Sujet du brevet 2022 de maths — Asie (Série générale)

Situation 1

1) On applique le programme au nombre 10 : on soustrait 7, $10-7=3$ ; on multiplie par 5, $3\times 5=15$ ; on soustrait le double du nombre de départ, $15-2\times 10=15-20=-5$. On obtient bien $-5$.

2) C'est l'expression B : $5(x-7)-2x$. (Vérification avec $x=10$ : $5\times 3-20=-5$. L'expression A oublie les parenthèses : $x-7\times 5$ ne multiplie que 7 par 5 ; l'expression C retire $x^2$ au lieu du double $2x$ ; l'expression D ne multiplie pas le 7 par 5.)

Situation 2

1) Sur le graphique, le point de la droite (d) d'abscisse $-2$ a pour ordonnée $-4$. L'image de $-2$ par la fonction $f$ est $-4$.

2) La fonction $f$ est linéaire, donc elle s'écrit $f(x)=ax$. Le point A(3 ; 6) appartient à (d), donc $f(3)=6$, c'est-à-dire $3a=6$, d'où $a={\displaystyle \frac{6}{3}}=2$. On a $f(x)=2x$. On retrouve bien $f(-2)=2\times (-2)=-4$, ce qui confirme la lecture graphique.

Situation 3

La base CDEF est un rectangle de côtés ED = 30 cm et DC = 40 cm : son aire vaut $30\times 40=1200$ cm². La hauteur de la pyramide est GH = 55 cm (la figure indique que (GH) est perpendiculaire à la base).

Le volume d'une pyramide est $V={\displaystyle \frac{\text{aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}}$, donc $V={\displaystyle \frac{1200\times 55}{3}}={\displaystyle \frac{66000}{3}}=22000$ cm³.

Or 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³, donc $22000$ cm³ = 22 dm³ = 22 L. Le volume de la pyramide est de 22 L : il est bien supérieur à 20 L.

1) Les droites (AD) et (BC) sont sécantes en E et les droites (AB) et (CD) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{EC}{EB}}={\displaystyle \frac{ED}{EA}}={\displaystyle \frac{CD}{AB}}$.

On utilise ${\displaystyle \frac{EC}{EB}}={\displaystyle \frac{CD}{AB}}$, soit ${\displaystyle \frac{EC}{7,2}}={\displaystyle \frac{6}{9}}$, d'où $EC={\displaystyle \frac{7,2\times 6}{9}}={\displaystyle \frac{43,2}{9}}=4,8$. Le segment [EC] mesure bien 4,8 cm.

2) Dans le triangle ECD, le plus grand côté est [CD]. On calcule séparément :
d'une part $C{D}^2=6^2=36$ ;
d'autre part $E{C}^2+E{D}^2=4,8^2+3,6^2=23,04+12,96=36$.
On a $C{D}^2=E{C}^2+E{D}^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ECD est rectangle en E.

3) Homothétie. (Il s'agit de l'homothétie de centre E et de rapport $-1,5$ : elle transforme E en E, C en B et D en A.)

4) Le triangle ABE est l'image du triangle ECD par une homothétie de rapport $-1,5$ : c'est un agrandissement de rapport $k=1,5$ (toutes les longueurs sont multipliées par 1,5, par exemple ${\displaystyle \frac{AB}{CD}}={\displaystyle \frac{9}{6}}=1,5$). Dans un agrandissement de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ : $1,5^2=2,25$.

Vérification par le calcul : le triangle ECD est rectangle en E, donc son aire vaut ${\displaystyle \frac{EC\times ED}{2}}={\displaystyle \frac{4,8\times 3,6}{2}}=8,64$ cm². Les angles $\widehat{AEB}$ et $\widehat{CED}$ sont opposés par le sommet, donc $\widehat{AEB}={90}^{\circ }$ et ABE est rectangle en E, avec $EA=1,5\times ED=1,5\times 3,6=5,4$ cm. Son aire vaut ${\displaystyle \frac{EA\times EB}{2}}={\displaystyle \frac{5,4\times 7,2}{2}}=19,44$ cm². Et ${\displaystyle \frac{19,44}{8,64}}=2,25$.

L'affirmation est fausse : l'aire du triangle ABE est 2,25 fois plus grande que celle du triangle ECD, et non 1,5 fois.

1) On lit la ligne 9 (Australie), colonne D (Argent). L'Australie a obtenu 29 médailles d'argent.

2) L'Italie a obtenu 69 médailles au total, dont 14 en or et 29 en argent. Le nombre de médailles de bronze est donc $69-14-29=26$. L'Italie a obtenu 26 médailles de bronze.

3) La cellule F2 contient le total des médailles de la Chine, c'est-à-dire la somme des cellules C2, D2 et E2 (or, argent, bronze). On a pu saisir =C2+D2+E2 ou =SOMME(C2:E2). (On vérifie : $96+60+51=207$.)

4) Affirmation 1. La France a obtenu 54 médailles dont 11 en or. La proportion de médailles d'or est ${\displaystyle \frac{11}{54}}\approx 0,204$, soit environ 20,4 %. En arrondissant à l'unité, environ 20 % des médailles françaises sont en or : l'affirmation est vraie à l'arrondi près. Elle n'est pas exacte au sens strict, car 20 % de 54 médailles feraient $0,2\times 54=10,8$ médailles, ce qui n'est pas un nombre entier.

