Sujet du brevet 2023 de maths — Métropole, Antilles et Guyane (session de remplacement) (Série générale)

1. On vérifie que chaque nombre proposé divise 84 : $84=2\times 42$, $84=3\times 28$ et $84=4\times 21$. Les nombres de la réponse A sont des multiples de 84, pas des diviseurs, et 5 ne divise pas 84 (84 ne se termine ni par 0 ni par 5). Réponse B : 2, 3 et 4.

2. Dans un agrandissement de coefficient $k$, les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$. Ici $k=2$, donc le volume est multiplié par $2^3=8$. Réponse B : 8.

3. On remplace $x$ par $-2$ : $(-2{)}^2+3\times (-2)-5=4-6-5=-7$. Réponse C : $-7$.

4. Les huit boules sont équiprobables. Les multiples de 2 entre 1 et 8 sont 2, 4, 6 et 8, soit 4 issues favorables : $p={\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Réponse A : ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

5. Le triangle DEF est situé de l'autre côté du centre O par rapport au triangle ABC : le rapport de l'homothétie est donc négatif. De plus, DEF est un agrandissement de ABC : sur la figure, le côté [EF] (image de [BC]) est environ deux fois plus long que [BC]. Le rapport vaut donc $-2$. Réponse A : $-2$.

1. Le losange a quatre côtés de 50 pas. Le corps de la boucle trace deux côtés (lignes 4 et 6) en tournant de ${60}^{\circ }$ puis de ${120}^{\circ }$ ; il faut donc le répéter 2 fois pour obtenir les quatre côtés, et le lutin a alors tourné de $2\times ({60}^{\circ }+{120}^{\circ })={360}^{\circ }$ : il revient à son point de départ dans sa direction initiale. Tous les côtés du losange mesurent 50 pas.
Ligne 3 : répéter 2 fois.
Ligne 6 : avancer de 50 pas.

2. Les trois scripts partent du même point $(-220;0)$ en direction de la droite.
– Script 1 : après chaque losange, le lutin avance de 50 pas, soit exactement la longueur d'un côté : les losanges sont collés les uns aux autres. Script 1 → figure C.
– Script 2 : le lutin avance de 100 pas, soit deux côtés : les losanges sont alignés et séparés par un espace. Script 2 → figure A.
– Script 3 : le lutin avance de 50 pas puis monte de 30 pas (« ajouter 30 à y ») : les losanges forment un escalier. Script 3 → figure B.

3. Le programme trace 6 losanges ayant tous le sommet C (le point de coordonnées $(0;0)$) en commun, en tournant de ${60}^{\circ }$ dans le sens des aiguilles d'une montre entre deux losanges (et $6\times {60}^{\circ }={360}^{\circ }$). Le losange ABCD s'obtient à partir du losange EDCF par la rotation de centre C, d'angle ${60}^{\circ }$, dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire). Cette rotation transforme F en D, E en A, D en B et laisse C fixe.

1. a. Avec le tarif A, chaque entrée coûte 5,90 € : $10\times 5,90=59$. 10 entrées coûtent 59 € avec le tarif A.

1. b. Avec le tarif B, on paie la carte de 30 € puis 4,40 € par entrée : $30+10\times 4,40=30+44=74$. 10 entrées coûtent 74 € avec le tarif B.

2. Pour $x$ entrées, le prix au tarif A est proportionnel au nombre d'entrées, et le prix au tarif B est la somme de l'abonnement et du prix des entrées :
$f(x)=5,90x$ et $g(x)=4,40x+30$.
($f$ est une fonction linéaire, $g$ une fonction affine.)

3. a. $5,90x=4,40x+30$
$5,90x-4,40x=30$
$1,50x=30$
$x={\displaystyle \frac{30}{1,50}}=20$.
La solution de l'équation est 20.

3. b. Les deux tarifs donnent le même prix lorsque $f(x)=g(x)$, c'est-à-dire pour la solution de l'équation précédente. Vérification : $f(20)=5,90\times 20=118$ et $g(20)=4,40\times 20+30=88+30=118$. Pour 20 entrées, les deux tarifs coûtent 118 €.

