Sujet du brevet 2024 de maths — Métropole, Antilles et Guyane (Série générale)

1. La roue comporte les numéros de 0 à 36, soit 37 numéros, et la bille a la même probabilité de s'arrêter sur chacun d'eux : il y a équiprobabilité. Le numéro 7 est une issue parmi 37 issues équiprobables, donc la probabilité que la bille s'arrête sur le 7 est ${\displaystyle \frac{1}{37}}$.

2. En lisant la roue, les cases noires portant un numéro pair sont : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 20 ; 22 ; 24 ; 26 ; 28, soit 10 cases sur 37. La probabilité d'obtenir une case noire et paire est ${\displaystyle \frac{10}{37}}$.

3. a) Les numéros inférieurs ou égaux à 6 sont 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 (attention au 0 !), soit 7 numéros. La probabilité est ${\displaystyle \frac{7}{37}}$.

3. b) L'événement « obtenir un numéro supérieur ou égal à 7 » est l'événement contraire de « obtenir un numéro inférieur ou égal à 6 ». La somme des probabilités de deux événements contraires vaut 1 : $p=1-{\displaystyle \frac{7}{37}}={\displaystyle \frac{37}{37}}-{\displaystyle \frac{7}{37}}={\displaystyle \frac{30}{37}}$. La probabilité est ${\displaystyle \frac{30}{37}}$.

3. c) On compare ${\displaystyle \frac{30}{37}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ : ${\displaystyle \frac{30}{37}}\approx 0,81$ et ${\displaystyle \frac{3}{4}}=0,75$. (On peut aussi comparer les produits en croix : $30\times 4=120$ et $3\times 37=111$, et $120>111$.) Comme ${\displaystyle \frac{30}{37}}>{\displaystyle \frac{3}{4}}$, le joueur a raison : on a plus de 3 chances sur 4 d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7.

1. a) Programme A avec 5 : le carré de 5 est $5^2=25$ ; $25\times 2=50$ ; on ajoute le double de 5, soit 10 : $50+10=60$ ; on soustrait 4 : $60-4=56$. On obtient bien 56.

1. b) Programme B avec $-9$ : Résultat 1 $=-9+2=-7$ ; Résultat 2 $=-9-1=-10$ ; le programme affiche le produit Résultat 1 × Résultat 2 $=(-7)\times (-10)=70$. On obtient 70.

2. a) Avec $x$ comme nombre choisi, Résultat 1 vaut $x+2$ et Résultat 2 vaut $x-1$ ; le programme B affiche leur produit. L'expression qui convient est $E_2=(x+2)\times (x-1)$. ($E_1$ est une différence et non un produit ; dans $E_3$, la multiplication porte seulement sur $2\times x$ à cause des priorités.)

2. b) Programme A avec $x$ : le carré de $x$ est $x^2$ ; multiplié par 2 : $2x^2$ ; on ajoute le double de $x$ : $2x^2+2x$ ; on soustrait 4 : $A=2x^2+2x-4$.

3. On développe le résultat du programme B par double distributivité :
$(x+2)(x-1)=x^2-x+2x-2=x^2+x-2$.
Son double est $2\times (x^2+x-2)=2x^2+2x-4$, ce qui est exactement le résultat du programme A. Quel que soit le nombre de départ, le résultat du programme A est le double du résultat du programme B. (Vérification avec 5 : programme B $=7\times 4=28$ et $2\times 28=56$, conforme à la question 1. a.)

1. [AB] est un diamètre du cercle de rayon 4,5 cm. Un diamètre mesure le double du rayon : $AB=2\times 4,5=9$. Le diamètre [AB] mesure 9 cm.

2. Le point D appartient au cercle de diamètre [AB]. Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse. Le triangle ABD est inscrit dans le cercle $𝒞$ et [AB] est un diamètre, donc ABD est rectangle en D.
On peut aussi le démontrer avec la réciproque du théorème de Pythagore : $A{B}^2=9^2=81$ et $B{D}^2+D{A}^2=5,4^2+7,2^2=29,16+51,84=81$. Comme $A{B}^2=B{D}^2+D{A}^2$, le triangle ABD est rectangle en D.