4) Affirmation 2. On range les 15 nombres de médailles d'argent dans l'ordre croissant :
1 ; 11 ; 12 ; 15 ; 15 ; 15 ; 17 ; 20 ; 29 ; 29 ; 33 ; 36 ; 38 ; 47 ; 60.
L'effectif est impair (15), donc la médiane est la valeur du milieu, la 8^e : c'est 20 (7 valeurs avant, 7 valeurs après). La médiane vaut 20 et non 29 : l'affirmation est fausse.

5) L'augmentation de la prime est de $65000-50000=15000$ euros. Le pourcentage d'augmentation est ${\displaystyle \frac{15000}{50000}}\times 100=0,3\times 100=30$. (Vérification : $50000\times 1,30=65000$.) La prime a augmenté de 30 % entre 2016 et 2021.

1) a. 35 photos, c'est entre 1 et 100 photos : chaque photo coûte 0,17 €. Prix : $35\times 0,17=5,95$. Le prix à payer pour 35 photos est de 5,95 €.

1) b. 150 photos, c'est plus de 100 photos : on paie 17 € pour les 100 premières, puis 0,13 € pour chacune des $150-100=50$ photos supplémentaires. Prix : $17+50\times 0,13=17+6,50=23,50$. Le prix à payer pour 150 photos est bien de 23,50 €.

1) c. Avec 10 €, on reste sous les 17 € des 100 premières photos : le tarif est donc de 0,17 € par photo. On calcule ${\displaystyle \frac{10}{0,17}}\approx 58,8$. On ne peut commander qu'un nombre entier de photos : $58\times 0,17=9,86$ € (ça passe) mais $59\times 0,17=10,03$ € (ça dépasse). On peut commander au maximum 58 photos.

2) Sur la copie :

• Ligne 3 : 101 (la condition « Nb photos < 101 » correspond à « de 1 à 100 photos » ; la valeur 100 convient aussi, car pour exactement 100 photos le « sinon » donne $17+0\times 0,13=17$ €, soit le même prix que $100\times 0,17$) ;
• Ligne 4 : 0.17 (prix d'une photo pour 100 photos ou moins) ;
• Ligne 7 : 17 (prix des 100 premières photos, auquel on ajoute les photos supplémentaires à 0,13 €).

3) a. D'après la question 1) b., le prix normal pour 150 photos est de 23,50 €. C'est plus de 20 €, donc la réduction de 30 % s'applique. Baisser de 30 %, c'est multiplier par $1-0,30=0,7$ : $23,50\times 0,7=16,45$. (Autre calcul : réduction $23,50\times 0,3=7,05$ € et $23,50-7,05=16,45$.) En période des soldes, 150 photos coûtent 16,45 €.

3) b. La proposition 4 : prix * 0.7 convient (la proposition 2, prix − prix * 0.3, convient également, car elle donne le même résultat). La proposition 1 retire 30 € au lieu de 30 %, et la proposition 3 calcule le montant de la réduction (30 % du prix) et non le prix réduit.

1) Sur le planisphère, les parallèles (latitudes) et les méridiens (longitudes) sont tracés de 10° en 10°. Avec la précision permise par le graphique :

• Miami : environ 25° Nord et 80° Ouest (la croix est entre les parallèles 20° N et 30° N, sur le méridien 80° situé à l'ouest du méridien de Greenwich) ;
• Canberra : environ 35° Sud et 150° Est (la croix est entre les parallèles 30° S et 40° S, vers le méridien 150° situé à l'est du méridien de Greenwich).

2) L'orbite de l'ISS est un cercle de même centre que la Terre ; son rayon est le rayon de la Terre augmenté de l'altitude : $R=6371+380=6751$ km. La longueur d'un tour est le périmètre de ce cercle : $P=2\pi R=2\times \pi \times 6751\approx 42418$ km. L'ISS parcourt bien environ 42 400 km pour effectuer un tour complet de la Terre.

3) a. La durée s'obtient par $t={\displaystyle \frac{d}{v}}$ : $t={\displaystyle \frac{42400}{27600}}\approx 1,536$ h. On convertit la partie décimale en minutes : $0,536\times 60\approx 32$ min. (Avec la distance non arrondie, ${\displaystyle \frac{42418}{27600}}\approx 1,537$ h, on trouve aussi 32 min.) Il faut environ 1 h 32 min à l'ISS pour faire un tour complet de la Terre.

3) b. La sortie a duré de 14 h 30 à 21 h 45, soit 7 h 15 min, c'est-à-dire $7\times 60+15=435$ min. Un tour dure environ 1 h 32 min = 92 min. On calcule ${\displaystyle \frac{435}{92}}\approx 4,7$ : en 4 tours, il s'écoule $4\times 92=368$ min, mais 5 tours demanderaient $5\times 92=460$ min, plus que 435 min. Durant sa sortie, Thomas Pesquet a fait 4 fois le tour complet de la Terre.