4. a. On additionne les nombres d'entrées des 12 mois puis on divise par 12 :
$12500+13700+10400+13600+12300+11700+10400+11600+10200+13800+12600+11800$$=144600$.
${\displaystyle \frac{144600}{12}}=12050$. Le nombre moyen d'entrées par mois est 12 050.

4. b. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $13800-10200=3600$. L'étendue est de 3 600 entrées.

5. Le volume d'un pavé droit est $V=L\times \ell \times h$ : $V=50\times 25\times 3=3750$. La vidange évacue 3 750 m³ d'eau.

1. a. Les enfants ont entre 6 et 10 ans, ils bénéficient donc du tarif enfant (5 à 11 ans). Aller-retour au tarif individuel : 10 € par adulte et 8 € par enfant.
$12\times 10+8\times 8=120+64=184$. Le groupe paie 184 € au tarif individuel.

1. b. Le groupe compte $12+8=20$ personnes : il a droit au tarif de groupe (à partir de 20 personnes). Aller-retour : 8,50 € par adulte et 7 € par enfant.
$12\times 8,50+8\times 7=102+56=158$. Le groupe paie 158 € au tarif de groupe.

1. c. La réduction vaut $184-158=26$ €. On l'exprime en pourcentage du tarif individuel :
${\displaystyle \frac{26}{184}}\times 100\approx 14,1$. Le tarif de groupe permet une réduction d'environ 14,1 %.

2. On convertit la durée en secondes : 8 min 45 s $=8\times 60+45=525$ s.
$v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{448,5}{525}}\approx 0,854$. La vitesse moyenne est d'environ 0,85 m/s.

3. D'après la définition, $\text{Pente}={\displaystyle \frac{\text{Dénivelé}}{\text{Longueur horizontale}}}$, avec une pente de 25 %, soit 0,25, et un dénivelé $BC=50$ m :
$0,25={\displaystyle \frac{50}{AC}}$, donc $AC={\displaystyle \frac{50}{0,25}}=200$. La longueur horizontale AC mesure 200 m.

1. Le point M appartient au segment [AB], donc $AB=AM+MB=2,7+2,5=5,2$. AB = 5,2 cm.

2. Le triangle ABH est rectangle en H (la hauteur [AH] est perpendiculaire à (BC)). D'après le théorème de Pythagore : $A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$, donc $A{H}^2$$=A{B}^2-B{H}^2$$=5,2^2-2^2$$=27,04-4$$=23,04$.
$AH=\sqrt{23,04}=4,8$. La longueur AH est bien égale à 4,8 cm.

3. Dans le triangle AHC rectangle en H, [AH] est le côté opposé à l'angle $\widehat{ACH}$ et [AC] est l'hypoténuse. On utilise le sinus :
$\sin \widehat{ACH}={\displaystyle \frac{AH}{AC}}={\displaystyle \frac{4,8}{8,5}}$, donc $\widehat{ACH}=\arcsin \left({\displaystyle \frac{4,8}{8,5}}\right)\approx 34,4^{\circ }$. L'angle $\widehat{ACH}$ mesure environ ${34}^{\circ }$ (arrondi au degré).

4. Le triangle AHC est rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore : $A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2$, donc $H{C}^2$$=A{C}^2-A{H}^2$$=8,5^2-4,8^2$$=72,25-23,04$$=49,21$.
$HC=\sqrt{49,21}\approx 7,01$. HC ≈ 7 cm (arrondi au cm).

5. Les points A, M, B sont alignés, les points A, N, C sont alignés et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$.
Donc ${\displaystyle \frac{2,7}{5,2}}={\displaystyle \frac{AN}{8,5}}$, d'où $AN={\displaystyle \frac{8,5\times 2,7}{5,2}}\approx 4,41$ cm.
Comme $4,41>4$, AN est supérieure à 4 cm : l'élève a tort.

6. Le triangle AHC est rectangle en H : ses côtés [AH] et [HC] sont perpendiculaires, l'un sert de base et l'autre de hauteur.
$𝒜={\displaystyle \frac{AH\times HC}{2}}={\displaystyle \frac{4,8\times \sqrt{49,21}}{2}}\approx 16,8$. L'aire du triangle AHC est d'environ 16,8 cm². (Avec la valeur arrondie $HC\approx 7$ cm, on obtient aussi ${\displaystyle \frac{4,8\times 7}{2}}=16,8$ cm².)