Sujet du brevet 2022 de maths — Nouvelle-Calédonie (Série générale)

Affirmation n°1 : fausse. On convertit la vitesse de l'avion en m/s : 1 200 km/h, c'est 1 200 000 m parcourus en 3 600 s, donc $v={\displaystyle \frac{1200000}{3600}}\approx 333,3$ m/s.
Comme $333,3<340,29$, l'avion va moins vite que le son. (Autre méthode : $340,29$ m/s $=340,29\times 3,6=1225,044$ km/h, qui est supérieur à 1 200 km/h.) L'affirmation n°1 est fausse.

Affirmation n°2 : fausse. On développe et on réduit : $4(4x-4)+16=16x-16+16=16x$. Or $16x$ et $16x^2$ ne sont pas égaux pour tout nombre $x$. Contre-exemple : pour $x=2$, $4(4\times 2-4)+16=4\times 4+16=32$, alors que $16\times 2^2=64$. L'affirmation n°2 est fausse.

Affirmation n°3 : fausse. On a bien $33\times 13=429$, mais 33 n'est pas un nombre premier car $33=3\times 11$. La décomposition en produit de facteurs premiers de 429 est $429=3\times 11\times 13$ (3, 11 et 13 sont premiers). L'affirmation n°3 est fausse.

1. Réponse A. Une formule de tableur commence par « = », et la plage des cellules A1, B1, C1 s'écrit A1:C1. La formule à saisir en D1 est =somme(A1:C1) ; elle affiche $3+5+4=12$. (La réponse C ne commence pas par « = » et « A1*C1 » n'est pas une plage.)

2. Réponse A. La série compte 6 valeurs de moyenne 11, donc leur somme vaut $6\times 11=66$. Or $15+10+13+9+10=57$, donc $x=66-57=9$. Vérification : ${\displaystyle \frac{57+9}{6}}={\displaystyle \frac{66}{6}}=11$. $x=9$.

3. Réponse C. L'équateur est le parallèle de latitude 0°. Les méridiens sont des demi-cercles qui relient les deux pôles ; l'équateur, lui, est un cercle entier perpendiculaire à l'axe des pôles.

4. Réponse A. Le diamètre est 6 cm, donc le rayon est $R=3$ cm. $V={\displaystyle \frac{4\pi R^3}{3}}={\displaystyle \frac{4\pi \times 27}{3}}=36\pi$. Le volume exact est $36\pi$ cm³. La réponse B ($113,0973355$) n'est qu'une valeur approchée de $36\pi$ ; la réponse C ($288\pi$) correspond à l'erreur qui prend le diamètre 6 cm comme rayon.

1) On compte les jours pour chaque vitesse : 10 nœuds les 1^er, 6 et 7 (3 jours) ; 15 nœuds les 2, 5, 9, 14 et 15 (5 jours) ; 20 nœuds les 3, 4, 8 et 13 (4 jours) ; 25 nœuds les 10, 11 et 12 (3 jours). Total : $3+5+4+3=15$ jours.
Fréquences : ${\displaystyle \frac{3}{15}}=20\%$ ; ${\displaystyle \frac{5}{15}}\approx 33,3\%$ ; ${\displaystyle \frac{4}{15}}\approx 26,7\%$ ; ${\displaystyle \frac{3}{15}}=20\%$.

2) Les jours où la vitesse est supérieure ou égale à 15 nœuds sont ceux à 15, 20 ou 25 nœuds : $5+4+3=12$ jours sur 15 (ou $15-3=12$). ${\displaystyle \frac{12}{15}}=0,8$. La vitesse du vent est supérieure ou égale à 15 nœuds 80 % des jours.

3) L'effectif total est 15 (impair) : la médiane est la 8^e valeur de la série rangée dans l'ordre croissant, car $15=7+1+7$. Série rangée : 10 ; 10 ; 10 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 20 ; 20 ; 20 ; 20 ; 25 ; 25 ; 25. Les valeurs 10 occupent les rangs 1 à 3, les valeurs 15 les rangs 4 à 8 : la 8^e valeur est 15. La vitesse médiane du vent est 15 nœuds.

