qui est le plus proche d'un bord de la piscine.

2. Dans le triangle ABC rectangle en C, le côté [AC] est opposé à l'angle $\widehat{ABC}$ et le côté [BC] lui est adjacent. On utilise la tangente : $\tan \widehat{ABC}={\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{15}{27}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$.
À la calculatrice : $\widehat{ABC}=\arctan \left({\displaystyle \frac{5}{9}}\right)\approx 29,1^{\circ }$. Vérification : $\tan (29,1^{\circ })\approx 0,557\approx {\displaystyle \frac{5}{9}}$.
Comme $29,1^{\circ }<{35}^{\circ }$, les gradins Nord respectent la norme de sécurité.

3. Un panneau a une aire de $1\times 1,7=1,7$ m². Le nombre de panneaux sur le toit est ${\displaystyle \frac{4678,4}{1,7}}=2752$ (vérification : $2752\times 1,7=4678,4$).
Chaque panneau produit environ 350 kWh par an, donc l'ensemble produit $2752\times 350=963200$ kWh.
Les panneaux du toit produisent bien 963 200 kWh par an. La surface totale du toit (5 000 m²) ne sert pas dans ce calcul.

4. L'eau occupe un pavé droit, dont le volume est $V=L\times \ell \times h$ :
$V=50\times 25\times 3=3750$ m³.
Il faut 9,3 kWh par mètre cube, donc l'énergie nécessaire est $E=3750\times 9,3=34875$ kWh (vérification : $3750\times 9=33750$ et $3750\times 0,3=1125$, total $34875$).
Il faut environ 34 875 kWh pour chauffer toute l'eau de la piscine de 18° à 26°.

1. Tableau complété (produit du nombre de la 1^re boîte par celui de la 2^e boîte) :

2. Les boules sont indiscernables au toucher, donc les $3\times 2=6$ issues du tableau sont équiprobables. Le résultat 15 apparaît 2 fois ($5\times 3$ et $3\times 5$). La probabilité d'obtenir 15 est $p={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. La probabilité d'obtenir 15 est ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

3. Parmi les 6 résultats (15, 25, 6, 10, 9, 15), les multiples de 3 sont 15, 6, 9 et 15, soit 4 résultats ; 25 et 10 ne sont pas des multiples de 3. La probabilité d'obtenir un multiple de 3 est ${\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. L'affirmation est vraie : il y a 2 chances sur 3 d'obtenir un multiple de 3.

4. On décompose les deux résultats en produits de facteurs premiers : $165=3\times 5\times 11$ et $78=2\times 3\times 13$.

Les produits possibles des deux premières boules sont 6, 9, 10, 15 et 25 (question 1). Le résultat final est ce produit multiplié par le nombre de la troisième boule.

• Anissa : 165 n'est divisible ni par 6, ni par 9, ni par 10, ni par 25 (il n'est pas pair, $1+6+5=12$ n'est pas divisible par 9, et 165 ne se termine pas par 00, 25, 50 ou 75). Seul 15 convient : $165÷15=11$. La troisième boîte contient donc une boule numérotée 11 (Anissa a tiré 5 et 3, ou 3 et 5, puis 11).
• Bilel : 78 n'est divisible ni par 9 ($7+8=15$), ni par 10, ni par 15, ni par 25 (il ne se termine pas par 0 ou 5). Seul 6 convient : $78÷6=13$. La troisième boîte contient donc une boule numérotée 13 (Bilel a tiré 2, puis 3, puis 13).

Vérification : $5\times 3\times 11=165$ et $2\times 3\times 13=78$. Les boules de la troisième boîte portent les numéros 11 et 13.

Partie A

1. $f(-4)$$=(-4+2{)}^2-(-4)$$=(-2{)}^2+4$$=4+4$$=8$. $f(-4)=8$.

2. On cherche $x$ tel que $g(x)=3$ : $7x+4=3$, donc $7x=3-4=-1$, d'où $x=-{\displaystyle \frac{1}{7}}$. Vérification : $7\times (-{\displaystyle \frac{1}{7}})+4=-1+4=3$. Un antécédent de 3 par la fonction $g$ est $-{\displaystyle \frac{1}{7}}$.

Partie B

1. a) La cellule B1 contient la valeur de $x$ et $g(x)=7x+4$. Paul a saisi en B3 la formule =7*B1+4 (en l'étirant vers la droite, B1 devient C1, D1, etc.). Vérification : $7\times (-3)+4=-17$, c'est bien la valeur affichée en B3.

1. b) On compare les lignes 2 et 3 : les images par $f$ et par $g$ ne sont égales que dans la colonne E, pour $x=0$ ($f(0)=g(0)=4$). Avec cette méthode, Paul trouve une seule solution : $x=0$.

2. a) La ligne 4 doit calculer $g(\text{réponse})=7\times \text{réponse}+4$. Il faut écrire 7 dans la première case vide et 4 dans la seconde : « mettre image par g à (7) * (réponse) + (4) ».

2. b) Avec 0 : la ligne 3 donne image par f $=(0+2)\times (0+2)-0=4$ ; la ligne 4 donne image par g $=7\times 0+4=4$. Les deux images sont égales, la condition de la ligne 5 est vraie : le programme dit « Le nombre choisi est une solution de l'équation f(x)=g(x) » pendant 2 secondes.

2. c) On en déduit que 0 est une solution de l'équation $f(x)=g(x)$.

3. a) Pour tout nombre $x$ :
$f(x)=g(x)$
$(x+2{)}^2-x=7x+4$
$x^2+4x+4-x=7x+4$ (identité remarquable $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$)
$x^2+3x+4=7x+4$
$x^2+3x+4-7x-4=0$
$x^2-4x=0$.
L'équation $f(x)=g(x)$ se ramène bien à l'équation $x^2-4x=0$.

3. b) Le facteur commun est $x$ : $x^2-4x=x(x-4)$. Vérification en développant : $x\times x-x\times 4=x^2-4x$.

3. c) L'équation $f(x)=g(x)$ équivaut à $x(x-4)=0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul (équation produit nul) : $x=0$ ou $x-4=0$, c'est-à-dire $x=0$ ou $x=4$.
Vérification pour 4 : $f(4)=6^2-4=32$ et $g(4)=7\times 4+4=32$.
L'équation $f(x)=g(x)$ a deux solutions : 0 et 4.

4.

• Paul n'a pas résolu l'équation : il n'a testé que les nombres entiers de −3 à 3. Il trouve la solution 0 mais manque la solution 4, qui n'est pas dans son tableau, et il ne peut pas savoir s'il existe d'autres solutions (non entières, ou en dehors de ses valeurs).
• Jane n'a pas résolu l'équation non plus : elle teste les entiers de −5 à 3 ; son programme ne répond « solution » que pour 0, et la solution 4 lui échappe. Tester des valeurs une à une ne permet pas de trouver toutes les solutions.
• Morgane a résolu l'équation : sa méthode par le calcul transforme l'équation en une équation équivalente qu'elle résout complètement ; elle obtient toutes les solutions, 0 et 4, et prouve qu'il n'y en a pas d'autre.