Sujet du brevet 2023 de maths — Métropole, Antilles et Guyane (Série générale)

1. L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Le prix le plus élevé est 160 € (modèle 5) et le plus bas est 75 € (modèle 1) : $160-75=85$. L'étendue des prix est bien de 85 €.

2. a) Le total des paires vendues est la somme des cellules B2 à F2. La formule à saisir en G2 est =SOMME(B2:F2) (ou =B2+C2+D2+E2+F2).

2. b) $1200+950+875+250+300=3575$. L'opticien a vendu 3 575 paires de lunettes de soleil en 2022.

3. a) Pour chaque modèle, le montant des ventes est le nombre de paires multiplié par le prix unitaire :
$1200\times 75=90000$ ; $950\times 100=95000$ ; $875\times 110=96250$ ; $250\times 140=35000$ ; $300\times 160=48000$.
Total : $90000+95000+96250+35000+48000=364250$. Le montant total des ventes est de 364 250 €.

3. b) Le prix moyen d'une paire vendue est le montant total divisé par le nombre de paires vendues (moyenne pondérée par les effectifs) : ${\displaystyle \frac{364250}{3575}}\approx 101,888$. Le prix moyen d'une paire vendue est d'environ 101,89 € (arrondi au centime). Attention : ce n'est pas la moyenne des cinq prix (117 €), car les modèles ne se sont pas vendus en quantités égales.

1. BCDE est un rectangle de longueur $EB=7$ cm et de largeur $BC=4,2$ cm. Aire $=EB\times BC=7\times 4,2=29,4$. L'aire du rectangle BCDE est bien 29,4 cm².

2. a) Le triangle BAE est rectangle en A, son hypoténuse est [BE]. D'après le théorème de Pythagore : $B{E}^2=A{B}^2+A{E}^2$, soit $7^2=4,2^2+A{E}^2$. D'où $A{E}^2=49-17,64=31,36$ et $AE=\sqrt{31,36}=5,6$. AE = 5,6 cm.

2. b) Dans le triangle ABE rectangle en A, les côtés [AB] et [AE] sont perpendiculaires. Aire $={\displaystyle \frac{AB\times AE}{2}}={\displaystyle \frac{4,2\times 5,6}{2}}={\displaystyle \frac{23,52}{2}}=11,76$. L'aire du triangle ABE est 11,76 cm².

3. a) BCDE est un rectangle, donc $(ED)⟂(CD)$. Par hypothèse, (HA) est la perpendiculaire à (CD) passant par A, donc $(HA)⟂(CD)$. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles : (ED) et (HA) sont parallèles.

3. b) Les points F, E, A sont alignés, les points F, D, H sont alignés (les droites (FA) et (FH) sont sécantes en F) et (ED) // (HA). D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{FE}{FA}}={\displaystyle \frac{FD}{FH}}={\displaystyle \frac{ED}{HA}}$.
On connaît $FE=7$ cm, $FA=FE+EA=7+5,6=12,6$ cm et $ED=BC=4,2$ cm (côtés opposés du rectangle). Donc ${\displaystyle \frac{7}{12,6}}={\displaystyle \frac{4,2}{HA}}$, d'où $HA={\displaystyle \frac{4,2\times 12,6}{7}}=4,2\times 1,8=7,56$. AH = 7,56 cm.

Question 1 : réponse B (15). $60\%\text{ de }25={\displaystyle \frac{60}{100}}\times 25=15$ filles.

Question 2 : réponse C ($2\times 3^2\times 7$). $126=2\times 63=2\times 9\times 7=2\times 3^2\times 7$. La réponse A n'est pas une décomposition en facteurs premiers (9 n'est pas premier) et la réponse B est une somme, pas un produit.

