Sujet du brevet 2023 de maths — Pays du groupe 1 (Série générale)

Partie A

1) Réponse C (120°). Le lutin part du sommet en bas à gauche, orienté vers la droite, et trace la base. À chaque sommet, il doit tourner de l'angle extérieur du triangle : l'angle intérieur d'un triangle équilatéral mesure ${60}^{\circ }$, donc le lutin tourne de ${180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$. Après trois rotations de ${120}^{\circ }$, il a fait un tour complet ($3\times {120}^{\circ }={360}^{\circ }$) et revient à son orientation de départ.

2) Réponse C. Le premier passage dans la boucle trace un triangle « pointe en haut » à partir de l'origine, base vers la droite ; le lutin revient au point de départ, orienté vers la droite. Il tourne alors de ${60}^{\circ }$ vers la gauche : il part désormais le long du côté gauche du premier triangle. Le second triangle est donc tracé sur ce côté, du côté gauche : c'est un triangle « pointe en bas » accolé au premier par un côté, ce que montre la figure C.

3) Réponse B (un hexagone). Avec « répéter 6 fois », le programme trace 6 triangles équilatéraux ayant tous un sommet à l'origine, chacun tourné de ${60}^{\circ }$ par rapport au précédent ($6\times {60}^{\circ }={360}^{\circ }$). Ces 6 triangles remplissent un tour complet autour de l'origine et forment un hexagone régulier de côté 50 pas.

Partie B

1) Réponse C (${\displaystyle \frac{3}{15}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}$). La multiplication est prioritaire : ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{7}{5}}={\displaystyle \frac{7}{15}}$. Puis ${\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{7}{15}}={\displaystyle \frac{10}{15}}-{\displaystyle \frac{7}{15}}={\displaystyle \frac{3}{15}}$. Enfin, diviser par ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ revient à multiplier par son inverse ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ : l'expression vaut ${\displaystyle \frac{3}{15}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}$ (soit ${\displaystyle \frac{9}{60}}={\displaystyle \frac{3}{20}}$).

2) Réponse B ($3,024\times {10}^{20}$). $302,4=3,024\times {10}^2$, donc $302,4\times {10}^{18}=3,024\times {10}^2\times {10}^{18}=3,024\times {10}^{20}$. La réponse C est égale à ce nombre mais n'est pas une écriture scientifique, car $0,3024$ n'est pas compris entre 1 et 10.

3) Réponse B (la même). Série rangée dans l'ordre croissant : 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 18. L'effectif est pair (8 valeurs) : la médiane est la moyenne des 4^e et 5^e valeurs, ${\displaystyle \frac{12+12}{2}}=12$ g. Après correction, la série devient 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 16 : la plus grande valeur change, mais les 4^e et 5^e valeurs restent 12 et 12. La médiane vaut toujours 12 g.

Partie A : Étude du toboggan

1) Le triangle FDE est rectangle en D. Pour l'angle $\widehat{DEF}$, le côté [DF] est le côté opposé et le côté [DE] le côté adjacent. On utilise donc la tangente : $\tan \widehat{DEF}={\displaystyle \frac{DF}{DE}}={\displaystyle \frac{1,2}{2,04}}$. À la calculatrice, $\widehat{DEF}=\arctan \left({\displaystyle \frac{1,2}{2,04}}\right)\approx 30,{47}^{\circ }$, soit ${30}^{\circ }$ au degré près. L'angle $\widehat{DEF}$ mesure environ ${30}^{\circ }$ : le toboggan est sécurisé.

2) Le triangle FDE est rectangle en D, donc d'après le théorème de Pythagore : $E{F}^2$$=D{F}^2+D{E}^2$$=1,2^2+2,{04}^2$$=1,44+4,1616$$=5,6016$. Donc $EF=\sqrt{5,6016}\approx 2,367$. La rampe EF mesure environ 2,37 m. (Vérification avec le cosinus : $\cos 30,{47}^{\circ }\approx 0,862$ et ${\displaystyle \frac{2,04}{2,37}}\approx 0,861$, résultat cohérent.)

Partie B : Étude de l'échelle

1) Le triangle ABC est rectangle en C, donc $(AC)⟂(BC)$. Le triangle BMN est rectangle en N (codage de l'angle droit sur le schéma), donc $(MN)⟂(BC)$ (le point N étant sur [BC]). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Les droites (AC) et (MN) sont donc parallèles.