3. Les points B, E, A sont alignés, les points D, F, A sont alignés, les droites (BE) et (DF) sont sécantes en A et (EF) // (BD). D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{AE}{AB}}={\displaystyle \frac{AF}{AD}}={\displaystyle \frac{EF}{BD}}$, soit ${\displaystyle \frac{2,7}{9}}={\displaystyle \frac{AF}{7,2}}$.
D'où $AF={\displaystyle \frac{2,7\times 7,2}{9}}={\displaystyle \frac{19,44}{9}}=2,16$. AF = 2,16 cm.

4. a) Le triangle ABD est rectangle en D, donc ses côtés [BD] et [DA] sont perpendiculaires : l'un est une base, l'autre la hauteur correspondante. Aire $={\displaystyle \frac{BD\times DA}{2}}={\displaystyle \frac{5,4\times 7,2}{2}}={\displaystyle \frac{38,88}{2}}=19,44$. L'aire du triangle ABD est bien 19,44 cm².

4. b) Aire du disque $=\pi \times R^2=\pi \times 4,5^2=20,25\pi \approx 63,617$. L'aire du disque est d'environ 63,62 cm² (arrondie au centième).

5. On calcule le quotient ${\displaystyle \frac{\text{aire du triangle}}{\text{aire du disque}}}={\displaystyle \frac{19,44}{20,25\pi }}\approx 0,306$. L'aire du triangle ABD représente environ 30,6 % de l'aire du disque (environ 31 %).

Question 1 : réponse A ($-14$). L'image de $-4$ est $f(-4)=3\times (-4)-2=-12-2=-14$.

Question 2 : réponse A ($-125$). $(-5{)}^3$$=(-5)\times (-5)\times (-5)$$=25\times (-5)$$=-125$ (un nombre négatif élevé à une puissance impaire reste négatif).

Question 3 : réponse B (E). Sur le quadrillage, pour aller de C à A, on se déplace d'un carreau vers la gauche et d'un carreau vers le bas. En appliquant le même déplacement au point J (un carreau à gauche, un carreau en bas), on arrive sur le point E.

Question 4 : réponse C (0). Un antécédent de 3 est un nombre $x$ tel que $f(x)=3$. Sur le graphique, la droite ${𝒞}_f$ passe par le point de coordonnées $(0;3)$ : elle atteint l'ordonnée 3 pour l'abscisse 0. L'antécédent de 3 est donc 0.

Question 5 : réponse B (1,67). On range les 7 tailles dans l'ordre croissant : 1,46 ; 1,6 ; 1,65 ; 1,67 ; 1,7 ; 1,72 ; 1,75. L'effectif est impair, la médiane est la 4^e valeur (3 avant, 3 après) : 1,67 m.

Question 6 : réponse A (0,8). Dans le triangle ABC rectangle en A, $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}}={\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{4}{5}}=0,8$.

Partie A

1. Pour faire 15 sachets identiques en utilisant tout, 15 doit diviser à la fois 330 et 132. Or $330÷15=22$ mais $132÷15=8,8$, qui n'est pas un nombre entier : 15 ne divise pas 132. Il est donc impossible de faire 15 sachets.

2. a) $330=2\times 165=2\times 3\times 55=2\times 3\times 5\times 11$ et $132=2\times 66=2\times 2\times 33=2^2\times 3\times 11$.
$330=2\times 3\times 5\times 11$ et $132=2^2\times 3\times 11$.

2. b) Le nombre de sachets doit être un diviseur commun de 330 et 132 ; le plus grand possible est leur PGCD. D'après les décompositions, les facteurs premiers communs (avec leur plus petit exposant) sont $2$, $3$ et $11$ : $\text{PGCD}(330;132)=2\times 3\times 11=66$. La présidente pourra réaliser au maximum 66 sachets.

2. c) $330÷66=5$ et $132÷66=2$. Chaque sachet contiendra 5 autocollants et 2 drapeaux.

Partie B

Volume du pavé droit : $V=L\times l\times h=25\times 15\times 2=750$ m³.
La piscine est remplie aux ${\displaystyle \frac{9}{10}}$ : volume d'eau $={\displaystyle \frac{9}{10}}\times 750=675$ m³.
Coût : $675\times 4,14=2794,50$ €. Le remplissage de la piscine coûte 2 794,50 €.