Question 3 : réponse A (${\displaystyle \frac{2}{3}}$). Il y a $17+23+20=60$ jetons ; les jetons rouges ou jaunes sont au nombre de $17+23=40$. Probabilité : ${\displaystyle \frac{40}{60}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Question 4 : réponse B ([GF]). Sur l'octogone régulier, la rotation de centre O qui envoie A sur D fait « avancer » chaque sommet de trois positions dans le sens A → B → C → D. L'image de D est donc G et celle de C est F : l'image du segment [DC] est le segment [GF].

Question 5 : réponse B (3 900 L). Volume du pavé droit $=L\times l\times h=2\times 1,3\times 1,5=3,9$ m³, soit $3,9\times 1000=3900$ L.

1. a) L'escalier mesure 272 cm de haut et chaque marche 17 cm : $272÷17=16$. Il faut prévoir 16 marches.

1. b) Chaque marche a une profondeur de 27 cm et il y a 16 marches : $AB=16\times 27=432$. AB = 432 cm.

2. a) Le triangle ABC est rectangle en B. Le côté [BC] (hauteur de l'escalier, 272 cm) est opposé à l'angle $\widehat{BAC}$ et le côté [AB] (432 cm) lui est adjacent. On utilise la tangente : $\tan \widehat{BAC}={\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{272}{432}}\approx 0,630$. À la calculatrice, $\widehat{BAC}=\arctan \left({\displaystyle \frac{272}{432}}\right)\approx 32,2^{\circ }$. L'angle $\widehat{BAC}$ mesure environ ${32}^{\circ }$ (arrondi au degré).

2. b) ${25}^{\circ }⩽{32}^{\circ }⩽{40}^{\circ }$. L'escalier permet une montée agréable.

3. Le lutin est orienté vers la droite (ligne 2). Pour dessiner une marche, il tourne vers la gauche de 90° pour se diriger vers le haut, monte de la hauteur d'une marche (17 pas), tourne vers la droite de 90° pour se diriger à nouveau vers la droite, puis avance de la profondeur d'une marche (27 pas). Ce motif est répété pour chacune des 16 marches.
Ligne 5 : répéter 16 fois
Ligne 6 : tourner (à gauche) de 90 degrés
Ligne 7 : avancer de 17 pas
Ligne 9 : avancer de 27 pas

1. a) Programme A avec $-3$ : $-3\times (-2)=6$ ; $6+5=11$. Le résultat est bien 11.

1. b) Programme B avec 5,5 : $5,5-5=0,5$ ; $0,5\times 3=1,5$ ; $1,5+11=12,5$. On obtient 12,5.

2. Avec $x$ au départ : soustraire 5 donne $x-5$ ; multiplier par 3 donne $3(x-5)=3x-15$ ; ajouter 11 donne $3x-15+11=3x-4$. Le résultat du programme B est bien $3x-4$. (Vérification avec 5,5 : $3\times 5,5-4=16,5-4=12,5$.)

3. a) $f(x)=-2x+5$ a un coefficient directeur négatif ($-2$), sa droite « descend » ; de plus $f(0)=5$, donc elle coupe l'axe des ordonnées en 5. C'est la droite $(D_2)$. $(D_2)$ représente $f$.
$g(x)=3x-4$ a un coefficient directeur positif (3), sa droite « monte » ; $g(0)=-4$, elle coupe l'axe des ordonnées en $-4$. C'est la droite $(D_1)$. $(D_1)$ représente $g$.

3. b) Le nombre qui a la même image par $f$ et par $g$ est l'abscisse du point d'intersection des deux droites. Sur le graphique, ce point a pour abscisse environ 1,8 (et pour ordonnée environ 1,4).

4. On résout l'équation $-2x+5=3x-4$ :
$-2x-3x=-4-5$, soit $-5x=-9$, d'où $x={\displaystyle \frac{-9}{-5}}={\displaystyle \frac{9}{5}}=1,8$.
Vérification : programme A, $-2\times 1,8+5=1,4$ ; programme B, $3\times 1,8-4=1,4$. Les deux programmes donnent le même résultat pour le nombre de départ 1,8, ce qui confirme la lecture graphique.