1) Construction à la règle et au compas : on trace le segment [MB] de longueur 7,5 cm ; on trace l'arc de cercle de centre M et de rayon 6 cm, puis l'arc de cercle de centre B et de rayon 4,5 cm ; leur point d'intersection est W. On trace enfin [MW] et [WB]. On vérifie à l'équerre que l'angle en W semble droit.

2) Le plus grand côté du triangle MWB est [MB].
D'une part $M{B}^2=7,5^2=56,25$ ; d'autre part $M{W}^2+W{B}^2=6^2+4,5^2=36+20,25=56,25$.
On constate que $M{B}^2=M{W}^2+W{B}^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MWB est rectangle en W.

3) Dans le triangle MWB rectangle en W, pour l'angle $\widehat{BMW}$, le côté adjacent est [MW] et l'hypoténuse est [MB]. On utilise le cosinus : $\cos \widehat{BMW}={\displaystyle \frac{MW}{MB}}={\displaystyle \frac{6}{7,5}}=0,8$.
À la calculatrice, $\widehat{BMW}=\arccos (0,8)\approx 36,{87}^{\circ }$. Arrondi au degré, $\widehat{BMW}\approx {37}^{\circ }$. (Vérification avec la tangente : $\tan \widehat{BMW}={\displaystyle \frac{WB}{MW}}={\displaystyle \frac{4,5}{6}}=0,75$ donne le même angle.)

4) a) On place F sur [WB] à 3 cm de W (donc à 1,5 cm de B).

4) b) À l'équerre et à la règle (en faisant glisser l'équerre le long de la règle), on trace la droite parallèle à (MB) passant par F ; elle coupe [MW] en E, que l'on place.

4) c) Dans le triangle WMB, E est sur [WM], F est sur [WB] et les droites (EF) et (MB) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{WE}{WM}}={\displaystyle \frac{WF}{WB}}={\displaystyle \frac{EF}{MB}}$.
Donc ${\displaystyle \frac{WE}{6}}={\displaystyle \frac{3}{4,5}}$, d'où $WE={\displaystyle \frac{6\times 3}{4,5}}={\displaystyle \frac{18}{4,5}}=4$. WE = 4 cm.

5) a) La demi-droite [MW) part de M et passe par W. Comme MT = 10 cm et MW = 6 cm, le point T est au-delà de W, à $10-6=4$ cm de W. On le place en prolongeant [MW] du côté de W.

5) b) On trace le segment [TB].

6) Les points M, E, W et T sont tous sur la droite (MW), dans cet ordre. On a $ME=MW-WE=6-4=2$ cm, donc $TE=MT-ME=10-2=8$ cm. Autre calcul : $TW=MT-MW=10-6=4$ cm et $TE=TW+WE=4+4=8$ cm. La longueur TE est égale à 8 cm.

1) Avec le tarif découverte, chaque heure coûte 1 600 F : $4\times 1600=6400$. 4 heures de cours coûtent 6 400 F.

2) a) Avec le tarif personnalisé, on paie la carte d'adhérent puis 600 F par heure : $4800+4\times 600=4800+2400=7200$. 4 heures coûtent bien 7 200 F.

2) b) $4800+10\times 600=4800+6000=10800$. 10 heures coûtent 10 800 F avec le tarif personnalisé.

2) c) Pour $x$ heures, on paie $600x$ F de cours plus la carte de 4 800 F. $P(x)=600x+4800$ ($P$ est une fonction affine).

3) a) Sur l'annexe, la droite du tarif découverte coupe la droite horizontale du tarif renforcé au point d'abscisse 6. Par le calcul : $1600x=9600$ donne $x={\displaystyle \frac{9600}{1600}}=6$. Les tarifs découverte et renforcé sont égaux pour 6 heures de cours (9 600 F).