2) Les points B, M, A sont alignés, les points B, N, C sont alignés et les droites (MN) et (AC) sont parallèles (question 1). D'après le théorème de Thalès dans le triangle ABC : ${\displaystyle \frac{BM}{BA}}={\displaystyle \frac{BN}{BC}}={\displaystyle \frac{MN}{AC}}$.
Donc ${\displaystyle \frac{MN}{0,5}}={\displaystyle \frac{0,84}{1,2}}=0,7$, d'où $MN=0,7\times 0,5=0,35$. La poutre [MN] mesure 0,35 m, soit 35 cm.

Partie C : Étude du bac à sable

1) Le volume d'un pavé droit est $V=\text{longueur}\times \text{largeur}\times \text{hauteur}$ : $V=200\times 180\times 20=36000\times 20=720000$. Le volume du bac à sable est de 720 000 cm³.

2) Le ratio 3 : 2 signifie que le volume est partagé en $3+2=5$ parts égales, dont 3 de sable à maçonner et 2 de sable fin. Une part vaut $0,72÷5=0,144$ m³.
Sable à maçonner : $3\times 0,144=0,432$ m³ ; sable fin : $2\times 0,144=0,288$ m³. Vérification : $0,432+0,288=0,72$ m³ et ${\displaystyle \frac{0,432}{0,288}}=1,5={\displaystyle \frac{3}{2}}$. Il faut bien 0,432 m³ de sable à maçonner et 0,288 m³ de sable fin.

3) Seul le volume des sacs compte ici (le poids n'est pas utile).
– Sable à maçonner : $0,432÷0,022\approx 19,6$. Avec 19 sacs, on n'aurait que $19\times 0,022=0,418$ m³, ce qui ne suffit pas : il faut 20 sacs, qui coûtent $20\times 2,95=59$ €.
– Sable fin : $0,288÷0,016=18$ exactement : il faut 18 sacs, qui coûtent $18\times 5,95=107,10$ €.
Coût total : $59+107,10=166,10$. Le sable nécessaire coûte 166,10 €.

1) Programme d'Amir avec 6 : $6-5=1$ ; $1\times 2=2$. On obtient 2.
Programme de Sonia avec 6 : $6+3=9$ ; $9\times 6=54$ ; $54-16=38$. On obtient 38.

2) a) =(B1-5)*2. Cette formule utilise la référence B1 (le nombre choisi), soustrait 5 puis double le résultat grâce aux parenthèses ; étirée vers la droite, elle devient =(C1-5)*2, =(D1-5)*2, etc. La formule =(-2-5)*2 contient une valeur fixe et donnerait $-14$ dans toutes les colonnes ; la formule =B1-5*2 calcule $B1-10$ (priorité de la multiplication), ce qui n'est pas le programme d'Amir.

2) b) Il faut choisir 2 : dans la colonne F, les deux programmes donnent le même résultat, $-6$. C'est la seule colonne du tableau où les lignes 2 et 3 sont égales.

3) a) Avec le nombre $x$ : on ajoute 3, ce qui donne $x+3$ ; on multiplie par le nombre choisi : $(x+3)\times x=x^2+3x$ ; on soustrait 16 : $x^2+3x-16$. Le programme de Sonia donne bien $x^2+3x-16$. (Vérification avec $x=6$ : $36+18-16=38$.)

3) b) $(x-2)(x+3)=0$ est une équation produit nul. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $x-2=0$ ou $x+3=0$, c'est-à-dire $x=2$ ou $x=-3$. Les solutions sont 2 et $-3$ : les deux programmes renvoient le même résultat pour les nombres 2 et $-3$.
Vérification avec $-3$ : Amir : $(-3-5)\times 2=-16$ ; Sonia : $(-3{)}^2+3\times (-3)-16=9-9-16=-16$. Le nombre $-3$, absent de la feuille de calcul, est bien une seconde solution.

Partie A : étude du jeu

1) a) L'urne contient $3+4=7$ boules indiscernables au toucher : les tirages sont équiprobables. Il y a 4 boules rouges, donc $p(\text{rouge})={\displaystyle \frac{4}{7}}$.

1) b) Les boules portant un numéro pair sont la noire n° 2, la rouge n° 2 et la rouge n° 4, soit 3 boules sur 7. La probabilité de tirer un numéro pair est ${\displaystyle \frac{3}{7}}$.

2) Comme la première boule est remise, chaque tirage se fait parmi les 7 boules : il y a $7\times 7=49$ couples (1^re boule ; 2^de boule) équiprobables. On gagne si l'on obtient la rouge n° 1 et une noire, dans n'importe quel ordre :
– rouge n° 1 puis une noire : $1\times 3=3$ issues ;
– une noire puis la rouge n° 1 : $3\times 1=3$ issues.
Soit 6 issues favorables sur 49. La probabilité de gagner est ${\displaystyle \frac{6}{49}}$ (environ 0,12). On peut aussi calculer ${\displaystyle \frac{1}{7}}\times {\displaystyle \frac{3}{7}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}\times {\displaystyle \frac{1}{7}}={\displaystyle \frac{3}{49}}+{\displaystyle \frac{3}{49}}={\displaystyle \frac{6}{49}}$.

Partie B : constitution des lots

1) Pour faire 3 lots identiques en utilisant tout, il faut que 3 divise 195 et 234. La somme des chiffres de 195 est $1+9+5=15$ et celle de 234 est $2+3+4=9$ : ce sont des multiples de 3, donc 195 et 234 sont divisibles par 3. En effet $195=3\times 65$ et $234=3\times 78$. Oui, on peut faire 3 lots, chacun composé de 65 figurines et 78 autocollants.

2) $195=3\times 65=3\times 5\times 13$, et 3, 5 et 13 sont des nombres premiers. $195=3\times 5\times 13$.

3) a) Le nombre de lots doit être un diviseur commun de 195 et de 234. On compare les décompositions : $195=3\times 5\times 13$ et $234=2\times 3^2\times 13$. Les facteurs premiers communs sont 3 et 13, donc le plus grand diviseur commun est $3\times 13=39$. On peut constituer au maximum 39 lots.

3) b) $195÷39=5$ et $234÷39=6$ (vérification : $39\times 5=195$ et $39\times 6=234$). Chaque lot contiendra 5 figurines et 6 autocollants.

1) Étude du tarif proposé par la société A

1) a) Sur le graphique, le point de la droite d'abscisse 2 a pour ordonnée 60. Une location de 2 heures coûte 60 €.

1) b) Sur le graphique, 3 heures coûtent 90 € et 4 heures coûtent 120 €, ce qui dépasse 100 €. Avec 100 €, on peut louer un bateau pendant 3 heures.

1) c) La représentation graphique du prix en fonction de la durée est une droite qui passe par l'origine du repère. Le prix est donc proportionnel à la durée de location.

1) d) D'après la question a), 2 heures coûtent 60 €, donc le coefficient de proportionnalité est $60÷2=30$ € par heure. Pour 10 heures : $10\times 30=300$. Une location de 10 heures coûte 300 €. (Vérification : 5 heures coûtent 150 € sur le graphique, et $2\times 150=300$.)

2) Étude du tarif proposé par la société B

2) a) $60+15\times 2=60+30=90$. Pour 2 heures, on paie bien 90 € avec la société B.

2) b) $f$ est une fonction affine : sa représentation graphique est une droite. Il suffit de deux points (un troisième sert de contrôle) :
– $f(0)=15\times 0+60=60$ : point de coordonnées $(0;60)$ ;
– $f(4)=15\times 4+60=120$ : point $(4;120)$ ;
– $f(8)=15\times 8+60=180$ : point $(8;180)$.
On trace sur l'annexe la droite passant par ces trois points, de l'axe des ordonnées jusqu'à l'abscisse 8, et on la nomme « Société B ».

2) c) Non, le prix n'est pas proportionnel à la durée. La fonction $f(x)=15x+60$ est affine mais pas linéaire : sa droite ne passe pas par l'origine (0 heure coûterait déjà 60 € de frais de dossier). Autre justification : 2 heures coûtent 90 € mais 4 heures coûtent 120 €, et non $2\times 90=180$ €.

3) Comparaison des deux tarifs

3) a) Société A : $30\times 3=90$ € (lecture graphique : 90 €). Société B : $f(3)=15\times 3+60=45+60=105$ €. Comme $90<105$, il faut choisir la société A et on paiera 90 €.

3) b) Graphiquement, les deux droites se coupent au point de coordonnées $(4;120)$. Par le calcul : on résout $30x=15x+60$, soit $15x=60$, donc $x=4$. Vérification : société A : $30\times 4=120$ € ; société B : $15\times 4+60=120$ €. Pour une location de 4 heures, le prix est identique dans les deux sociétés : 120 €.