3) b) $P$ est une fonction affine : sa représentation graphique est une droite. Il suffit de deux points, plus un troisième pour contrôler : $P(0)=4800$, $P(4)=7200$ et $P(8)=600\times 8+4800=9600$. On trace sur l'annexe la droite passant par les points (0 ; 4 800), (4 ; 7 200) et (8 ; 9 600) (elle passe aussi par (16 ; 14 400)).

3) c) On compare les trois tarifs pour 7 heures :
• découverte : $7\times 1600=11200$ F ;
• personnalisé : $P(7)=600\times 7+4800=4200+4800=9000$ F ;
• renforcé : 9 600 F.
Graphiquement, pour l'abscisse 7, c'est la droite de $P$ qui est la plus basse. Pour 7 heures, le tarif le plus économique est le tarif personnalisé (9 000 F).

4) On résout $P(x)=9600$ : $600x+4800=9600$, donc $600x=4800$ et $x={\displaystyle \frac{4800}{600}}=8$. Vérification : $600\times 8+4800=9600$. Sur le graphique, la droite de $P$ coupe celle du tarif renforcé au point d'abscisse 8. Juliette paie le même prix (9 600 F) avec les tarifs personnalisé et renforcé pour 8 heures de cours.

1) a) Le premier nombre du couple correspond au premier lancer. Gabriel a obtenu 3 au premier lancer.

1) b) Le second nombre du couple correspond au second lancer. Gabriel a obtenu 2 au second lancer.

2) Chaque lancer donne 1, 2, 3 ou 4, soit $4\times 4=16$ issues :
(1 ; 1), (1 ; 2), (1 ; 3), (1 ; 4),
(2 ; 1), (2 ; 2), (2 ; 3), (2 ; 4),
(3 ; 1), (3 ; 2), (3 ; 3), (3 ; 4),
(4 ; 1), (4 ; 2), (4 ; 3), (4 ; 4).

3) Chaque numéro vaut au moins 1, donc la somme des deux numéros vaut au moins $1+1=2$. Aucune issue ne donne une somme égale à 1. L'événement A est impossible : sa probabilité est 0.

4) Les issues dont la somme vaut 5 sont (1 ; 4), (2 ; 3), (3 ; 2) et (4 ; 1).

5) Le dé est équilibré, donc les 16 issues sont équiprobables. L'événement C est réalisé par 4 issues : $P(C)={\displaystyle \frac{4}{16}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. La probabilité que C se réalise est ${\displaystyle \frac{1}{4}}$, soit 0,25.

1) Le bloc « motif de base » s'exécute ainsi, avec 1 cm pour 10 pas :

• « avancer de 60 pas » trace un segment de 6 cm : c'est le mât du drapeau ;
• « répéter 4 fois : avancer de 40 pas, attendre 0,5 seconde, tourner ↻ de 90 degrés » trace un carré de côté 4 cm, en tournant à chaque fois vers la droite (sens des aiguilles d'une montre).

Le motif est un drapeau : un segment de 6 cm prolongé, dans le même alignement, par le premier côté d'un carré de 4 cm de côté ; le carré est situé à droite de la direction de départ du lutin. Par exemple, si le lutin est orienté vers la droite, on trace un segment horizontal de 6 cm, puis un carré de 4 cm de côté accroché à son extrémité, situé sous le prolongement du segment (le mât et le côté supérieur du carré forment une ligne droite de 10 cm). À la fin, le lutin est revenu à l'extrémité du mât, avec son orientation de départ.

2) La figure comporte 8 drapeaux identiques disposés régulièrement autour du point de départ (0 ; 0). Après chaque « motif de base », le lutin se trouve au bout du mât : il faut le ramener au centre, puis le faire tourner d'un huitième de tour, soit $360÷8=45$ degrés. On complète le script n°2 ainsi :

• répéter 8 fois ;
• motif de base ;
• aller à x : 0 y : 0 ;
• tourner ↻ de 45 degrés ;
• attendre 0.5 secondes.